Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Сравнение чисел В этом уроке мы закрепим знания по сравнению чисел. Сформулируем правило для сравнения чисел относительно их расположения на координатной прямой. Научимся сравнивать числа при помощи понятия «модуль числа». Выведем правило сравнения чисел. Закрепим знания при выполнении упражнений на сравнение чисел. Конспект урока "Сравнение чисел" Вы знаете, что числа можно сравнивать. Давайте вспомним, какие числа вы уже умеете сравнивать: Следовательно, вы умеете сравнивать любые положительные числа друг с другом и с нулём. А как вы думаете, отрицательные числа можно сравнивать? Конечно! И отрицательные друг с другом, и отрицательные с положительными, и отрицательные с нулём. Сегодня на уроке мы об этом и поговорим. Давайте начертим координатную прямую, отметим на ней начало отсчёта, выберем единичный отрезок и укажем направление. Напомним, на горизонтальной координатной прямой положительные числа изображаются правее нуля, а отрицательные – левее нуля. Возьмём два числа, например, 1 и. Вы знаете, что. Отметим на координатной прямой точки А(1) и В().

Понятно, что точка А на координатной прямой расположена левее точки В. Напомним, правило: на горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Соответственно, на горизонтальной координатной прямой точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой. А теперь давайте возьмём два отрицательных числа, например, – 2 и – . Как сравнить такие числа? Отметим на координатной прямой точки С(– 2) и D(–). Запишем правило сравнения любых чисел: Из двух чисел больше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой правее. И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой левее. Пример Если рассматривать вертикальную координатную прямую, то в сформулированном правиле сравнения нужно заменить слово «правее» на «выше», а слово «левее» – на «ниже». Сформулируем правило сравнения чисел на вертикальной координатной прямой.

Из двух чисел больше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой выше. И, соответственно,из двух чисел меньше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой ниже. Хотелось бы сразу уточнить, что все положительные числа больше нуля, а все отрицательные – меньше нуля. Любое отрицательное число меньше положительного. Вообще очень удобно сравнивать числа при помощи понятия «модуль числа». Так как большее из двух положительных чисел на координатной прямой изображается правее, т.е. дальше от начала отсчёта, то это число имеет больший модуль. Запомните, из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше. Так как большее из двух отрицательных чисел на координатной прямой изображается правее, т.е. ближе к началу отсчёта, то это число имеет меньший модуль. Запомните, из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Чтобы научиться легко сравнивать отрицательные числа, не пользуясь координатной прямой, давайте порассуждаем. Когда теплее – при – 25° или при – 5°?

Сравнение чисел может производиться различными способами:

1) с опорой на порядок называния чисел при счете: число на­званное раньше будет меньшим (это следует из свойства упоря­доченности множества натуральных чисел);

2) с опорой на процесс присчитывания: три и один будет четы­ре, значит три меньше, чем четыре;

3) с опорой на количественные модели сравниваемых чисел:

Для фиксации процесса сравнения вводится знак сравнения.

Следует помнить, что знак сравнения - один, но читается он по-разному в зависимости от желания читающего. В соответствии с тра­дицией чтения текстов в европейских письменностях слева направо первое прочтение знака сравнения обычно проводится слева напра­во: 3 < 4 (три меньше четырех), но эту же запись при желании можно прочитать и справа налево (четыре больше трех), причем для этого не надо переставлять элементы записи таким образом: 4 > 3. Не сто­ит внушать ребенку неверное представление о том, что есть два знака

сравнения, один из которых называется «меньше», а другой - «боль­ше», поскольку это формирует негибкий, конвергентный шаблон вос­приятия, который потом будет мешать ребенку в старшей школе при работе с неравенствами. Полезно предлагать ребенку каждую запись такого вида читать двумя способами, приведенными выше.

7. Число 10

Десять единиц - это десяток.

Десяток является второй счетной единицей в десятичной сис­теме счисления (десятичная система счисления имеет основанием число десять). Десять десятков образуют следующую счетную еди­ницу - сотню.

Число 10 является числом, завершающим первый десяток.

Число 10 является-первым двузначным числом в ряду натураль­ных чисел.

Число 10 является первым целым десятком, с которым знако­мится ребенок.

В дальнейшем на основе понятия десяток ребенок знакомится с разрядным и десятичным составом двузначных и многозначных чисел. Чтобы не вдаваться в терминологические сложности и не перегружать материал ранним введением понятия «разряд», удоб­но целиком провести знакомство с десятком и его записью с помо­щью цифр на предметной модели.

