10 sistem brojeva. Pretvaranje brojeva u binarni, heksadecimalni, decimalni, oktalni sistem brojeva. Zadaci za određivanje vrijednosti u različitim brojevnim sistemima i njihovim bazama
Vježba 1. Kojem broju odgovara 24 16 u decimalnom sistemu?
Rješenje.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
Odgovori. 24 16 = 36 10
Zadatak 2. Poznato je da je X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Kolika je vrijednost X u decimalnom brojevnom sistemu?
Rješenje.
12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Pronađite broj: X = 6 + 4 + 5 = 15
Odgovori. X = 15 10
Zadatak 3. Izračunajte vrijednost zbira 10 2 + 45 8 + 10 16 u decimalnom zapisu.
Rješenje.
Pretvorimo svaki pojam u decimalni brojevni sistem:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Zbir je: 2 + 37 + 16 = 55
Konverzija u binarni sistem brojeva
Vježba 1.Šta je broj 37 u binarnom sistemu?
Rješenje.
Možete pretvoriti dijeljenjem sa 2 i kombiniranjem ostataka obrnutim redoslijedom.
Drugi način je da se broj razloži na zbir stepena dvojke, počevši od najvećeg, čiji je rezultat izračunavanja manji od datog broja. Prilikom pretvaranja, nedostajuće potencije broja treba zamijeniti nulama:
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
Odgovori. 37 10 = 100101 2 .
Zadatak 2. Koliko značajnih nula ima u binarnom zapisu decimalnog broja 73?
Rješenje.
Razložimo broj 73 na zbir stepena dva, počevši od najveće i zatim množimo nedostajuće potencije sa nulama, a postojeće po jedan:
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
Odgovori. Binarni prikaz decimalnog broja 73 ima četiri značajne nule.
Zadatak 3. Izračunajte zbir brojeva x i y za x = D2 16, y = 37 8. Rezultat predstaviti u binarnom brojevnom sistemu.
Rješenje.
Podsjetimo da se svaka znamenka heksadecimalnog broja sastoji od četiri binarne cifre, a svaka znamenka oktalnog broja od tri:
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
Zbrojimo dobijene brojeve:
11010010 11111 -------- 11110001
Odgovori. Zbir brojeva D2 16 i y = 37 8, predstavljenih u binarnom brojevnom sistemu, je 11110001.
Zadatak 4. Dato: a= D7 16, b= 331 8 . Koji broj c, napisano u binarnom brojevnom sistemu, ispunjava uslov a< c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
Rješenje.
Pretvorimo brojeve u binarni sistem brojeva:
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
Prve četiri cifre svih brojeva su iste (1101). Stoga je poređenje pojednostavljeno na poređenje donje četiri cifre.
Prvi broj sa liste jednak je broju b, dakle, nije prikladan.
Drugi broj je veći od b. Treći broj je a.
Pogodan je samo četvrti broj: 0111< 1000 < 1001.
Odgovori.Četvrta opcija (11011000) ispunjava uslov a< c < b .
Zadaci za određivanje vrijednosti u različitim brojevnim sistemima i njihovim bazama
Vježba 1. Za kodiranje znakova @, $, &, % koriste se dvocifreni sekvencijalni binarni brojevi. Prvi znak odgovara broju 00. Koristeći ove znakove, kodiran je sljedeći niz: $%&&@$. Dekodirajte ovaj niz i konvertujte rezultat u heksadecimalni brojevni sistem.
Rješenje.
1. Uporedimo binarne brojeve sa znakovima koje kodiraju:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %
3. Pretvorite binarni broj u heksadecimalni brojevni sistem:
0111 1010 0001 = 7A1
Odgovori. 7A1 16.
Zadatak 2. U bašti ima 100 x voćaka, od čega 33 x jabuke, 22 x kruške, 16 x šljive, 17 x trešnje. Koja je osnova brojevnog sistema (x).
Rješenje.
1. Imajte na umu da su svi pojmovi dvocifreni brojevi. U bilo kom brojevnom sistemu oni se mogu predstaviti na sledeći način:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, gdje su a i b cifre odgovarajućih cifara broja.
