Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

которое при a = 1 служило нам для определения суммы геометрической прогрессии. Предполагая теорему Гаусса доказанной, допустим, что a = a 1 есть корень уравнения (17), так что

Вычитая это выражение из f(x) и перегруппировывая члены, мы получим тождество

f(x) = f(x) − f(a1 ) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x − a1 ).

(21) Пользуясь теперь формулой (20), мы можем выделить множитель x − a 1 из каждого члена и затем вынести его за скобку, причем степень многочлена, остающегося в скобках, станет уже на единицу меньше. Перегруппировывая снова члены, мы получим тождество

f(x) = (x − a1 )g(x),

где g(x) - многочлен степени n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0 .

(Вычисление коэффициентов, обозначенных через b, нас здесь не интересует.) Применим дальше то же рассуждение к многочлену g(x). По теореме Гаусса, существует корень a2 уравнения g(x) = 0, так что

g(x) = (x − a2 )h(x),

где h(x) - новый многочлен степени уже n − 2. Повторяя эти рассуждения n − 1 раз (подразумевается, конечно, применение принципа математической индукции), мы, в конце концов, приходим к разложению

Из тождества (22) следует не только то, что комплексные числа a1 , a2 ,

An суть корни уравнения (17), но и то, что иных корней уравнение (17) не имеет. Действительно, если бы число y было корнем уравнения (17), то из (22) следовало бы

f(y) = (y − a1 )(y − a2 ) . . . (y − an ) = 0.

Но мы видели (стр. 115 ), что произведение комплексных чисел равно нулю в том и только том случае, если один из множителей равен нулю. Итак, один из множителей y − ar равен 0, т. е. y = ar , что и требовалось установить.

§ 6.

1. Определение и вопросы существования. Алгебраическим числом называется всякое число x, действительное или мнимое, удовлетворяющее некоторому алгебраическому уравнению вида

130 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

где числа ai целые. Так, например, число 2 алгебраическое, так как оно удовлетворяет уравнению

x2 − 2 = 0.

Таким же образом алгебраическим числом является всякий корень любого уравнения с целыми коэффициентами третьей, четвертой, пятой, какой угодно степени, и независимо от того, выражается или не выражается он в радикалах. Понятие алгебраического числа есть естественное обобщение понятия рационального числа, которое соответствует частному случаю n = 1.

Не всякое действительное число является алгебраическим. Это вытекает из следующей, высказанной Кантором, теоремы: множество всех алгебраических чисел счетно. Так как множество всех действительных чисел несчетное, то обязательно должны существовать действительные числа, не являющиеся алгебраическими.

Укажем один из методов пересчета множества алгебраических чисел. Каждому уравнению вида (1) сопоставим целое положительное число

h = |an | + |an−1 | + . . . + |a1 | + |a0 | + n,

которое назовем ради краткости «высотой» уравнения. Для каждого фиксированного значения n существует лишь конечное число уравнений вида (1) с высотой h. Каждое из таких уравнений имеет самое большее n корней. Поэтому может существовать лишь конечное число алгебраических чисел, порождаемых уравнениями с высотой h; следовательно, все алгебраические числа можно расположить в виде последовательности, перечисляя сначала те из них, которые порождаются уравнениями высоты 1, затем - высоты 2 и т. д.

Это доказательство счетности множества алгебраических чисел устанавливает существование действительных чисел, которые не являются алгебраическими. Такие числа называют трансцендентными (от латинского transcendere - переходить, превосходить); такое наименование им дал Эйлер, потому что они «превосходят мощность алгебраических методов».

Канторово доказательство существования трансцендентных чисел не принадлежит к числу конструктивных. Теоретически рассуждая, можно было бы построить трансцендентное число с помощью диагональной процедуры, производимой над воображаемым списком десятичных разложений всех алгебраических чисел; но такая процедура лишена всякого практического значения и не привела бы к числу, разложение которого в десятичную (или какую-нибудь иную) дробь можно было бы на самом деле написать. Наиболее интересные проблемы, связанные с трансцендентными числами, заключаются в доказательстве того, что определенные, конкретные числа (сюда относятся числа p и e, о которых см. стр. 319 –322 ) являются трансцендентными.

**2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел. Доказательство существования трансцендентных чисел еще до Кантора было дано Ж. Лиувиллем (1809–1862). Оно дает возможность на самом деле конструировать примеры таких чисел. Доказательство Лиувилля более трудно, чем доказательство Кантора, и это неудивительно, так как сконструировать пример, вообще говоря, сложнее, чем доказать существование. Приводя ниже доказательство Лиувилля, мы имеем в виду только подготовленного читателя, хотя для понимания доказательства совершенно достаточно знания элементарной математики.

Как обнаружил Лиувилль, иррациональные алгебраические числа обладают тем свойством, что они не могут быть приближены рациональными числами с очень большой степенью точности, если только не взять знаменатели приближающих дробей чрезвычайно большими.

Предположим, что число z удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами

но не удовлетворяет такому же уравнению более низкой степени. Тогда

говорят, что само x есть алгебраическое число степени n. Так, например,

число z = 2 есть алгебраическое число степени 2, так как удовлетворяет уравнению x2 − 2 = 0√ степени 2, но не удовлетворяет уравнению первой степени; число z = 3 2 - степени 3, так как удовлетворяет уравнению x3 − 2 = 0, но не удовлетворяет (как мы покажем в главе III) уравнению более низкой степени. Алгебраическое число степени n > 1

не может быть рациональным, так как рациональное число z = p q удо-

влетворяет уравнению qx − p = 0 степени 1. Каждое иррациональное число z может быть с какой угодно степенью точности приближено с помощью рационального числа; это означает, что всегда можно указать последовательность рациональных чисел

p 1 , p 2 , . . .

q 1 q 2

с неограниченно растущими знаменателями, обладающую тем свой-

ством, что

p r → z. qr

Теорема Лиувилля утверждает: каково бы ни было алгебраическое число z степени n > 1, оно не может быть приближено посредством раци-

достаточно больших знаменателях непременно выполняется неравенство

Мы собираемся привести доказательство этой теоремы, но раньше покажем, как с ее помощью можно строить трансцендентные числа. Рассмотрим число

z = a1 · 10−1! + a2 · 10−2! + a3 · 10−3! + . . . + am · 10−m! + . . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000 . . . ,

где ai обозначают произвольные цифры от 1 до 9 (проще всего было бы положить все ai равными 1), а символ n!, как обычно (см. стр. 36 ), обозначает 1 · 2 · . . . · n. Характерным свойством десятичного разложения такого числа является то, что быстро возрастающие по своей длине группы нулей чередуются в нем с отдельными цифрами, отличными от нуля. Обозначим через zm конечную десятичную дробь, получающуюся, когда в разложении возьмем все члены до am · 10−m! включительно. Тогда получим неравенство

Предположим, что z было бы алгебраическим числом степени n. Тогда, полагая в неравенстве Лиувилля (3) p q = zm = 10 p m! , мы должны иметь

|z − zm | > 10 (n+1)m!

при достаточно больших значениях m. Сопоставление последнего неравенства с неравенством (4) дает

откуда следует (n + 1)m! > (m + 1)! − 1 при достаточно больших m. Но это неверно для значений m, больших чем n (пусть читатель потрудится дать детализированное доказательство этого утверждения). Мы пришли к противоречию. Итак, число z - трансцендентное.

Остается доказать теорему Лиувилля. Предположим, что z - алгебраическое число степени n > 1, удовлетворяющее уравнению (1), так что

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn ).

Деля обе части на zm − z и пользуясь алгебраической формулой

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

мы получаем:

Так как zm стремится к z, то при достаточно больших m рациональное число zm будет отличаться от z меньше чем на единицу. Поэтому при достаточно больших m можно сделать следующую грубую оценку:

N|an |(|z| + 1)n−1 = M, (7)

причем стоящее справа число M - постоянное, так как z не меняется в процессе доказательства. Выберем теперь m настолько большим, чтобы

у дроби z m = p m знаменатель q m был больше, чем M; тогда qm

так как тогда можно было бы из многочлена f(x) выделить множитель (x − zm ), и, значит, z удовлетворяло бы уравнению степени низшей чем n. Итак, f(zm ) 6= 0. Но числитель в правой части равенства (9) есть целое число и, следовательно, по абсолютной величине он по меньшей мере равен единице. Таким образом, из сопоставления соотношений (8) и (9) вытекает неравенство

как раз и составляющее содержание указываемой теоремы.

На протяжении нескольких последних десятилетий исследования, касающиеся возможности приближения алгебраических чисел рациональными, продвинулись гораздо дальше. Например, норвежский математик А. Туэ (1863–1922) установил, что в неравенстве Лиувилля (3) показатель n + 1 может быть заменен меньшим показателем n 2 + 1.

К. Л. Зигель показал, что можно взять и еще меньший (еще меньший

при б´ольших n) показатель 2 n.

Трансцендентные числа всегда были темой, приковывающей к себе внимание математиков. Но до сравнительно недавнего времени среди чисел, которые интересны сами по себе, было известно очень немного таких, трансцендентный характер которых был бы установлен. (Из трансцендентности числа p, о которой пойдет речь в главе III, следует невозможность квадратуры круга с помощью линейки и циркуля.) В своем выступлении на Парижском международном математическом конгрессе 1900 г. Давид Гильберт предложил тридцать математических

проблем, допускающих простую формулировку, некоторые - даже совсем элементарную и популярную, из которых ни одна не только не была решена, но даже и не казалась способной быть разрешенной средствами математики той эпохи. Эти «проблемы Гильберта» оказали сильное возбуждающее влияние на протяжении всего последующего периода развития математики. Почти все они мало-помалу были разрешены, и во многих случаях их решение было связано с ясно выраженными успехами в смысле выработки более общих и более глубоких методов. Одна из проблем, казавшаяся довольно безнадежной, заключалась в

доказательстве того, что число

является трансцендентным (или хотя бы иррациональным). На протяжении трех десятилетий не было даже намека на такой подход к вопросу с чьей-нибудь стороны, который открывал бы надежду на успех. Наконец, Зигель и, независимо от него, молодой русский математик А. Гельфонд открыли новые методы для доказательства трансцендентности многих

чисел, имеющих значение в математике. В частности, была установлена

трансцендентность не только гильбертова числа 2 2 , но и целого довольно обширного класса чисел вида ab , где a - алгебраическое число, отличное от 0 и 1, a b - иррациональное алгебраическое число.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ II

Алгебра множеств

1. Общая теория. Понятие класса, или совокупности, или множества объектов - одно из самых фундаментальных в математике. Множество определяется некоторым свойством («атрибутом») A, которым должен или обладать, или не обладать каждый рассматриваемый объект; те объекты, которые обладают свойством A, образуют множество A. Так, если мы рассматриваем целые числа и свойство A заключается в том, чтобы «быть простым», то соответствующее множество A состоит из всех простых чисел 2, 3, 5, 7, . . .

Математическая теория множеств исходит из того, что из множеств с помощью определенных операций можно образовывать новые множества (подобно тому как из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые числа). Изучение операций над множествами составляет предмет «алгебры множеств», которая имеет много общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в чем и отличается от нее. Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к изучению нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллю-

стрирует большую общность идей современной математики. В последнее время выяснилось, что алгебра множеств бросает новый свет на многие области математики, например, теорию меры и теорию вероятностей; она полезна также при систематизации математических понятий и выяснении их логических связей.

В дальнейшем I будет обозначать некоторое постоянное множество объектов, природа которых безразлична, и которое мы можем называть универсальным множеством (или универсумом рассуждения), а

A, B, C, . . . будут какие-то подмножества I. Если I есть совокупность всех натуральных чисел, то A, скажем, может обозначать множество всех четных чисел, B - множество всех нечетных чисел, C - множество всех простых чисел, и т. п. Если I обозначает совокупность всех точек на плоскости, то A может быть множеством точек внутри какого-то круга, B - множеством точек внутри другого круга и т. п. В число «подмножеств» нам удобно включить само I, а также «пустое» множество, не содержащее никаких элементов. Цель, которую преследует такое искусственное расширение, заключается в сохранении того положения, что каждому свойству A соответствует некоторое множество элементов из I, обладающих этим свойством. В случае, если A есть универсально выполняемое свойство, примером которого может служить (если речь идет о числах) свойство удовлетворять тривиальному равенству x = x, то соответствующее подмножество I будет само I, так как каждый элемент обладает таким свойством; с другой стороны, если A есть какое-то внутренне противоречивое свойство (вроде x 6= x), то соответствующее подмножество не содержит вовсе элементов, оно - «пустое» и обозначается символом.

Говорят, что множество A есть подмножество множества B, короче, «A входит в B», или «B содержит A», если во множестве A нет такого элемента, который не был бы также во множестве B. Этому соотношению соответствует запись

A B, или B A.

Например, множество A всех целых чисел, делящихся на 10, есть подмножество множества B всех целых чисел, делящихся на 5, так как каждое число, делящееся на 10, делится также на 5. Соотношение A B не исключает соотношения B A. Если имеет место и то и другое, то

Это означает, что каждый элемент A есть вместе с тем элемент B, и обратно, так что множества A и B содержат как раз одни и те же элементы.

Соотношение A B между множествами во многих отношениях напоминает соотношение a 6 b между числами. В частности, отметим сле-

дующие свойства этого соотношения:

1) A A.

2) Если A B и B A, то A = B.

3) Если A B и B C, то A C.

По этой причине соотношение A B иногда называют «отношением порядка». Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения a 6 b между числами заключается в том, что между всякими двумя заданными (действительными) числами a и b непременно осуществляется по меньшей мере одно из соотношений a 6 b или b 6 a, тогда как для соотношения A B между множествами аналогичное утверждение неверно. Например, если A есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3,

а B - множество, состоящее из чисел 2, 3, 4,

то не имеет места ни соотношение A B, ни соотношение B A. По этой причине говорят, что подмножества A, B, C, . . . множества I являются «частично упорядоченными», тогда как действительные числа a, b, c, . . .

образуют «вполне упорядоченную» совокупность.

Заметим, между прочим, что из определения соотношения A B следует, что, каково бы ни было подмножество A множества I,

Свойство 4) может показаться несколько парадоксальным, но, если вдуматься, оно логически строго соответствует точному смыслу определения знака. В самом деле, соотношение A нарушалось бы только

в том случае, если бы пустое множество содержало элемент, который не содержался бы в A; но так как пустое множество не содержит вовсе элементов, то этого быть не может, каково бы ни было A.

Мы определим теперь две операции над множествами, формально обладающие многими алгебраическими свойствами сложения и умножения чисел, хотя по своему внутреннему содержанию совершенно отличные от этих арифметических действий. Пусть A и B - какие-то два множества. Под объединением, или «логической суммой», A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся или в A, или

в B (включая и те элементы, которые содержатся и в A и в B). Это множество обозначается A + B. 1 Под «пересечением», или «логическим произведением», A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся и в A и в B. Это множество обозначается AB.2

Среди важных алгебраических свойств операций A + B и AB перечислим следующие. Читатель сможет проверить их справедливость, исходя из определения самих операций:

Проверка всех этих законов - дело самой элементарной логики. Например, правило 10) констатирует, что множество элементов, содержащихся или в A, или в A, есть как раз множество A; правило 12) констатирует, что множество тех элементов, которые содержатся в A и вместе с тем содержатся или в B, или в C, совпадает со множеством элементов, которые или содержатся одновременно в A и в B, или содержатся одновременно в A и в C. Логические рассуждения, используемые при доказательствах подобного рода правил, удобно иллюстрируются, если мы условимся изображать множества A, B, C, . . . в виде некоторых фигур на плоскости и будем очень внимательны в том отношении, чтобы не упустить ни одной из возникающих логических возможностей, когда речь идет о наличии общих элементов двух множеств или, напротив, наличии в одном множестве элементов, которые не содержатся в другом.

Читатель, несомненно, обратил внимание на то обстоятельство, что законы 6), 7), 8), 9) и 12) внешне тождественны с хорошо знакомыми коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законами обыкновенной алгебры. Отсюда следует, что все правила обыкновенной алгебры, вытекающие из этих законов, действительны также в алгебре множеств. Напротив, законы 10), 11) и 13) не имеют своих аналогов в обыкновенной алгебре, и они придают алгебре множеств более простую структуру. Например, формула бинома в алгебре множеств сводится к простейшему равенству

(A + B)n = (A + B) · (A + B) . . . (A + B) = A + B,

которое следует из закона 11). Законы 14), 15) и 17) говорят о том, что свойства множеств и I по отношению к операциям объединения и пересечения множеств весьма похожи на свойства чисел 0 и 1 по отношению к операциям числовых действий сложения и умножения. Но закон 16) не имеет аналога в числовой алгебре.

Остается дать определение еще одной операции в алгебре множеств. Пусть A - какое-нибудь подмножество универсального множества I. Тогда под дополнением A в I понимается множество всех элементов I, которые не содержатся в A. Для этого множества мы введем обозначение A0 . Так, если I есть множество всех натуральных чисел, а A - множество всех простых чисел, то A0 есть множество, состоящее из всех составных чисел и числа 1. Операция перехода от A к A0 , для которой нет аналога в обыкновенной алгебре, обладает следующими свойствами:

23) A 00 = A.

24) Соотношение A B эквивалентно соотношению B 0 A0 .

25) (A + B)0 = A0 B0 . 26) (AB)0 = A0 + B0 .

Проверку этих свойств мы опять предоставляем читателю.

Законы 1)–26) лежат в основе алгебры множеств. Они обладают замечательным свойством «двойственности» в следующем смысле:

Если в одном из законов 1)–26) заменить друг на друга соответ-

(в каждом их вхождении), то в результате снова получается один из этих же законов. Например, закон 6) переходит в закон 7), 12) - в 13), 17) - в 16) и т. д. Отсюда следует, что каждой теореме, которая может быть выведена из законов 1)–26), соответствует другая, «двойственная» ей теорема, получающаяся из первой посредством указанных перестановок символов. В самом деле, так как доказательство

гл. II АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ 139

первой теоремы состоит из последовательного применения (на различных стадиях проводимого рассуждения) некоторых из законов 1–26), то применение на соответствующих стадиях «двойственных» законов составит доказательство «двойственной» теоремы. (По поводу подобной же «двойственности» в геометрии см. главу IV.)

2. Применение к математической логике. Проверка законов алгебры множеств основывалась на анализе логического смысла соотношения A B и операций A + B, AB и A0 . Мы можем теперь обратить этот процесс и рассматривать законы 1)–26) как базу для «алгебры логики». Скажем точнее: та часть логики, которая касается множеств, или, что по существу то же, свойств рассматриваемых объектов, может быть сведена к формальной алгебраической системе, основанной на законах 1)–26). Логическая «условная вселенная» определяет множество I; каждое свойство A определяет множество A, состоящее из тех объектов в I, которые обладают этим свойством. Правила перевода обычной логической терминологии на язык множеств ясны из

В терминах алгебры множеств силлогизм «Barbara», обозначающий, что «если всякое A есть B и всякое B есть C, то всякое A есть C», принимает простой вид:

3) Если A B и B C, то A C.

Аналогично «закон противоречия», утверждающий, что «объект не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством», записывается в виде:

20) AA 0 = ,

а «закон исключенного третьего», говорящий, что «объект должен или обладать, или не обладать некоторым свойством», записывается:

19) A + A 0 = I.

Таким образом, та часть логики, которая выразима в терминах символов, +, · и 0 , может трактоваться как формальная алгебраическая система, подчиненная законам 1)–26). На основе слияния логического анализа математики и математического анализа логики создалась новая дисциплина - математическая логика, которая в настоящее время находится в процессе бурного развития.

С аксиоматической точки зрения заслуживает внимания тот замечательный факт, что утверждения 1)–26), вместе со всеми прочими теоремами алгебры множеств, могут быть логически выведены из следующих трех равенств:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0 )0 + (A0 + B)0 = A.

Отсюда следует, что алгебра множеств может быть построена как чисто дедуктивная теория, вроде евклидовой геометрии, на базе этих трех положений, принимаемых в качестве аксиом. Если эти аксиомы приняты, то операция AB и отношение A B определяются в терминах A + B и A0 :

Совершенно иного рода пример математической системы, в которой выполняются все формальные законы алгебры множеств, дается системой восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: здесь a + b обозначает, по

определению, общее наименьшее кратное a и b, ab - общий наибольший делитель a и b, a b - утверждение «b делится на a» и a0 - число 30 a . Су-

ществование таких примеров повлекло за собой изучение общих алгебраических систем, удовлетворяющих законам 27). Такие системы называются «булевыми алгебрами» - в честь Джорджа Буля (1815–1864), английского математика и логика, книга которого «An investigation of the laws of thought» (Исследование законов мышления) появилась в 1854 г.

3. Одно из применений к теории вероятностей. Алгебра множеств имеет ближайшее отношение к теории вероятностей и позволяет взглянуть на нее в новом свете. Рассмотрим простейший пример: представим себе эксперимент с конечным числом возможных исходов, которые все мыслятся как «равновозможные». Эксперимент может, например, заключаться в том, что мы вытягиваем наугад карту из хорошо перетасованной полной колоды. Если множество всех исходов эксперимента обозначим через I, а A обозначает какое-нибудь подмножество I, то вероятность того, что исход эксперимента окажется принадлежащим к подмножеству A, определяется как отношение

p(A) = число элементов A . число элементов I

Если условимся число элементов в каком-нибудь множестве A обозначать через n(A), то последнему равенству можно придать вид

Идеи алгебры множеств обнаруживаются при вычислении вероятностей тогда, когда приходится, зная вероятности одних множеств, вычислять вероятности других. Например, зная вероятности p(A), p(B) и p(AB), можно вычислить вероятность p(A + B):

Доказать это не составит труда. Мы имеем

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

так как элементы, содержащиеся одновременно в A и в B, т. е. элементы AB, считаются дважды при вычислении суммы n(A) + n(B), и, значит, нужно вычесть n(AB) из этой суммы, чтобы подсчет n(A + B) был произведен правильно. Деля затем обе части равенства на n(I), мы получаем соотношение (2).

Более интересная формула получается, если речь идет о трех множествах A, B, C из I. Пользуясь соотношением (2), мы имеем

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Закон (12) из предыдущего пункта дает нам (A + B)C = AC + BC. Отсюда следует:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Подставляя в полученное раньше соотношение значение p[(A + B)C] и значение p(A + B), взятое из (2), мы приходим к нужной нам формуле:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

В качестве примера рассмотрим следующий эксперимент. Три цифры 1, 2, 3 пишутся в каком попало порядке. Какова вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем (в смысле нумерации) месте? Пусть A есть множество перестановок, в которых цифра 1 стоит на первом месте, B - множество перестановок, в которых цифра 2 стоит на втором месте, C - множество перестановок, в которых цифра 3 стоит на третьем месте. Нам нужно вычислить p(A + B + C). Ясно, что

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3 ;

действительно, если какая-нибудь цифра стоит на надлежащем месте, то имеются две возможности переставить остальные две цифры из общего числа 3 · 2 · 1 = 6 возможных перестановок трех цифр. Далее,

Упражнение. Выведите соответствующую формулу для p(A + B + C + D) и примените ее к эксперименту, в котором будут участвовать 4 цифры. Соответствующая вероятность равна 5 8 = 0,6250.

Общая формула для объединения n множеств имеет вид

комбинациям, содержащим одну, две, три, . . . , (n − 1) букв из числа A1 , A2 , . . .

An. Эта формула может быть установлена посредством математической индукции - точно так же, как формула (3) была выведена из формулы (2).

Из формулы (4) можно заключить, что если n цифр 1, 2, 3, . . . , n написаны в каком угодно порядке, то вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем месте, равна

причем перед последним членом стоит знак + или −, смотря по тому, является ли n четным или нечетным. В частности, при n = 5 эта вероятность равна

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333 . . .

В главе VIII мы увидим, что, когда n стремится к бесконечности, выражение

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ± n!

стремится к пределу 1 e , значение которого, с пятью знаками после запятой,

равно 0,36788. Так как из формулы (5) видно, что pn = 1 − Sn, то отсюда следует, что при n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Трансцендентное число — комплексное число, не являющееся алгебраическим, то есть не являющееся корнем никакого отличного от нуля многочлена с рациональными коэффициентами.

Существование трансцендентных чисел впервые установил Ж. Лиувилль в 1844 г.; он же построил первые примеры таких чисел. Лиувилль заметил, что алебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными числами . Именно, теорема Лиувилля гласит, что если алгебраическое число является корнем многочлена степени с рациональными коэффициентами, то для любого рационального числа справедливо неравенство

где постоянная зависит только от. Из этого утверждения следует достаточный признак трансцендентности: если число таково, что для любой постоянной существует бесконечное множество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенствам

то трансцендентно. Впоследствии такие числа получили название чисел Лиувилля. Примером такого числа является

Другое доказательство существования трансцендентных чисел было получено Г. Кантором в 1874 г. на основе созданной им теории множеств. Кантор доказал счётность множества алгебраических чисел и несчётность множества действительных чисел, откуда следует, что множество трансцендентных чисел несчётно. Однако, в отличие от доказательства Лиувилля, эти рассуждения не позволяют привести пример хотя бы одного такого числа.

Работа Лиувилля дала начало целому разделу теории трансцендентных чисел — теории приближения алгебраических чисел рациональными или, более общо, алгебраическими числами. Теорема Лиувилля усиливалась и обобщалась в работах многих математиков. Это позволило построить новые примеры трансцендентных чисел. Так, К. Малер показал, что если — непостоянный многочлен, принимающий целые неотрицательные значения при всех натуральных, то для любого натурального число, где — запись числа в системе счисления с основанием, является трансцендентным, но не является числом Лиувилля. Например, при и получаем следующий изящный результат: число

трансцендентно, но не является числом Лиувилля.

В 1873 г. Ш. Эрмит, используя другие идеи, доказал трансцендентность неперова числа (основания натурального логарифма):

Развив идеи Эрмита, Ф. Линдеман в 1882 г. доказал трансцендентность числа, тем самым поставив точку в древней проблеме о квадратуре круга: с помощью циркуля и линейки невозможно построить квадрат, равновеликий (то есть имеющий ту же площадь) данному кругу. Более общо, Линдеман показал, что при любом алгебраическом число трансцендентно. Эквивалентная формулировка: для любого алгебраического числа, отличного от и, его натуральный логарифм является трансцендентым числом.

В 1900 г. на конгрессе математиков в Париже Д. Гильберт среди 23 нерешённых проблем математики указал на следующую, в частной форме сформулированную ещё Л. Эйлером :

Пусть и — алгебраические числа, причём трансцендентным? В частности, трансцендентны ли числа и?

Эта проблема может быть переформулирована в следующей форме, близкой к оригинальной формулировке Эйлера:

Пусть и — алгебраические числа, отличные от и, причём отношение их натуральных логарифмов иррационально. Будет ли число трансцендентным?

Первое частичное решение проблемы было получено в 1929 г. А. О. Гельфондом, который, в частности, доказал трансцендентность числа. В 1930 г. Р. О. Кузьмин усовершенствовал метод Гельфонда, в частности, ему удалось доказать трансцендентность числа. Полное решение проблемы Эйлера-Гильберта (в утвердительном смысле) было получено в 1934 г. независимо А. О. Гельфондом и Т. Шнайдером.

А. Бейкер в 1966 обобщил теоремы Линдемана и Гельфонда-Шнайдера, доказав, в частности, трансцендентность произведения произвольного конечного количества чисел вида и с алгебраическими при естественных ограничениях.

В 1996г. Ю.В. Нестеренко доказал алгебраическую независимость значений рядов Эйзенштейна и, в частности, чисел и. Это означает трансцендентность любого числа вида, где отличная от нуля рациональная функция с алгебраическими коэффициентами. Например, трансцендентной будет сумма ряда

В 1929-1930 гг. К. Малер в серии работ предложил новый метод доказательства трансцендентности значений аналитических функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям определённого вида (впоследствии такие функции получили название функций Малера).

Методы теории трансцендентных чисел нашли применение и в других разделах математики, в частности в теории диофантовых уравнений.

Число называется алгебраическим , если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 (т. е. корнем уравнения a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0 , где a n , a n-1 , ..., a 1 , a 0 --- целые числа, n 1 , a n 0 ).

Множество алгебраических чисел обозначим буквой .

Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, - корень уравнения qx-p=0 с целыми коэффициентами a 1 =q и a 0 =-p . Итак, .

Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число является корнем уравнения x 2 -2=0 , следовательно, --- алгебраическое число.

Долгое время оставался нерешенным важный для математики вопрос: Существуют ли неалгебраические действительные числа? Только в 1844 году Лиувилль впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.

Построение этого числа и доказательство его трансцендентности очень сложны. Доказать теорему существования трансцендентных чисел можно значительно проще, используя соображения об эквивалентности и неэквивалентности числовых множеств.

А именно, докажем, что множество алгебраических чисел счетно. Тогда, поскольку множество всех действительных чисел несчетно, мы установим существование неалгебраических чисел.

Построим взаимно однозначное соответствие между и некоторым подмножеством . Это будет означать, что - конечно либо счетно. Но поскольку , то бесконечно, и значит, счетно.

Пусть - некоторое алгебраическое число. Рассмотрим все многочлены с целыми коэффициентами, корнем которых является , и выберем среди них многочлен P минимальной степени (т. е. не будет корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами меньшей степени).

Например, для рационального числа такой многочлен имеет степень 1, а для числа - степень 2.

Разделим все коэффициенты многочлена P на их наибольший общий делитель. Получим многочлен, коэффициенты которого взаимно просты в совокупности (их наибольший общий делитель равен 1). Наконец, если старший коэффициент a n отрицателен, умножим все коэффициенты многочлена на -1 .

Полученный многочлен (т. е. многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число , имеющий минимально возможную степень, взаимно простые коэффициенты и положительный старший коэффициент) называется минимальным многочленом числа .

Можно доказать, что такой многочлен определяется однозначно: каждое алгебраическое число имеет ровно один минимальный многочлен.

Количество действительных корней многочлена не больше чем его степень. Значит, можно пронумеровать (например, по возрастанию) все корни такого многочлена.

Теперь всякое алгебраическое число полностью определяется своим минимальным многочленом (т. е. набором его коэффициентов) и номером, который отличает от других корней этого многочлена: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Итак, каждому алгебраическому числу мы поставили в соответствие конечный набор целых чисел, причем по этому набору восстанавливается однозначно (т. е. разным числам соответствуют разные наборы).

Пронумеруем в порядке возрастания все простые числа (нетрудно показать, что их бесконечно много). Получим бесконечную последовательность {p k } : p 1 =2 ,p 2 =3 , p 3 =5 , p 4 =7 , ... Теперь набору целых чисел (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) можно поставить в соответствие произведение

(это число положительное и рациональное, но не всегда натуральное, ведь среди чисел a 0 , a 1 , ..., a n-1 , могут быть отрицательные). Заметим, что это число есть несократимая дробь, поскольку простые множители, входящие в разложения числителя и знаменателя, различны. Заметим также, что две несократимые дроби с положительными числителями и знаменателями равны тогда и только тогда, когда и их числители равны, и их знаменатели равны.

Рассмотрим теперь сквозное отображение:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Поскольку разным алгебраическим числам мы поставили в соответствие разные наборы целых чисел, а разным наборам --- разные рациональные числа, то мы, таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством и некоторым подмножеством . Поэтому множество алгебраических чисел счетно.

Так как множество действительных чисел несчетно, то мы доказали существование неалгебраических чисел.

Однако теорема существования не указывает как определить, является ли данное число алгебраическим. А этот вопрос иногда является весьма важным для математики.

На действительной прямой кроме алгебраических чисел поместилось еще одно множество, мощность которого совпадает с мощностью всей прямой - это множество трансцендентных чисел.

Определение 6 : Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным , то есть трансцендемнтное числом (лат. transcendere - переходить, превосходить) - это вещественное или комплексное число, которое не может быть корнем многочлена (не равного тождественно нулю) с рациональными коэффициентами

Свойства трансцендентных чисел:

· Множество трансцендентных чисел континуально.

· Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число - иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).

· Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.

· Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.

Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем. Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел.

Теорема 6 [3, стр. 54] .: Пусть - действительное число. Если для любого натурального n 1 и любого действительного c >0 существует хотя бы одна рациональная дробь, такая, что (11), то - трансцендентное число.

Доказательство: Если бы было алгебраическим, то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c >0 такие, что для любой дроби было бы, а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана.

Числа, для которых при любых n 1 и c >0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля.

Теперь у нас есть средство для построения действительных чисел, не являющихся алгебраическими. Нужно построить число, допускающее приближения сколь угодно высокого порядка.

Пример :

a - трансцендентное число.

Возьмем произвольные действительные n 1 и c >0. Пусть, где k выбрано настолько большим, что и kn , тогда

Поскольку для произвольных n 1 и c >0 можно найти дробь такую, что, то - трансцендентное число.

Зададим число в виде бесконечной десятичной дроби: где

Тогда, для любого, где, . Таким образом, а это означает, что допускает приближения сколь угодно высокого порядка и поэтому не может быть алгебраическим.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e , основания натуральных логарифмов.

Для доказательства трансцендентности числа e потребуются две леммы.

Лемма 1. Если g (x ) - многочлен с целыми коэффициентами, то для любого k N все коэффициенты его k- ой производной g (k ) (x ) делятся на k !.

Доказательство. Так как оператор d/dx линейный, то утверждение леммы достаточно проверить только для многочленов вида g (x )=x s , s 0.

Если k >s , то g (k) (x )= 0 и k !|0.

Если k< s , то

биномиальный коэффициент является целым числом и g (k) (x ) опять-таки делится на k ! нацело.

Лемма 2 (Тождество Эрмита) . Пусть f (x ) - произвольный многочлен степени k с действительными коэффициентами,

F(x )=f (x )+ f " (x )+ f» (x )+ … + f (k) (x ) - сумма всех его производных. Тогда для любого действительного (и даже комплексного, но нам это пока не понадобится) x выполнено:

Доказательство. Интегрируем по частям:

Интеграл вновь интегрируем по частям, и так далее. Повторив эту процедуру k +1 раз, получим:

Теорема 7 (Эрмит, 1873) . Число е трансцендентно.

Доказательство. Докажем это утверждение от противного. Допустим, что е - алгебраическое число, степени m . Тогда

a m e m + … +a 1 e +a 0 =0

для некоторого натурального m и некоторых целых a m ,… a 1 , a 0 . Подставим в тождество Эрмита (12) вместо х целое число k которое принимает значения от 0, до m ; умножим каждое равенство

соответственно на a k , а затем все их сложим. Получим:

Так как (это наше противное предположение), то выходит, что для любого многочлена f (x ) должно быть выполнено равенство:

За счет подходящего выбора многочлена f (x ) можно сделать левую часть (13) ненулевым целым числом, а правая часть при этом окажется между нулем и единицей.

Рассмотрим многочлен, где n определим позже (n N , и n большое).

Число 0 - корень кратности n -1 многочлена f (x ), числа 1, 2,…, m - корни кратности n , следовательно:

f (l ) (0)=0, l =1,2,…, n -2

f (n-1) (0)=(-1) mn (m !) n

f (l ) (k )=0, l =0,1, …, n -1; k =1,2,…, m

Рассмотрим g(x )=x n -1 (x -1) n (x -2) n … (x-m ) n - многочлен, похожий на f (x ), но с целыми коэффициентами. По лемме 1, коэффициенты g (l ) (x ) - целые числа, делящиеся на l !, следовательно, при l < n , у производной g (l ) (x ) все коэффициенты - целые числа, делящиеся на n , т.к. g (l ) (x ) получается из g (l) (x ) делением только на (n -1)!. Именно поэтому

где А - подходящее целое число, а над знаком суммы стоит число (m +1) n -1 - степень многочлена f (x ) и, хоть суммировать можно и до бесконечности, ненулевых производных у f (x ) именно столько.

Аналогично

где B k - подходящие целые числа, k = 1, 2,…, m .

Пусть теперь n N - любое целое число, удовлетворяющее условиям:

Снова рассмотрим равенство (13):

В сумме слева все слагаемые - целые числа, причем a k F (k ) при k = 1, 2,…, m делится на n , а a 0 F (0) на n не делится. Это означает, что вся сумма, будучи целым числом, на n не делится, т.е. не является нулем. Следовательно,

Оценим теперь правую часть равенства (13). Ясно, что на отрезке и поэтому на этом отрезке

где константы C 0 и C 1 не зависят от n . Известно, что

поэтому, при достаточно больших n , правая часть (13) меньше единицы и равенство (13) невозможно.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа.

Теорема 8 (Линдеман) [3, стр. 58 ]. Если - алгебраическое число и, то число - трансцендентно.

Теорема Линдемана позволяет строить трансцендентные числа.

Примеры :

Из теоремы Линдемана вытекает, например, что число ln 2 - трансцендентно, ведь 2=e ln 2 , а число 2 - алгебраическое и если б число ln 2 было алгебраическим, то за леммой число 2 было б трансцендентным числом.

Вообще, для любого алгебраического, ln за теоремой Линдемана является трансцендентным. Если же трансцендентное, то ln не обязательно трансцендентное число, например ln e =1

Оказывается, мы еще в средней школе видели массу трансцендентных чисел - ln 2, ln 3, ln () и т.п.

Отметим также, что трансцендентними являються числа вида, для любого ненулевого алгебраического числа (по теореме Линдемана - Вейерштрасса которая является обобщением теоремы Линдемана). Например, трансцендентными являются числа, .