Знакомя ребенка с числом 10 (первым двузначным числом и первым целым десятком), очень важно рассмотреть его с раз­личных позиций: и как новое число в ряду (следующее за девятью и потому подчиняющееся общему принципу построения множе­ства натуральных чисел), и как первое число, в записи которого использовано два символа; и как новую счетную единицу (деся­ток), для чего используют связку десяти палочек в качестве еди­ницы счета: один десяток; два десятка, три десятка...

Не следует торопиться вводить стандартные названия этих де­сятков (двадцать, тридцать и т. п.), полезнее один-два урока ис­пользовать связки по 10 палочек для счета с целью формирования представления о десятке, как счетной единице.

Нуль в такой аналогии символизирует «связку», охватывающее колечко. Для усвоения этой аналогии полезно сразу же предлагать детям и задания обратного вида: покажите на палочках число 30 (три связки), число 40 (четыре связки) и т. п.

Счет десятками (10,20,30,40,50,60,70,80,90) - процесс «тех­нически» аналогичный счету единицами в пределах 10. Полезно научить ребенка присчитывать и отсчитывать десятки так же, как он делал это с единицами. В дальнейшем это умение поможет ре­бенку легче освоить вычислительные приемы сложения и вычита­ния в пределах 100.

При знакомстве ребенка с нумерацией однозначных чисел ре­комендуем педагогу использовать следующие виды заданий:

1) на способ образования каждого следующего числа путем присчитывания единицы к предыдущему:

Как из числа 3 получить 4? (Добавить к трем один.)

2) на определение места числа в ряду:

За каким числом стоит число 5? (За числом 4.) Где место числа 8? (Между числами 7и 9.)

3) на сравнение как двух соседних, так и несоседних чисел:

Сравните числа: 5...4 7.„2

4) на состав числа:

5) на запоминание обратной последовательности числительных в ряду:

Сравнение натуральных чисел между собой – тема данной статьи. Разберем сравнение двух натуральных чисел и изучим понятие равных и неравных натуральных чисел. Выясним большие и меньшие из двух чисел на примерах. Поговорим о натуральном ряде чисел и об их сравнении. Будут показаны результаты сравнений трех и более чисел.

Сравнение натуральных чисел

Рассмотрим это на примере. Когда на дереве имеется стая, состоящая из 7 птиц, а на другом из 5 десятка птиц, то стаи считаются разными, так как не похожи друг на друга. Отсюда можно делать вывод о том, что эта непохожесть и есть сравнение.

При сравнении натуральных чисел проводится такая проверка на похожесть.

• Равенство.Этот случай возможен, когда числа равны.
• Неравенство.Когда числа не равны.

Когда получаем неравенство, это значит, что одно из этих чисел больше или меньше другого, что и увеличивает диапазон использования натуральных чисел.

Рассмотрим определения равных и неравных чисел. Разберем, каким образом это определяется.

Равные и неравные натуральные числа

Рассмотрим определение равных и неравных чисел.

Определение 1

В случае, когда записи двух натуральных чисел одинаковы, их считают равными между собой. Когда записи имеют различия, тогда эти числа неравные.

Исходя из определения, числа 402 и 402 считаются равными, также как и 7 и 7 , так как они одинаково записываются. Но такие числа, как 55283 и 505283 не равны, так как записи их не одинаковы и имеют различия, 582 и 285 разные, так как по записи отличаются.

Такие равенства имеют краткую запись. Знак равно « = » и знак неравно « ≠ ». Их расположение непосредственно между числами, например, 47 = 47 . Означает, что эти числа равные. Или 56 ≠ 65 . Это значит, что числа разные и отличаются по записи.

В записи, которая имеет два натуральных числа со знаком « = » называют равенством.Они бывают верными или неверными. Например, 45 = 45 , что считается верным равенством. Если 465 = 455 , что считается неверным равенством.

Сравнение однозначных натуральных чисел

Однозначными числами считают ряд от 1 до 9 . Из двух записанных однозначных чисел меньше считается то, котороелевее, а больше то, которое правее.

Числа могут быть одновременно больше или меньше нескольких. Например, если 1 меньше 2 , то и меньше 8 , а 5 меньше всех чисел, начиная от 6 . Это относится к каждому числу данного ряда от 1 до 9 .

Краткая запись знака меньше – « < », а знака больше – « > ». Их расположение между двумя сравниваемыми числами. Когда имеется запись, где 3 > 1 , это означает, что 3 больше единицы, если запись имеет вид 6 < 9 , тогда 6 меньше 9 .