Za trocifreni broj to bi bilo ovako:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c
2. Uslov problema je:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Zamenimo brojeve u formule:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2
3. Riješite kvadratnu jednačinu:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Kvadratni korijen od D je 11.
Korijeni kvadratne jednadžbe:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ili x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Negativan broj ne može biti osnova brojnog sistema. Stoga x može biti jednako samo 9.
Odgovori. Potrebna baza brojevnog sistema je 9.
Zadatak 3. U brojevnom sistemu sa nekom osnovom, decimalni broj 12 je zapisan kao 110. Pronađite ovu bazu.
Rješenje.
Prvo ćemo napisati broj 110 kroz formulu za pisanje brojeva u pozicionim brojevnim sistemima da bismo pronašli vrijednost u decimalnom brojevnom sistemu, a zatim ćemo grubom silom pronaći bazu.
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
Trebamo dobiti 12. Pokušajmo 2: 2 2 + 2 = 6. Pokušajte 3: 3 2 + 3 = 12.
To znači da je osnova brojevnog sistema 3.
Odgovori. Potrebna baza brojevnog sistema je 3.
Zadatak 4. U kom brojevnom sistemu bi decimalni broj 173 bio predstavljen kao 445?
Rješenje.
Označimo nepoznatu bazu sa X. Zapisujemo sljedeću jednačinu:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Uzimajući u obzir činjenicu da je svaki pozitivan broj na nulti stepen jednak 1, prepisaćemo jednačinu (nećemo označavati bazu 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Naravno, takva kvadratna jednadžba se može riješiti pomoću diskriminanta, ali postoji jednostavnije rješenje. Oduzmite 4 sa desne i lijeve strane. Dobijamo
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 ili 13 2 = (2*X+1) 2
Odavde dobijamo 2*X +1 = 13 (odbacujemo negativni koren). Ili X = 6.
Odgovor: 173 10 = 445 6
Problemi u pronalaženju nekoliko baza brojevnih sistema
Postoji grupa zadataka u kojima treba navesti (uzlaznim ili silaznim redoslijedom) sve baze brojevnih sistema u kojima se prikaz datog broja završava datom cifrom. Ovaj problem se rješava prilično jednostavno. Prvo morate oduzeti datu cifru od originalnog broja. Dobijeni broj će biti prva baza brojevnog sistema. A sve ostale baze mogu biti samo djelitelji ovog broja. (Ova tvrdnja je dokazana na osnovu pravila za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi – vidi paragraf 4). Samo zapamti to baza brojevnog sistema ne može biti manja od date cifre!
Primjer
Razdvojeni zarezima, u rastućem redoslijedu, označavaju sve baze brojevnih sistema u kojima se broj 24 završava na 3.
Rješenje
24 – 3 =21 je prva baza (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 je djeljiv sa 3 i 7. Broj 3 nije prikladan, jer Ne postoji cifra 3 u sistemu brojeva sa bazom 3.
Odgovor: 7, 21
Na kursu informatike, bez obzira na školu ili fakultet, posebno mjesto dat je takvom konceptu kao brojni sistem. U pravilu se za to izdvaja nekoliko lekcija ili praktičnih vježbi. Osnovni cilj nije samo savladavanje osnovnih pojmova teme, proučavanje tipova brojevnih sistema, već i upoznavanje sa binarnom, oktalnom i heksadecimalnom aritmetikom.
Šta to znači?
Počnimo s definiranjem osnovnog koncepta. Kako se u udžbeniku "Informatika" navodi, brojevni sistem je zapis brojeva koji koristi posebnu abecedu ili određeni skup brojeva.
U zavisnosti od toga da li se vrednost cifre menja u zavisnosti od njenog položaja u broju, postoje dva: pozicijski i nepozicioni brojevni sistem.
U pozicionim sistemima, značenje cifre se menja sa njenom pozicijom u broju. Dakle, ako uzmemo broj 234, onda broj 4 u njemu znači jedinice, ali ako uzmemo u obzir broj 243, onda će to već značiti desetice, a ne jedinice.
U nepozicionim sistemima, značenje cifre je statičko, bez obzira na njenu poziciju u broju. Najupečatljiviji primjer je sistem štapića, gdje je svaka jedinica označena crticom. Nije bitno gdje stavite štap, vrijednost broja će se promijeniti samo za jedan.
Nepozicioni sistemi
Nepozicioni sistemi brojeva uključuju:
- Jedinični sistem koji se smatra jednim od prvih. Koristio je štapove umjesto brojeva. Što ih je bilo više, to je broj bio veći. Primjer ovako ispisanih brojeva možete pronaći u filmovima gdje je riječ o ljudima izgubljenim na moru, zatvorenicima koji svaki dan obilježavaju uz pomoć zareza na kamenu ili drvetu.
- Rimski, u kojem su umjesto brojeva korištena latinična slova. Koristeći ih, možete napisati bilo koji broj. Štaviše, njegova vrijednost je određena pomoću zbira i razlike cifara koje čine broj. Ako je lijevo od znamenke bio manji broj, tada se lijeva znamenka oduzimala od desne, a ako je znamenka s desne strane bila manja ili jednaka znamenki s lijeve strane, tada su se njihove vrijednosti zbrajale. Na primjer, broj 11 je napisan kao XI, a 9 - IX.
- Abecedni, u kojem su brojevi označeni abecedom određenog jezika. Jedan od njih se smatra slovenskim sistemom, u kojem su brojna slova imala ne samo fonetičku, već i fonetičku numerička vrijednost.
- u kojoj su za pisanje korištene samo dvije oznake - klinovi i strelice.
- Egipat je takođe koristio posebne simbole za predstavljanje brojeva. Prilikom pisanja broja, svaki simbol se može koristiti najviše devet puta.
Sistemi položaja
U informatici se velika pažnja poklanja pozicionim brojevnim sistemima. To uključuje sljedeće:
- binarni;
- oktalno;
- decimalni;
- heksadecimalni;
- seksagezimalni, koji se koristi prilikom brojanja vremena (na primjer, ima 60 sekundi u minuti, 60 minuta u satu).
Svaki od njih ima svoju abecedu za pisanje, pravila za prevođenje i izvođenje aritmetičkih operacija.
Decimalni sistem
Ovaj sistem nam je najpoznatiji. Koristi brojeve od 0 do 9 za pisanje brojeva. Nazivaju se i arapskim. U zavisnosti od položaja cifre u broju, može predstavljati različite cifre - jedinice, desetice, stotine, hiljade ili milione. Koristimo ga svuda, znamo osnovna pravila po kojima se izvode aritmetičke operacije nad brojevima.
Binarni sistem
Jedan od glavnih brojevnih sistema u informatici je binarni. Njegova jednostavnost omogućava računaru da izvrši glomazne proračune nekoliko puta brže nego u decimalnom sistemu.
Za pisanje brojeva koriste se samo dvije cifre - 0 i 1. Štaviše, ovisno o poziciji 0 ili 1 u broju, njegova vrijednost će se promijeniti.
U početku su uz pomoć kompjutera dobijali sve potrebne informacije. U ovom slučaju, jedan je značio prisustvo signala koji se prenosi pomoću napona, a nula znači njegovo odsustvo.
Oktalni sistem
Još jedan dobro poznati kompjuterski sistem brojeva, koji koristi brojeve od 0 do 7. Koristio se uglavnom u onim oblastima znanja koje su povezane sa digitalnim uređajima. Ali unutra U poslednje vreme koristi se mnogo rjeđe, jer je zamijenjen heksadecimalnim brojevnim sistemom.
Binarni decimalni sistem
Predstavljanje velikih brojeva u binarnom obliku prilično je komplikovan proces za ljude. Da bismo ga pojednostavili, razvijen je i obično se koristi u elektronskim satovima i kalkulatorima. U ovom sistemu se ne konvertuje ceo broj iz decimalnog sistema u binarni, već se svaka cifra pretvara u odgovarajući skup nula i jedinica u binarnom sistemu. Pretvorba iz binarnog u decimalni se odvija na sličan način. Svaka cifra, predstavljena kao četvorocifreni skup nula i jedinica, pretvara se u cifru decimalnog brojevnog sistema. U principu, nema ništa komplikovano.
Za rad sa brojevima u u ovom slučaju korisna će biti tabela brojevnih sistema koja će ukazati na korespondenciju između brojeva i njihovog binarnog koda.
Heksadecimalni sistem
Nedavno je heksadecimalni brojevni sistem postao sve popularniji u programiranju i informatici. Ne koristi samo brojeve od 0 do 9, već i niz latiničnih slova - A, B, C, D, E, F.
Istovremeno, svako od slova ima svoje značenje, dakle A=10, B=11, C=12 i tako dalje. Svaki broj je predstavljen kao skup od četiri znaka: 001F.
Pretvaranje brojeva: iz decimalnog u binarni
Prevođenje u brojevnim sistemima odvija se prema određenim pravilima. Najčešća konverzija je iz binarnog u decimalni sistem i obrnuto.
Da bi se broj iz decimalnog sistema pretvorio u binarni sistem, potrebno ga je uzastopno podijeliti osnovom brojevnog sistema, odnosno brojem dva. U tom slučaju, ostatak svake podjele mora biti zabilježen. To će se događati sve dok ostatak dijeljenja ne bude manji ili jednak jedan. Najbolje je izvršiti proračune u koloni. Rezultirajući ostaci dijeljenja se zatim upisuju u red obrnutim redoslijedom.
Na primjer, pretvorimo broj 9 u binarni:
Podijelimo 9, pošto broj nije djeljiv s cjelinom, onda uzimamo broj 8, ostatak će biti 9 - 1 = 1.
Nakon dijeljenja 8 sa 2, dobijamo 4. Podijelite ga ponovo, pošto je broj djeljiv cijelim brojem - dobijamo ostatak od 4 - 4 = 0.
Izvodimo istu operaciju sa 2. Ostatak je 0.
Kao rezultat dijeljenja dobijamo 1.
Bez obzira na konačni brojevni sistem, konverzija brojeva iz decimale u bilo koji drugi odvijat će se prema principu dijeljenja broja sa osnovom pozicijskog sistema.
Pretvaranje brojeva: iz binarnog u decimalni
Vrlo je lako pretvoriti brojeve u decimalni brojevni sistem iz binarnog. Da biste to učinili, dovoljno je znati pravila za podizanje brojeva na stepene. U ovom slučaju, na stepen dvojke.
Algoritam prevođenja je sljedeći: svaka znamenka iz koda binarnog broja mora se pomnožiti sa dva, a prve dvije će biti na stepen m-1, druga - m-2 i tako dalje, gdje je m broj cifara u kodu. Zatim dodajte rezultate sabiranja da dobijete cijeli broj.
Za školarce se ovaj algoritam može jednostavnije objasniti:
Za početak, uzimamo i zapisujemo svaku znamenku pomnoženu sa dva, a zatim stavljamo stepen dvojke s kraja, počevši od nule. Zatim zbrajamo dobijeni broj.
Kao primjer, analizirat ćemo ranije dobiveni broj 1001, pretvarajući ga u decimalni sistem, a istovremeno provjeriti ispravnost naših izračuna.
To će izgledati ovako:
1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.
Kada proučavate ovu temu, zgodno je koristiti tabelu sa stepenom dvojke. Ovo će značajno smanjiti količinu vremena potrebnog za izvođenje proračuna.
Druge opcije prijevoda
U nekim slučajevima, prevod se može izvršiti između binarnog i oktalnog brojevnog sistema, binarnog i heksadecimalnog. U tom slučaju možete koristiti posebne tablice ili pokrenuti aplikaciju kalkulatora na svom računalu odabirom opcije „Programer“ na kartici Prikaz.
Aritmetičke operacije
Bez obzira na oblik u kojem je broj predstavljen, može se koristiti za izvođenje nama poznatih proračuna. To može biti dijeljenje i množenje, oduzimanje i sabiranje u brojevnom sistemu koji ste odabrali. Naravno, svako od njih ima svoja pravila.
Dakle, za binarni sistem su razvijene sopstvene tabele za svaku od operacija. Iste tablice se koriste u drugim pozicionim sistemima.
Nema potrebe da ih pamtite - samo ih odštampajte i držite ih pri ruci. Takođe možete koristiti kalkulator na svom računaru.
Jedna od najvažnijih tema u informatici je sistem brojeva. Poznavanje ove teme, razumevanje algoritama za pretvaranje brojeva iz jednog sistema u drugi je ključno za činjenicu da ćete moći da razumete složenije teme, kao što su algoritamizacija i programiranje, i da ćete moći sami da napišete svoj prvi program.
Problemi na temu "Sistemi brojeva"
Primjeri rješenja
Zadatak br. 1. Koliko značajnih cifara ima u osnovnom 3 decimalnog broja 357?Rješenje:Pretvorimo broj 35710 u ternarni brojevni sistem:Dakle, 35710 = 1110203. Broj 1110203 sadrži 6 značajnih cifara.Odgovor: 6.
Zadatak br. 2. Dato je A=A715, B=2518. Koji od brojeva C, napisanih u binarnom sistemu, ispunjava uslov A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Rješenje:Pretvorimo brojeve A=A715 i B=2518 u binarni brojevni sistem, zamenjujući svaku cifru prvog broja odgovarajućom tetradom, a svaku cifru drugog broja odgovarajućom trijadom: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Stanje a
Zadatak br. 3.
Koja se cifra završava decimalnim brojem 123 u brojevnom sistemu sa bazom 6?Rješenje:Pretvorimo broj 12310 u brojni sistem sa bazom 6:
12310 = 3236.
Odgovor: Broj 12310 u brojevnom sistemu sa bazom 6 završava se brojem 3.Zadaci za završetak aritmetičke operacije preko brojeva predstavljenih u različitim brojevnim sistemima
Zadatak br. 4.
Izračunajte zbir brojeva X i Y ako je X=1101112, Y=1358. Rezultat predstaviti u binarnom obliku.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002
Rješenje:Konvertujmo broj Y=1358 u binarni brojevni sistem, zamenjujući svaku njegovu cifru odgovarajućom trijadom: 001 011 1012. Izvršimo sabiranje:
Odgovor: 100101002 (opcija 2).
Zadatak br. 5.
Naći aritmetičku sredinu brojeva 2368, 6S16 i 1110102. Odgovor predstaviti u dekadnom brojevnom sistemu.Rješenje:Pretvorimo brojeve 2368, 6S16 i 1110102 u decimalni brojevni sistem:
Izračunajmo aritmetičku sredinu brojeva: (158+108+58)/3 = 10810.Odgovor: aritmetička sredina brojeva 2368, 6C16 i 1110102 je 10810.
Zadatak br. 6.
Izračunajte vrijednost izraza 2068 + AF16 ? 110010102. Izvršite proračune u oktalnom brojevnom sistemu. Pretvorite svoj odgovor u decimalni sistem.Rješenje:Pretvorimo sve brojeve u oktalni brojevni sistem:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Dodajmo brojeve:
Pretvorimo odgovor u decimalni sistem:Odgovor: 51110.
Zadaci nalaženja baze brojnog sistema
Zadatak br. 7.
U bašti ima 100q voćaka: 33q jabuke, 22q kruške, 16q šljive i 17q trešnje. Pronađite bazu brojevnog sistema u kojem se broje stabla.Rješenje:U bašti ima ukupno 100q stabala: 100q = 33q+22q+16q+17q.Označimo cifre i predstavimo ove brojeve u proširenom obliku:
Odgovor: Stabla se broje u sistemu brojeva sa bazom 9.
Zadatak br. 8.
Pronađite osnovu x brojevnog sistema ako znate da je 2002x = 13010.Rješenje:
Odgovor: 4.
Zadatak br. 9.
U brojevnom sistemu sa nekom osnovom, decimalni broj 18 je zapisan kao 30. Navedite ovu osnovu.Rješenje:Uzmimo x kao bazu nepoznatog brojevnog sistema i napravimo sljedeću jednakost:1810 = 30x;Numerirajmo cifre i napišimo ove brojeve u proširenom obliku:
Odgovor: Decimalni broj 18 je zapisan kao 30 u brojevnom sistemu sa bazom 6.
Možete unijeti i cijele brojeve, na primjer 34, i razlomke, na primjer, 637.333. Za razlomke je naznačena tačnost prijevoda nakon decimalne točke.
Sa ovim kalkulatorom se također koriste sljedeće:
Načini predstavljanja brojeva
Binarno (binarni) brojevi - svaka cifra označava vrijednost jednog bita (0 ili 1), najznačajniji bit se uvijek piše lijevo, slovo “b” se stavlja iza broja. Radi lakše percepcije, sveske se mogu odvojiti razmacima. Na primjer, 1010 0101b.Heksadecimalni (heksadecimalni) brojevi - svaka tetrada je predstavljena jednim simbolom 0...9, A, B, ..., F. Ovaj prikaz se može označiti na različite načine, ovdje se koristi samo simbol “h” nakon posljednjeg heksadecimala cifra. Na primjer, A5h. U tekstovima programa isti broj može biti označen kao 0xA5 ili 0A5h, ovisno o sintaksi programskog jezika. Vodeća nula (0) dodaje se lijevo od najznačajnije heksadecimalne cifre predstavljene slovom radi razlikovanja između brojeva i simboličkih imena.
Decimala (decimalni) brojevi - svaki bajt (riječ, dvostruka riječ) je predstavljen regularnim brojem, a znak decimalnog prikaza (slovo “d”) se obično izostavlja. Bajt u prethodnim primjerima ima decimalnu vrijednost od 165. Za razliku od binarne i heksadecimalne notacije, decimalni je teško mentalno odrediti vrijednost svakog bita, što je ponekad neophodno.
Octal (oktalni) brojevi - svaka trojka bitova (podjela počinje od najmanje značajnog) se zapisuje kao broj 0-7, sa "o" na kraju. Isti broj bi bio zapisan kao 245o. Oktalni sistem je nezgodan jer se bajt ne može podijeliti jednako.
Algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem vrši se dijeljenjem broja sa osnovom novi sistem numerisanje sve dok ostatak ne ostane broj manji od osnove novog brojevnog sistema. Novi broj se upisuje kao ostaci dijeljenja, počevši od posljednjeg.Pretvaranje običnog decimalnog razlomka u drugi PSS vrši se množenjem samo razlomka broja sa osnovom novog brojevnog sistema dok sve nule ne ostanu u razlomku ili dok se ne postigne navedena tačnost prevođenja. Kao rezultat svake operacije množenja, formira se jedna znamenka novog broja, počevši od najveće.
Nepravilno prevođenje razlomaka vrši se prema pravilima 1 i 2. Cjelobrojni i razlomački dijelovi se pišu zajedno, odvojeni zarezom.
Primjer br. 1. 
Konverzija od 2 do 8 do 16 brojevnog sistema.
Ovi sistemi su višestruki od dva, stoga se prevod vrši pomoću tabele korespondencije (vidi dole).
Da biste broj iz binarnog brojevnog sistema pretvorili u oktalni (heksadecimalni) brojevni sistem, potrebno je podijeliti binarni broj od decimalne zapete desno i lijevo u grupe od tri (četiri za heksadecimalne) cifre, dopunjujući vanjske grupe sa nulama ako je potrebno. Svaka grupa je zamijenjena odgovarajućom oktalnom ili heksadecimalnom znamenkom.
Primjer br. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ovdje 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Prilikom pretvaranja u heksadecimalni sistem, morate podijeliti broj na dijelove od četiri cifre, slijedeći ista pravila.
Primjer br. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ovdje 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Pretvaranje brojeva iz 2, 8 i 16 u decimalni sistem vrši se tako što se broj razbije na pojedinačne i pomnoži sa osnovom sistema (iz kojeg je broj preveden) podignutom na stepen koji odgovara njegovom serijskom broju u broj koji se pretvara. U ovom slučaju, brojevi se numeriraju lijevo od decimalnog zareza (prvi broj je označen 0) s povećanjem, a desno s smanjenjem (tj. negativan predznak). Dobijeni rezultati se zbrajaju.
Primjer br. 4.
Primjer konverzije iz binarnog u decimalni brojevni sistem.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Primjer konverzije iz oktalnog u decimalni brojevni sistem. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Primjer konverzije iz heksadecimalnog u decimalni brojevni sistem. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Još jednom ponavljamo algoritam za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi PSS
- Iz decimalnog brojevnog sistema:
- podijeliti broj sa osnovom brojevnog sistema koji se prevodi;
- pronaći ostatak prilikom dijeljenja cijelog broja;
- zapišite sve ostatke od dijeljenja obrnutim redoslijedom;
- Iz binarnog brojevnog sistema
- Za konvertovanje u decimalni brojevni sistem, potrebno je pronaći zbir proizvoda baze 2 odgovarajućim stepenom cifre;
- Da biste broj pretvorili u oktalni, morate ga razbiti na trozvuke.
Na primjer, 1000110 = 1,000 110 = 106 8 - Da biste broj pretvorili iz binarnog u heksadecimalni, potrebno je podijeliti broj u grupe od 4 znamenke.
Na primjer, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Tabela korespondencije sistema brojeva:
| Binarni SS | Heksadecimalni SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabela za konverziju u oktalni brojevni sistem
Primjer br. 2. Pretvorite broj 100.12 iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni brojevni sistem i obrnuto. Objasnite razloge neslaganja.
Rješenje.
Faza 1. .
Ostatak dijeljenja pišemo obrnutim redoslijedom. Dobijamo broj u 8. brojevnom sistemu: 144
100 = 144 8
Da bismo pretvorili razlomak broja, razlomački dio uzastopno množimo sa bazom 8. Kao rezultat, svaki put zapisujemo cijeli dio proizvoda.
0,12*8 = 0,96 (cijeli dio 0
)
0,96*8 = 7,68 (cijeli dio 7
)
0,68*8 = 5,44 (cijeli dio 5
)
0,44*8 = 3,52 (cijeli dio 3
)
Dobijamo broj u 8. brojevnom sistemu: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Faza 2. Pretvaranje broja iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni brojevni sistem.
Obratna konverzija iz oktalnog brojevnog sistema u decimalni.
Da biste preveli cijeli broj, trebate cifru broja pomnožiti odgovarajućim stepenom znamenke.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Da biste pretvorili razlomljeni dio, trebate podijeliti znamenku broja odgovarajućim stepenom znamenke
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Razlika od 0,0001 (100,12 - 100,1199) objašnjava se greškom zaokruživanja pri pretvaranju u oktalni brojevni sistem. Ova greška se može smanjiti ako uzmemo veći broj cifre (na primjer, ne 4, već 8).
Prije nego počnemo rješavati probleme, moramo razumjeti nekoliko jednostavnih stvari.
Razmotrimo decimalni broj 875. Zadnja cifra broja (5) je ostatak dijeljenja broja 875 sa 10. Zadnje dvije cifre čine broj 75 - to je ostatak dijeljenja broja 875 sa 100. Slične tvrdnje su tačno za bilo koji brojni sistem:
Poslednja cifra broja je ostatak kada se ovaj broj podeli sa osnovom brojevnog sistema.
Posljednje dvije znamenke broja su ostatak kada se broj podijeli sa osnovom na kvadrat.
Na primjer, . Podelite 23 sa osnovom sistema 3, dobijamo 7 i 2 kao ostatak (2 je poslednja cifra broja u ternarnom sistemu). Podijelite 23 sa 9 (baza na kvadrat), dobićemo 18 i 5 kao ostatak (5 = ).
Vratimo se ponovo na uobičajeni decimalni sistem. Broj = 100000. To jest 10 na k stepen je jedan i k nula.
Slična izjava je tačna za bilo koji brojni sistem:
Osnova brojevnog sistema na stepen k u ovom brojevnom sistemu zapisuje se kao jedan i k nula.
Na primjer, .
1. Pronalaženje baze brojevnog sistema
Primjer 1.
U brojevnom sistemu sa nekom osnovom, decimalni broj 27 zapisuje se kao 30. Navedite ovu osnovu.
Rješenje:
Označimo željenu bazu x. Onda .tj. x = 9.
Primjer 2.
U brojevnom sistemu sa nekom osnovom, decimalni broj 13 je zapisan kao 111. Navedite ovu bazu.
Rješenje:
Označimo željenu bazu x. Onda
Rješavamo kvadratnu jednačinu, dobijamo korijene 3 i -4. Pošto baza brojevnog sistema ne može biti negativna, odgovor je 3.
Odgovor: 3
Primjer 3
Razdvojeni zarezima, u rastućem redoslijedu, označavaju sve baze brojevnih sistema u kojima se broj 29 završava na 5.
Rješenje:
Ako se u nekom sistemu broj 29 završava na 5, onda se broj smanjen za 5 (29-5 = 24) završava na 0. Ranije smo rekli da se broj završava na 0 u slučaju kada je djeljiv sa osnovom sistema. bez ostatka. One. moramo pronaći sve takve brojeve koji su djelitelji broja 24. Ovi brojevi su: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Imajte na umu da u brojevnim sistemima sa osnovom 2, 3, 4 nema broja 5 (a u problemu formulacije, broj 29 se završava na 5), što znači da ostaju sistemi sa bazama: 6, 8, 12,
Odgovor: 6, 8, 12, 24
Primjer 4
Razdvojeni zarezima, u rastućem redoslijedu, označavaju sve baze brojevnih sistema u kojima se broj 71 završava na 13.
Rješenje:
Ako se u nekom sistemu broj završava na 13, onda baza ovog sistema nije manja od 4 (inače tamo nema broja 3).
Broj smanjen za 3 (71-3=68) završava se na 10. To jest. 68 je potpuno podijeljeno željenom bazom sistema, a količnik ovog kada se podijeli sa bazom sistema daje ostatak od 0.
Zapišimo sve djelitelje cijelih brojeva broja 68: 2, 4, 17, 34, 68.
2 nije prikladan, jer baza nije manja od 4. Provjerimo preostale djelitelje:
68:4 = 17; 17:4 = 4 (odmor 1) – prikladno
68:17 = 4; 4:17 = 0 (odmor 4) – nije prikladno
68:34 = 2; 2:17 = 0 (ost 2) – nije prikladno
68:68 = 1; 1:68 = 0 (odmor 1) – prikladno
Odgovor: 4.68
2. Tražite brojeve po uslovima
Primjer 5
Navedite, razdvojene zarezima u rastućem redosledu, sve decimalne brojeve koji ne prelaze 25, čija se notacija u sistemu broja od četiri baze završava na 11?
Rješenje:
Prvo, hajde da saznamo kako izgleda broj 25 u sistemu brojeva sa bazom 4.
One. moramo pronaći sve brojeve, ne veće od , koji završavaju na 11. Prema pravilu sekvencijalnog brojanja u sistemu baze 4,
dobijamo brojeve i . Konvertujemo ih u decimalni brojevni sistem:
Odgovor: 5, 21
3. Rješavanje jednačina
Primjer 6
Riješite jednačinu:
Odgovor napišite u ternarnom sistemu (nema potrebe da u svoj odgovor pišete bazu brojevnog sistema).
Rješenje:
Pretvorimo sve brojeve u decimalni brojevni sistem:
Kvadratna jednadžba ima korijene -8 i 6 (pošto baza sistema ne može biti negativna). .
Odgovor: 20
4. Brojanje jedinica (nula) u binarnom zapisu vrijednosti izraza
Da bismo riješili ovu vrstu problema, moramo se sjetiti kako funkcionira kolonarno sabiranje i oduzimanje:
Prilikom sabiranja dolazi do bitskog zbrajanja cifara zapisanih jedna ispod druge, počevši od najmanje značajnih cifara. Ako je rezultirajući zbir dviju cifara veći ili jednak osnovici brojevnog sistema, ostatak dijeljenja ovog zbira sa osnovom brojevnog sistema upisuje se ispod zbrojenih cifara, a cijeli broj dijeljenja ovog zbira sa baza sistema se dodaje zbiru sljedećih cifara.
Prilikom oduzimanja, cifre napisane jedna ispod druge se oduzimaju po bitovima, počevši od najmanje značajnih znamenki. Ako je prva cifra manja od druge, "posuđujemo" jednu od susjedne (veće) cifre. Jedinica koja se nalazi u trenutnoj cifri jednaka je osnovici brojevnog sistema. Decimalno je 10, binarno 2, ternarno 3, itd.
Primjer 7
Koliko jedinica je sadržano u binarnoj notaciji vrijednosti izraza: ?
Rješenje:
Zamislimo sve brojeve u izrazu kao stepene dvojke:
U binarnom zapisu, 2 na stepen od n izgleda kao 1 iza kojeg slijedi n nula. Zatim zbrajanjem i , dobivamo broj koji sadrži 2 jedinice:
Sada oduzmimo od rezultirajućeg broja 10 000. Prema pravilima oduzimanja, posuđujemo od sljedeće cifre.
Sada dodajte 1 rezultirajućem broju:
Vidimo da rezultat ima 2013+1+1=2015 jedinica.