Если же трансцендентно, то, не обязательно трансцендентные числа, например,

Доказательство теоремы Линдемана можно провести с помощью тождества Эрмита, аналогично тому, как была доказана трансцендентность, с некоторыми усложнениями в преобразованиях. Именно так ее и доказывал сам Линдеман. А можна эту теорему доказывать иным путем, так как это делал советский математик А.О. Гельфонд, идеи которого привели в середине ХХ века к решению Седьмой проблемы Гильберта.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если, верно ли, что числа вида, где, - алгебраические и - иррационально являются трансцендентными числами?» . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Доказательство трансцендентности значений показательной функции, предложенное Гельфондом, основывается на применении интерполяционных методов .

Примеры:

1) На основании теоремы Гельфонда можна доказать, например, что число является трансцендентным, поскольку, если б оно было алгебраическим иррациональным, то, поскольку то число 19 за теоремой Гельфонда было б трансцендентным, что неправда.

2) Пусть a и b - иррациональные числа. Может ли число a b быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число - трансцендентное (поскольку - алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому - иррациональное. С другой стороны,

Итак, мы просто предъявили такие числа: , Однако эта задача может быть решена и без каких-либо ссылок на результат Гельфонда. Можна рассуждать следующим образом: рассмотрим число. Если это число рациональное, то задача решена, такие a и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмем, и.

Итак, мы предъявили две пары чисел a и b , таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.

Илья Щуров

Математик Илья Щуров о десятичных дробях, трансцендентности и иррациональности числа Пи.

Как «единица» помогла построить первые города и великие империи? Как вдохновляла выдающиеся умы человечества? Какую роль в появлении денег она сыграла? Как «единица» объединилась с нулем, чтобы править современным миром? История единицы неразрывно связана с историей европейской цивилизации. Терри Джонс отправляется в юмористическое путешествие с целью собрать воедино удивительную историю нашего самого простого числа. С помощью компьютерной графики в этой программе единица оживает в самых различных испостасях. Из истории единицы становится ясно, откуда появились современные числа, и каким образом изобретение нуля спасло нас от необходимости сегодня использовать римские цифры.

Жак Сезиано

Мы знаем о Диофанте немного. Кажется, он жил в Александрии. Никто из греческих математиков не упоминает его до IV века, так что он вероятно жил в середине III века. Самая главная работа Диофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), состоялась в начале из 13 «книгах» (βιβλία), т. е. главах. Мы сегодня имеем 10 из них, а именно: 6 в греческом тексте и 4 других в средневековом арабском переводе, место которых в середине греческих книг: книги I-III по-гречески, IV-VII по-арабски, VIII-X по-гречески. «Арифметика» Диофанта прежде всего собрание задач, всего около 260. Теории, по правде говоря, нет; имеются только общие инструкции в введении книги, и частные замечания в некоторых задачах, когда нужно. «Арифметика» уже имеет черты алгебраического трактата. Сперва Диофант пользуется разными знаками, чтобы выражать неизвестное и его степени, также и некоторые вычисления; как и все алгебраические символики средних веков, его символика происходит от математических слов. Потом, Диофант объясняет, как решить задачу алгебраическим способом. Но задачи Диофанта не алгебраические в обычном смысле, потому что почти все сводятся к решению неопределённого уравнения или систем таких уравнений.

Георгий Шабат

Программа курса: История. Первые оценки. Проблема соизмеримости длины окружности с ее диаметром. Бесконечные ряды, произведения и другие выражения для π. Сходимость и ее качество. Выражения, содержащие π. Последовательности, быстро сходящиеся к π. Современные методы вычисления π, использование компьютеров. Об иррациональности и трансцендентности π и некоторых других чисел. Предварительных знаний для понимания курса не требуется.

Ученые из Оксфордского университета заявили, что самым ранним известным употреблением цифры 0 для обозначения отсутствия значения разряда (как в числе 101) следует считать текст индийского манускрипта Бахшали.

Василий Писпанен

Кто не играл в детстве в игру "назови самое большое число"? Миллионы, триллионы и прочие "-оны" представить в уме уже сложно, но мы с вами попробуем разобрать "мастодонта" в математике - число Грэма.

Виктор Клепцын

Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа x на k-й цифре после запятой, мы получим приближение x≈a/10^k с ошибкой порядка 1/10^k. И вообще, зафиксировав знаменатель q у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка 1/q. А можно ли сделать лучше? Знакомое всем приближение π≈22/7 даёт ошибку порядка 1/1000 – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у π такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей p/q, приближающих его лучше, чем 1/q^2. Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.

В 1980 году Книга рекордов Гиннесса повторила утверждения Гарднера, ещё больше подогрев интерес публики к этому числу. Число Грехема в невообразимое количество раз больше, чем другие хорошо известные большие числа, такие, как гугол, гуголплекс и даже больше, чем число Скьюза и число Мозера. На самом деле вся наблюдаемая вселенная слишком мала для того, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грехема.

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела. Так, к любому числу достаточно всего лишь прибавить единицу, чтобы получить число ещё большее. Хотя сами числа бесконечны, собственных названий у них не так уж и много, так как большинство из них довольствуются именами, составленными из чисел меньших. Понятно, что в конечном наборе чисел, которых человечество наградило собственным именем, должно быть какое-то наибольшее число. Но как оно называется и чему оно равно? Давайте же, попробуем в этом разобраться и заодно узнать, насколько большие числа придумали математики.