Определение 3

Если в записи имеются два натуральных числа со знаками « < » и « > », тогда она называется неравенством. Неравенства могут быть верными и неверными.

Запись 4 < 7 – верная, а 3 > 9 – неверная.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел

Если принять за правило, что все однозначные числа меньше двухзначных, тогда получим:

5 < 10 , 6 < 42 , 303 > 3 , 32043 > 7 . Эта запись считается верной. Вот пример неверной записи неравенства: 3 > 11 , 733 < 5 и 2 > 1 020 .

Рассмотрим сравнения многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел

Рассмотрим сравнение двух неравных многозначных натуральных чисел с равным количеством знаков. Предварительно следует повторить раздел, изучающий разряды натурального числа и значение разряда.

В таком случае производится поразрядное сравнение, то есть слева направо. Меньшим считается число, которое имеет меньшее значение соответствующего разряда и наоборот.

Чтобы решить пример, нужно уяснить, что 0 всегда меньше любого натурального числа и что он равен самому себе. Число ноль относится к разряду натуральных чисел.

Пример 1

Произвести сравнение чисел 35 и 63 .

Решение

Визуально видно, что числа неравные, так как по записи они отличаются. Для начала сравним десятки данного числа. Видно, что 3 < 6 , а это означает, что заданные числа 35 и 63 не равны, а первое число меньше второго. Это решение записывается так: 35 < 63 .

Ответ: 35 < 63 .

Пример 2

Произвести сравнение заданных чисел 301 и 308 .

Решение

Визуально очевидно, что числа не равны, так как их запись отличается. Они оба трехзначные, это значит, что сравнение необходимо начинать с сотен, после чего десяток и потом единиц. Получим, что 3 = 3 , далее 0 = 0 . Единицы отличаются друг от друга, имеем: 1 < 8 . Отсюда имеем, что 301 < 308 .

Ответ: 301 < 308 .

Сравнение многозначных натуральных чисел производится по-другому. Большим числом считают то, которое имеет меньшее количество знаков и наоборот.

Пример 3

Произвести сравнение заданных натуральных чисел 40391 и 92248712 .

Решение

Визуально заметим, что число 40391 имеет 5 знаков, а 92248712 – 8 .

Это значит, что количество знаков, равное 5 , меньше 8 . Отсюда имеем, что первое число меньше второго.

Ответ: 40 391 < 92 248 712 .

Пример 4

Выявить большее натуральное число из заданных: 50 933 387 или 10 000 011 348 ?

Решение

Заметим, что первое число 50 933 387 имеет 8 знаков, а второе 10 000 011 348 – 11 . Отсюда следует, что 8 меньше 11 . Значит, число 50 933 387 меньше 10 000 011 348 .

Ответ: 10000011348 > 50933387 .

Пример 5

Произвести сравнение многозначных натуральных заданных чисел: 9 876 545 678 и 987 654 567 811 .

Решение

Рассмотрим, что первое число имеет 10 знаков, второе – 12 . Делаем вывод, что второе число больше первого, так как 10 меньше 12 . Сравнение 10 и 12 выполняется поразрядно. Получаем, что 1 = 1 , но 0 меньше 2 . Отсюда получаем, что 0 < 2 . Это говорит о том, что 10 < 12 .

Ответ: 9 876 545 678 < 987 654 567 811 .

Натуральный ряд чисел, нумерация, счет

Произведем запись натуральных чисел так, чтобы последующее было больше предыдущего. Запишем этот ряд: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Эта последовательность имеет продолжение с двузначными числами: 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 . Ряд с трехзначными числами имеет вид 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 , 100 , 101 , . . , 999 .

Эта запись продолжается до бесконечности. Такая бесконечная последовательность чисел называется натуральным рядом чисел.

Существует еще один процесс – счет. Во время счета числа называются одно за другим, то есть таким образом, как они зафиксированы по ряду. Данный процесс применим для определения количества предметов.

Исли имеется определенное число предметов, но нам необходимо узнать количество, используем счет. Он производится, начиная с единицы. Если во время пересчета перекладывать предметы в кучу, то ее можно назвать натуральным рядом чисел. Последний предмет будет являться числом их количества. Когда процесс закончен, мы знаем их число, то есть предметы пересчитаны.

Во время счета меньше то натурально число, которое находится раньше и называется раньше. Применение нумерации используется для конкретного определения предмета, то есть присваивая ему определенный номер. Например, имеем некоторое количество предметов. На каждом из них зафиксируем их порядковый номер. Таким образом производится нумерация. Она применима для различения одинаковых предметов.

Для начала необходимо повторить определение координатного луча.

При просмотре слева направо видим штрихи, которые означают определенную последовательность чисел, начиная от 0 и до бесконечности. Эти штрихи называют точками. Точки, расположенные левее меньше точек, расположенных правее. Отсюда следует, что точка, имеющая меньшую координату на координатном луче, расположена левее точки с большей координатой.

Рассмотрим на примере двух чисел 2 и 6 . Поставим две точки А и В на координатном луче, располагая на значениях 2 и 6 .

Отсюда следует, что точка А находится левее, а, значит, что она меньше точки В, так как расположение точки В правее точки А. Запишем в виде неравенства: 2 < 6 . Иначе можно озвучить, как «точка В лежит правее точки А, значит число 6 на координатном луче больше числа 2 ».

Наименьшее и наибольшее натуральное число

Считается, что 1 – это наименьшее натуральное число из множества всех натуральных чисел.Все числа, расположенные правее него считаются больше предыдущего. Этот ряд бесконечен, поэтому нет наибольшего числа из этого множества чисел.

Мы можем выделить наибольшее число из ряда однозначных натуральных чисел. Оно равно 9 . Это легко сделать, так как количество однозначных чисел ограничено. Аналогично находим большее число из множества двузначных чисел. Оно равняется 99 . Таким же образом выполняется поиск большего числа трехзначных и так далее чисел.

При сравнении пары чисел заметим, что возможен поиск меньшего и большего числа. Если 4 – число наименьшее, тогда 40 – наибольшее из заданного ряда: 4 , 6 , 34 , 34 , 67 , 18 , 40 .

Двойные, тройные неравенства

Известно, что 5 < 12 , а 12 < 35 . Два неравенства можно представить в виде одного двойного. Такая запись имеет вид: 5 < 12 < 35 . Отсюда видно, что при записи двойного неравенства получаем три неравенства, которые запишем 5 < 12 , 12 < 35 и 5 < 35 .

Запись в виде двойного неравенства применима для сравнения и трех чисел. Когда необходимо произвести сравнение 76 , 512 и 10 , мы получаем три неравенства 76 < 512 , 76 > 10 , 512 > 10 . Их, в свою очередь, можно записать как одно, но двойное 10 < 76 < 512 .

Таким же образом выполняются тройные, четверные и так далее неравенства.

Если известно, что 5 < 16 , 16 < 305 , 305 < 1 001 , 1 001 < 3 214 , тогда запись может быть представлена в виде 5 < 16 < 305 < 1 001 < 3 214 .

Необходимо быть внимательным при составлении двойных неравенств, так как можно произвести его неверно, что повлечет за собой неправильное решение задачи.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении. Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.

Равные и неравные целые числа

Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.

Определение 1

Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными .

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и - 0 . Противоположное число - 0 и есть 0 , в этом случает эти два числа равнозначны.

Определение поможет сравнить заданные два числа. Возьмем, например, числа - 95 и - 95 . Их запись полностью совпадает, то есть они считаются равными. Если взять числа 45 и - 6897 , то визуально видно, что они отличаются и не считаются равными. Они имеют разные знаки.

Если числа равные, это записывается при помощи знака « = ». Его расположение идет между числами. Если возьмем числа - 45 и - 45 , то они равны. Запись принимает вид - 45 = - 45 . В случае, если числа неравны, тогда применяется знак « ≠ ». Рассмотрим на примере двух чисел: 57 и - 69 . Эти числа целые, но не равные, так как запись отличается друг от друга.

При сравнивании чисел используется правило модуля числа.

Определение 2

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными . Иначе их называют не равными .

Рассмотрим на примере данное определение.

Пример 1

Например, даны два числа - 709 и - 712 . Выяснить, равны ли они.

Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.

Значит, делаем вывод, что числа не равны.

Рассмотрим еще пример.

Пример 2

Если взяты два числа 11 и 11 . Они оба равные. По модулю также числа одинаковы. Данные натуральные числа можно считать равными, так как их записи совпадают полностью.

Если получаем неравные числа, тогда необходимо уточнение, какое из них меньше и какое больше.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

В предыдущем пункте было отмечено, что ноль равен сам себе даже со знаком минус. В таком случае равенства 0 = 0 и 0 = - 0 равнозначны и справедливы. При сравнении натуральных чисел имеем, что все натуральные числа больше нуля. Все целые положительные числа натуральные, поэтому и больше 0 .

При сравнении отрицательных чисел с нулем другая ситуация. Все числа, которые меньше нуля, считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное больше нуля.Суть правила заключается в том, что нуль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.

Например, числа 4 , 57666 , 677848 больше, чем 0 , так как являются положительными. Отсюда следует, что нуль меньше указанных чисел, так как они со знаком + .

При сравнении отрицательных чисел дела обстоят иначе. Число - 1 является целым и меньшим, чем 0 , так как имеет знак минус. Значит, - 50 также меньше нуля. Но ноль больше всех чисел со знаком минус.

Принимаются определенные обозначения для записи при помощи знаков меньше или больше, то есть < и > . Такая запись, как - 24 < 0 имеет значение, что - 24 меньше нуля. Если необходимо записать, что одно число больше, чем другое, применяют знак > , например, 45 > 0 .

Сравнение положительных целых чисел

Все целые положительные числа являются натуральными. Значит, равнение положительных чисел аналогично сравнению натуральных.

Пример 3

Если рассмотреть на примере сравнения 34001 и 5999 . Визуально видим, что первое число имеет 5 знаков, а второе 4 . Отсюда следует, что 5 больше 4 , то есть 34001 больше 5999 .

Ответ: 34001 > 5999 .

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4

Если имеется положительные числа 357 и 359 , то видно, что они не равны, хотя оба трехзначные. Производится поразрядное сравнение. Сначала сотен, потом десятков, затем единиц.

Получим, что число 357 меньше 359 .

Ответ: 357 < 359 .

Сравнение целых отрицательных и положительных чисел

Любое целое отрицательное число меньше целого положительного и наоборот.

Сравним несколько чисел и рассмотрим на примере.

Сравнить заданные числа - 45 и 23 . Видим, что 23 – положительное число, а 45 – отрицательное. Заметим, что 23 больше - 45

Если сравнивать - 1 и 511 , то визуально понятно, что - 1 меньше, так как имеет знак минус, а 511 имеет знак + .

Сравнение целых отрицательных чисел

Рассмотрим правило сравнения:

Определение 5

Из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Пример 5

Если сравнивать - 34 и - 67 , то следует произвести сравнение их по модулю.

Получаем, что 34 меньше 67 . Тогда модуль - 67 больше модуля - 34 , значит, что число - 34 больше числа - 67 .

Ответ: - 34 > - 67 .

Рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.

Из рассмотренных выше правил получим, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.

Из чисел - 1 и - 6 видно, что - 6 лежит левее, а следовательно является меньше - 1 . Точка 2 расположена правее - 7 , значит она больше.

Начало отсчета – это ноль. Он больше всех отрицательных и меньше всех положительных. Также и с точками, находящимися на координатной прямой.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

В предыдущих пунктах подробно было рассмотрено сравнение двух целых чисел. В данном пункте поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.

При сравнении трех и более чисел для начала составляются всевозможные пары. Например, рассмотрим для чисел 7 , 17 , 0 и − 2 . Необходимо сравнить их попарно, то есть запись примет вид 7 < 17 , 7 > 0 , 7 > − 2 , 17 > 0 , 17 > − 2 и 0 > − 2 . Результаты могут быть объединены в цепочку неравенств. Запись числе производится в порядке возрастания. В данном случае цепочка будет иметь вид − 2 < 0 < 7 < 17 .

Когда производится сравнение нескольких чисел, то появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.

Определение 6

Число заданного множества считается наименьшим , если оно меньше любого другого из заданных чисел множества.

Определение 7

Число заданного множества является наибольшим , если оно больше любого другого из заданных чисел множества.

Если множество состоит из 6 целых чисел, то запишем это так: − 4 , − 81 , − 4 , 17 , 0 и 17 . Отсюда следует, что − 81 < − 4 = − 4 < 0 < 17 = 17 . Видно, что - 81 – наименьшее число из данного множества, а 17 – наибольшее. Это значит, что эти числа наибольшее и наименьшее только в заданном множестве.

Все числа множества необходимо записывать в порядке возрастания. Цепочка может быть бесконечной, как в данном случае: … , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … . Данный ряд запишется, как … < − 5 < − 4 < − 3 < − 2 < − 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < … .

Очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном множестве чисел. Число, расположенное правее на координатной прямой, всегда считается большим, чем то, которое левее.

Множество положительных чисел имеет наименьшее натуральное число, которое равно 1 . Ноль считается наименьшим неотрицательным числом. Все числа, расположенные левее него отрицательные и меньше 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter