Pomoć na Tele2, tarife, pitanja

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je na kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

Relevantnost ove teme leži u činjenici da korištenje nestandardnih tehnika u formiranju računskih vještina pomaže u uštedi vremena na nastavi i uspješnom polaganju ispita u 9. i 11. razredu iz matematike.

Palindromski i repolni brojevi čine jedan od najzanimljivijih podskupova skupa prirodni brojevi. Oni imaju neobična priča, neverovatna svojstva.

Provedeno je istraživanje među 7, 8, 9, 11 razredima i pokazalo se da su mnoga djeca čula za ove brojke, ali samo rijetki znaju detaljne podatke. Mnogi ispitani studenti željeli bi saznati više o ovim brojevima.

Trenutno, sa prelaskom na nove standarde, mijenjaju se ciljevi osnovnog i srednjeg (potpunog) obrazovanja. Jedan od glavnih zadataka koji stoji pred nama, nastavnicima, u kontekstu modernizacije obrazovanja jeste osposobljavanje učenika svjesnim, trajnim znanjem, razvijanje njihovog samostalnog mišljenja. Razvojem novih tehnologija porasla je potražnja za ljudima inovativnog razmišljanja i sposobnosti postavljanja i rješavanja novih problema. Stoga se u praksi modernih škola sve više širi učeničko istraživačko djelovanje kao obrazovna tehnologija usmjerena na uvođenje učenika u aktivne oblike sticanja znanja. Istraživačke aktivnosti su:

moćan alat koji vam omogućava da osvojite novu generaciju na najproduktivnijem putu razvoja i poboljšanja;

jedan od metoda povećanja interesovanja, a samim tim i kvaliteta obrazovnog procesa.

Cilj: upoznaju se sa palindromskim i repolnim brojevima i identifikuju efikasnost njihove upotrebe u podučavanju savremenih školaraca. Gotovo svi matematički koncepti, na ovaj ili onaj način, oslanjaju se na koncept broja, a konačni rezultat svake matematičke teorije, po pravilu, izražava se jezikom brojeva. Mnogi od njih, posebno prirodni brojevi, prema određenim karakteristikama i svojstvima, grupirani su u zasebne strukture (zbirke) i imaju svoja imena.

Zadaci:

Otkriti istoriju računa;

Razmotrite neke metode mentalnih proračuna i pokažite prednosti njihove upotrebe na konkretnim primjerima;

Literatura na temu;

Razmotrite nekretnine i popunite;

Instalirajte između i repunits;

Saznajte koju ulogu brojevi igraju u promjenama koje nas zanimaju.

hipoteza: Ako se koriste nestandardne tehnike, tada se smanjuje brzina proračuna i količina.

Prosti brojevi su dio brojeva od kojih se sastoje svi prirodni brojevi.

Istražujući proste brojeve, nabavite nevjerovatne skupove s njihovim izvanrednim.

Stavka- mnogo jednostavnih.

Predmet proučavanja- palindromi i repunite.

istraživanje:

anketa

Svi matematički koncepti, na ovaj ili onaj način, zasnovani su na konceptu, a kraj svakog matematičkog koncepta, po pravilu, izražava se brojevima.

Rad na proučavanju brojeva: palindroma i uspostavljanju veza između njih.

Teorijski

1 Palindromi

palindromi sežu dva milenijuma unazad. Naziv je određen - kvadropalin. Palindrom - fraktali, kristali i materija. Sposobnost leži u ljudskom dubokom, na nivou. Molekuli DNK su palindromski elementi. Ona je sama po sebi primjer, odnosno poseban primjer vertikalne simetrije.

tako nevjerovatne, koje su iste s lijeva na desno na lijevo. Čitao sam Konstantinovičevu knjigu "Pinokio", onda sam primetio ovo: I ruža je pala na Azor. Malvina ju je zamolila da piše neukom Pinokiju.

Zovu se recipročne palindromi,što u prevodu sa znači „trčati, vraćati se“. Palindrom - iz najstarijih književnih eksperimenata. Evropski palindromi grčkom pjesniku (300. pne.).

Grčki palindrom, na fontu vizantijske Sofije u Carigradu: anomhmata mh oyin (prati isto kao i tijelo). Ovdje već postoji karakter zavjere - zapisani natpis bi trebao biti čarolija od zlih sila, a ne njih svetom fontu.

Evo palindromskih: Argentina vabi. Umro je i mir neka je s njim. Penjem se dalje. Biću kod hrasta. Misha. To je moć tipa. Jedite manje neopranog! papuče? "Pusti me unutra!" - Maksimova supa. - "Pusti me unutra, supo!" Ne plačem - jesam. A muza je sretna bez pameti i razuma. , zadržati luk. Ti, draga moja, idi: tamo je rudnik kraj puta, iza bašte, a iza njega je grad; idi, ako se opereš. On je u paklu. Vau, vidim nekog živog. poziva crnca. , i mir neka je s njim. Penjem se u kupatilo. Hoću. Mišino mleko. To su tipovi kapitalista. Jedi manje! Iskopati ga? "Pusti me unutra!" - činiju supe. - "Pusti, on leti!" Ne plačem, siguran sam. I drago mi je bez pameti i razuma. Kuvanje, luk. Ti, draga moja, idi brzo: kraj rudnika, iza puta, a iza njega je grad; idi, ako se opereš. On je već dugo u paklu. Vau, živ.

Imam pitanje. Pitam se da li ima palindroma? I da li je moguće tu istu ideju recipročnog čitanja prenijeti u matematiku? (grčki) -, istost na lokaciji. Objekt koji na neki način završi s istim rezultatom od početka naziva se simetričan. Mnoga živa bića, list, leptir, objedinjuje ono što jesu. Ako su mentalno duž povučene linije, onda njihove polovice. A ako ga stavite duž nacrtanog, tada će ga polovica koja se ogleda u njemu nadopuniti. Zato se i zove ogledalo. , duž koje je ogledalo osa simetrije. Svako od nas se nekoliko puta vidi u ogledalu. Obično se ne iznenadimo, ne postavljamo pitanja, ne radimo ništa. I samo filozofi ne prestaju da se čude.

Šta se menja kada se odrazi u ogledalu? Eksperimentiramo sa ogledalima. stavite ga na stranu slova A, onda u ogledalu je isto slovo. Ali ako ogledalo, odraz više ne izgleda kao A, to je A sa svojim dnom. Ali ako je ogledalo ispod B, odraz je takođe. Ali ako ga stavimo sa strane, dobićemo B ispred.

Slovo A je okomito, a slovo B horizontalno. , saznali smo da ogledalo mijenja mjesto, lijevo - . Ispostavilo se da među njima ima palindroma. nije bilo brojeva - palindroma. Pokušao sam izmisliti brojeve za ove palindrome.

U dvocifrenim palindromima jedinice se poklapaju sa deseticama.

U brojevima - palindromima, stotine se poklapaju sa brojem.

Kod četvorocifrenih brojeva, broj jedinica se poklapa sa jedinicama, a broj sa brojem desetica itd.

formule su izazvale više. Pod formulama - palindromi, izraz koji se sastoji od ili razlike brojeva, koji nije rezultat čitanja s desna na lijevo.

saberite brojeve - , onda zbir nije.

Na primjer: 22 + 66 = 66 + 22.

Općenito se može napisati ovako:

1. Pronađite sve parove dvocifrenih brojeva tako da se njihov rezultat ne promijeni kao rezultat zbira desno, na primjer, 42 + 35 = 53 + 24.

jednakost:

Hajde da predstavimo brojeve u obliku cifara:

(10 1 + y 1) + (10x 2 + y 2) = (10 2 + x 2) + (10y 1 + x 1)

10x 1 + at 1 + 10x 2 + y 2 = 10y 2 + x 2 +10y 1 + x 1. sa x pomičemo jednakosti ulijevo, a sa y - udesno:

10x 1 - x 1 + 10x 2 - x 2 = 10y 1 - y 1 + 10y 2 - y 2.

distribucija:

9 x 1 + 9 x 2 = 9 y 1 + 9 y 2

9(x 1 + x 2) = 9(y 1 + y 2)

x 1 + x 2 = y 1 + y 2.

To jest, da bi se riješio problem, zbir cifara mora biti jednak njihovim drugim znamenkama.

možete zbrojiti sljedeće iznose:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52, itd.

Zadatak 2. svi parovi dvocifrenih brojeva, rezultat njihovog oduzimanja nije rezultat čitanja s desna.

Predstavljamo naše kao zbir pojmova i vršimo transformacije da bismo riješili naše. Takvi brojevi imaju jednake cifre.

(10 1 + y 1) - (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) - (10 1 + x 1)

10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 - 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

možete napraviti razlike:

41 - 32 = 23 - 14

46 - 28 = 82 - 64

52 -16 = 61 - 25, itd.

U množenju imamo: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... - kada je proizvod prvih brojeva N 1 i N 2 jednak njihovom drugom (x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2) .

Na kraju, za podjelu slijedeći primjeri:

U ovom slučaju, proizvod cifre N 1 i druge cifre N 2 jednak je proizvodu njihovih ostalih cifara, tj. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .

Moram dokazati za proizvod. Evo šta imam.

N 1 = = 10x 1 + y 1N3 = = 10y 2 + x 2

N 2 = = 10x 2 + y 2 N4 = = 10y 1 + x 1

N 1 ∙ N 2 = ∙ = (10x 1 + y 1) ∙ (10 2 + y 2)

N 3 ∙ N 4 = ∙ = (10u 2 + x 2) ∙ (10u 1 + x 1)

100 1 ∙x 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + y 1 ∙y 2 = 100y 1 ∙y 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + 10y 1 x 1∙x 2

99x 1 ∙x 2 = 99y 1 ∙y 2; X 1 ∙x 2 = y 1 ∙u 2 , što treba dokazati.

Koristeći broj koji je palindrom, možete riješiti djeljivost, što se često koristi na matematičkim olimpijadama. Evo nekih od njih:

Problem: Dokažite da od trocifrenog broja oduzmete broj koristeći iste brojeve, ali po redu, razlika je djeljiva sa 9.

One. ovaj rad je 9.

Inače, jedna generacija je imala sreće, niko ne dobije bar godinu dana, a još manje dve - 1991. i 2002. - prethodna je bila 1881., a sledeća 2112. godine. U ovom radu dotakli smo se matematičkog fenomena – posebno njegovih palindroma.

U svom sam gledao brojeve - formule - palindrome i za razliku i za količnik dvocifrenih i uspio sam ih dokazati. poznavanje zakona i lepote je teško, a mi smo na početku.

Koristeći palindromske brojeve i palindromske formule za rješavanje djeljivosti brojeva, oni se često nalaze u matematici. Evo jednog od njih:

. Dokažite da će iz trocifrenog broja, broja napisanog ciframa, ali obrnuto, razlika biti djeljiva sa 9.

. , one. ovaj rad je 9.

Brojčani palindromi su brojevi koji se jednako čitaju lijevo i lijevo. Drugim riječima, po simetriji (rasporedu brojeva), broj znakova bi trebao biti i paran i.

Na primjer: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 itd.

Palindrom se može koristiti kao rezultat nad drugim brojevima. Koristimo onu poznatu.

Algoritam prijema:

Uzmite dvocifreni broj

on (pomakni brojeve ulijevo)

Okrenite broj

Ponavljajte slične dok ne uspijete

Kao rezultat onoga što sam uradio, došao sam do zaključka da, kada se kompajlira, možete dobiti od bilo koje dvocifrene brojke.

Ne možemo uzeti u obzir sabiranje, već i operacije na palindromima. (2)

Navedimo dva primjera kako korištenje jednog od njih proizvodi:

a) 212² - 121² = - 14641 = 30303;

b) = 2·11² ·101² = = 1111· = 2468642.

Sada na jednostavne brojeve. Ima ih mnogo porodica. Samo među sto miliona prirodnih brojeva ima 781 jednostavan, i oni spadaju u prvi, od kojih su četiri broja - 2; 3; 5; 7 i samo jedan - 11. Mnogo je zanimljivih stvari povezanih s ovim:

Postoji samo jedan palindrom sa parnim brojem - 11.

a posljednja cifra jednostavnog palindroma će biti samo 1; 3; 7 ili 9. Ovo je iz poznate djeljivosti sa 2 i 5. Svi prosti brojevi napisani od navedenih cifara (19) mogu se upariti.

Na primjer: 13 i 31; 17 i 71; 37 i 73; 79 i 97.

U jednostavnim trocifrenim brojevima postoje parovi u kojima se broj razlikuje za 1.

Na primjer: 181 i 191; 373 i 383; 787 i 797; 919 i 929.

Slična stvar se opaža i za velike brojeve.

: 94849 i 94949; i 1178711.

Svi nedvosmisleni su palindromi.

26 je broj, a ne palindrom, kvadratni palindrom

Na primjer: 26² = 676

Ali brojevi su "obrnuti" 13 - 31 i 113 - 311 sa parovima "" na kvadrat: 169 - 961 i 12769 - 96721. Zanimljivo je da su čak i njihovi brojevi povezani na lukav način:

(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Od jednostavnih - palindroma, slažući ih red po red, možete stvoriti simetrične figure, s originalnim uzorkom brojeva.

1- Primjeri palindroma

2 Ponovite

Prirodni brojevi, koji se sastoje od jedinica. U brojevnom sistemu označeni su kraće R n: R 1 = 1, R 2 = 11, R 3 = 111 itd., i obrazac za njih:

Opšti pogled na repunite u drugačijem obliku:

: jedanaest; 111; 1111; 11111; 1111111 itd.

Pronađeni zanimljivi renapunite:

Repunite su slučaj palindromskih brojeva; oni ostaju nepromijenjeni ispod i inverzni.

Repunite se odnose na palindrome koji su sami po sebi proizvod.

Poznata jednostavna renapuna: R 2 , R 19 , R 23 , R 317 i R, i, što je najvažnije, indeksi su i brojevi. Najviše popunite broj - 1. veliki - još nije pronađen.

Rastavljajući neke replike na jednostavne:

11111 = 41∙ 271

3∙7∙11∙13∙37

11111111 = 11∙73∙101∙137

Mogući su brojevi 3∙37∙333667 itd.

Kao rezultat množenja repunite, dobili smo palindrome:

11111∙111 = 1233321

11111∙11111 = itd.

Množenjem ponavljanja možemo zaključiti da je svaki put broj palindrom. (3).

Broj 7 - jer njegov zapis u bazi 2 je: 111, au bazi 6: 11 (tj. 7 10 = 11 6 = 111 2).

Drugim riječima, 7 je repunite u smislu radiksa b > 1.

Definirajmo cijeli broj sa svojstvom jakim. Moguće je da ima 8 jakih manje od 50: (1,7,13,15,21,31,40,43). , zbir svega manjeg je 15864.

2- Ponovite primjer

U oblasti nauke nisu pronađeni repolni.

dio

dva zanimljiva problema iz “Quantuma” br. 5 za 1997. godinu.

Koje brojeve treba zamijeniti da bi zbir pojmova postao ponovno napunite?

Rješenje: +12345679+12345679=111111111 -

Odgovor: 111111111

Koji su repolni proizvodi proizvod 123455554321?

Množenjem dva repunite, mi

11111111 11111 =

Odgovor: 11111111 ·

Može se pratiti: brojevi u zapisu su prvo rastući i silazni, pri čemu je broj dužina manjeg, a broj ponavljanja broja u sredini jednak je dužini ponavljanja po jedinici. Pomnoženjem refilinga zaključujemo da je svaki put broj palindrom. (3)

Eksperimentalno je i to da kod množenja repunite po pravilu broj jedinica treba da bude manji od 10. Tada je maksimalni proizvod: 1(19) * 1(9 puta)= 1,234,567,899,999,999,999,987,654,321 Palindrom ne radi.

zabavnim i olimpijadama

Računarski.

Odgovor: 12 345 654 321

: 12 345 554 321

broj brojeva - djeljiv sa 2:

b) trocifreni

c) četvorocifreni

Deljivo sa 2 čak broj. ,

a) među brojevima - palindromi - 22, 44, 66 i 88. Odnosno 4 broja.

b) brojevi su palindromi, a posljednji je isti i mora biti paran. Postoje 4 parna broja (2, 4, 6 i 8). U sredini može biti bilo koji od 10 od 0 do 9. Dakle, ukupan trocifreni broj je .

c) za četvorocifreno pretraživanje, iste i posljednja cifra moraju biti parne i ima ih 4. Ako su druge cifre identične, cifre moraju biti bilo koje od njih. To znači da postoji i 40 četverocifrenih palindroma.

d) za brojeve - prvi i zadnji su identični i parni, ima ih 4. Štaviše, 2 i 4 mogu biti i 10. Cifra također može biti bilo koja od 10. , ukupni brojevi su palindromi -

Dakle, svi smo uvjereni da je važno ne samo zbog sebe. pristup okolini pomaže bolje od njega. A matematički stil je potreban svima - lingvista, hemičar, fizičar, umjetnik, pjesnik itd.

Proučavajući ovu temu, istražio sam svojstva palindroma i uspostavio vezu između njih i uloge prostih brojeva u svojstvima podataka.

Rezultati (sličnosti i razlike) u tabeli.

Tabela 3 - svojstva palindroma i.

istražujući o tome, proučavao sam svojstva i popunjavao, uspostavljen između, otkrio koji od njih igraju jednostavno u promjeni svojstava brojeva.

studije (sličnosti i) su tabelarno.

Tabela 4 – „Znate li za ove brojeve?“

Rezultati su pokazali da svi učenici znaju više o palindromima i.

Također je sprovedeno "Koristite li ove brojeve u?" Podaci su uneseni.

Tabela 5 - „Jeste li vi ove brojke u životu?“

prema anketi: Što je više školaraca, to češće koriste palindrome i ponavljanja u životu.

Zaključak

Svijet je toliko fascinantan da se, radeći posao, istraživalo da kada bi svako od nas obratio pažnju na njega, pronašao bi puno zanimljivih stvari za sebe.

Upoznavanje sa prirodnim brojevima: i dopunite. Svi oni imaju svoja svojstva brojeva.

To znači da je hipoteza da je prost h dio od kojeg su sastavljeni svi brojevi.

Proučavanjem prostih brojeva dobiti numeričke skupove sa njihovim svojstvima.

U svojoj velikoj pažnji prema projektima, konkretnim socijalnim beneficijama. Često su ovi projekti dugoročni, sistemski orijentisani: - vannastavne aktivnosti.

Projektna metoda kombinuje individualni rad sa saradnjom, malim radom i timskim radom. Realizacija projekata u praksi za promjenu nastavnika. Od nosioca znanja on se pretvara u kognitivnog, istraživačkog. Psihološko okruženje u učionici se također mijenja, jer nastavnik svoj rad i učenike preusmjerava na različite samostalne aktivnosti, istraživačke i kreativne aktivnosti. Pružanje i podrška aktivnosti zasniva se na saradnji i uključuje:

u određivanju namjere dizajna;

konsultantske faze: traženje informacija, dizajn, poticanje praktičnog direktnog rada sa;

pažnja na individualne metode maštovitog mišljenja i interpretacije, iniciranje mišljenja kroz aktivnost i njen proizvod;

inicijativne i kreativne projektne aktivnosti;

u pružanju prezentacije i ispitivanja projektnih aktivnosti.

Kao rezultat aktivne metode projekata u nastavi i van nje, učenici razvijaju vještine učenja i generalizirane metode. Učenici čvrsto asimiliraju ono što dobijaju rješavanjem problema. Studenti doživljavaju promišljeno bavljenje književnim tekstom i iskustvo rada s volumenom iz različitih izvora. steći vještine saradnje i komunikacije: raditi u, planirati rad iu grupi, učiti situacije i prihvatiti.

Projektni rad u razrednim i vannastavnim aktivnostima doprinosi formiranju duhovnosti i kulture, samostalnosti, uspješnoj socijalizaciji i aktivnoj adaptaciji na rad.

Način djelovanja u vezi s promjenama u obrazovanju. Računari su postali sastavni dio obrazovanja. U svom radu ga koristim kao neophodan uslov za savremenu nastavu. tehnika jasnog predstavljanja rezultata aktivnosti, odabira sistema, ilustrovanja problematike na temu.

Prilikom rada na projektu koristeći ICT alate, formira se osoba koja ne samo da može pratiti model, već i da dobije ono što je potrebno iz što više izvora, analizira to i uradi. Metoda školskog projekta, jer pokazuje visoku motivaciju za učenje, preopterećenost i povećava potencijal učenika.

Operacije uključene

Izvođenjem operacija na palindromima rezultat može biti i palindrom i ponovno punjenje.

Dodatak 2

Proizvod repunites daje palindrom.

Umnoživši mnogo ponavljanja, zaključujemo da svaki put dobijemo palindromski broj.

Dodatak 3

Dodatak 4

Fotografija iskustva

Spisak korištenih izvora informacija

Depman I.Ya. Iza stranica udžbenika matematike // priručnik za učenike 5-6 razreda srednje škole. - M.: Obrazovanje, 1989.

Yates S. Repunits i decimalni periodi // Izdavačka kuća Mir. - 1992.

Kordemsky B.A. Čudesni svijet brojeva // knjiga za studente. - M.: Obrazovanje, 1995.

Kordemsky B.A. Sat vremena sa porodicom repunite // Quantum. -1997. - br. 5. - str. 28-29.

Perelman Ya.I. Zabavna matematika // Izdavačka kuća Tezis. - 1994

http://arbuz.uz/t_numbers.html.

Lopovok L.M. Hiljadu problemskih zadataka iz matematike: knj. za studente. - M.: Obrazovanje, 1995. - 239 str.

Karpušina N.M. Repuniti i palindromi // Matematika u školi. - 2009, br. 6. - Str.55 - 58.

Strogov I.S. Vrućina hladnih brojeva. Eseji. - L.: Dječija književnost, 1974.

Perelman Ya.I. Živa matematika. - M.: "Nauka", 1978.

Yakovlev Danil

Gotovo svi matematički koncepti, na ovaj ili onaj način, oslanjaju se na koncept broja, a konačni rezultat svake matematičke teorije, po pravilu, izražava se jezikom brojeva. Mnogi od njih, posebno prirodni brojevi, prema određenim karakteristikama i svojstvima, grupirani su u zasebne strukture (zbirke) i imaju svoja imena. Dakle, svrha studije je upoznavanje s palindromskim brojevima

Skinuti:

Pregled:

RUSKA FEDERACIJA

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

"Srednja škola br. 7"

Grad Nizhnevartovsk

Istraživački rad
na školskoj naučno-praktičnoj konferenciji mladih istraživača

Palindromi u matematici

2016

UVOD 4

GLAVNI DIO................................................ ................................................................ ........................................5

ZAKLJUČAK 9

LITERATURA 11

Hipoteza
Prosti brojevi su dio brojeva koji čine sve prirodne brojeve.
Istražujući skup prostih brojeva, može se dobiti zadivljujući numerički skup sa njihovim izvanrednim svojstvima.

Svrha studije
Gotovo svi matematički koncepti, na ovaj ili onaj način, oslanjaju se na koncept broja, a konačni rezultat svake matematičke teorije, po pravilu, izražava se jezikom brojeva. Mnogi od njih, posebno prirodni brojevi, prema određenim karakteristikama i svojstvima, grupirani su u zasebne strukture (zbirke) i imaju svoja imena. dakle,svrha studijeje uvod u palindromske brojeve.

Ciljevi istraživanja

1. Proučite literaturu o temi istraživanja.

2. Razmotrite svojstva palindroma.

3. Saznajte kakvu ulogu prosti brojevi imaju u promjeni svojstava brojeva koji nas zanimaju.

Predmet studija– skup prostih brojeva.

Predmet proučavanja– brojevi su palindromi..

Metode istraživanja:

• teorijski
• anketa
• analiza

UVOD

Jednog dana, dok sam kuglao, primetio sam neobične brojeve: 44, 77, 99, 101 i pitao sam se koji su to brojevi? Gledajući na internetu, saznao sam da su ovi brojevi palindromi.

Palindrom (od grčkog πάλιν - "nazad, ponovo" i grčkog δρóμος - "trčati"), ponekad i palindromon, od gr. palindromos trčanje nazad).

Govoreći o tome šta je palindrom, treba reći da su "promjenjivači" poznati od davnina. Često su im davali magiju sveto značenje. Pojavili su se palindromi čiji se primjeri nalaze u većini različitim jezicima, vjerovatno u srednjem vijeku.

Palindrom se može dobiti kao rezultat operacija na drugim brojevima. Dakle, u knjizi “Imam ideju!” Poznati popularizator nauke Martin Gardner u vezi sa ovim problemom pominje „hipotezu o palindromu“.Ako uzmete prirodni broj (bilo koji) i dodate mu njegov inverz (koji se sastoji od istih brojeva, ali obrnutim redoslijedom), zatim ponovite radnju, ali s rezultirajućim zbrojem, tada ćete u jednom od koraka dobiti palindrom . U nekim slučajevima, dovoljno je izvršiti sabiranje jednom: 213 + 312 = 525. Ali obično su potrebne najmanje dvije operacije. Tako, na primjer, ako uzmemo broj 96, onda se izvođenjem sekvencijalnog sabiranja palindrom može dobiti samo na četvrtom nivou: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Suština hipoteze je da ako poduzmete bilo koji broj, nakon određenog broja radnji sigurno ćete dobiti palindrom.

GLAVNI DIO

Brojevi su palindromi

Pronalaženje brojeva - palindroma u matematici nije bilo teško. Pokušao sam napisati broj za ove brojeve - palindrome.

U dvocifrenim brojevima - palindromima, broj jedinica se poklapa sa brojem desetica.

– u trocifrenim brojevima – palindromima, broj stotina se uvek poklapa sa brojem jedinica.

U četvorocifrenim brojevima - palindromima, broj jedinica hiljada poklapa se sa brojem jedinica, a broj stotina sa brojem desetica itd.

Formule su palindromi

Palindromske formule izazvale su moje interesovanje. Pod formulama - palindromima mislim na izraz (koji se sastoji od zbira ili razlike brojeva) čiji se rezultat ne mijenja kao rezultat čitanja izraza s desna na lijevo.

Ako dodate brojeve koji su palindromi, zbir se ne mijenja. Sabiranje dvocifrenih brojeva je prilično jednostavno, odlučio sam da zapišem zbir trocifrenih brojeva.

Na primjer: 121+343=464

IN opšti pogled može se napisati ovako:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + y) = 111(y + x)

x + y = y + x

Preuređivanje uslova ne mijenja sumu(komutativno svojstvo sabiranja).

To se može dokazati na potpuno isti način za 4, 5 i n-cifrene brojeve.

Razmotrimo sve parove takvih dvocifrenih brojeva tako da se rezultat njihovog oduzimanja ne promijeni kao rezultat čitanja razlike s desna na lijevo.

Bilo koji dvocifreni broj može se predstaviti kao zbir cifara:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10u 2 + x 2) – (10u 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Takvi brojevi imaju jednak zbir cifara.

Sada možete napraviti sljedeće razlike:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25, itd.

Nominalni palindromi

Palindromi se nalaze u nekim skupovima brojeva koji imaju svoja imena: Fibonačijev broj, Smithov broj, Repdigit, Repunit.

Fibonačijevi brojeviimenuje elemente brojevnog niza. U njemu se svaki sljedeći broj u nizu dobija zbrajanjem prethodna dva broja.

Primjer: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Smithov broj - složeni broj čiji je zbir cifara jednak zbiru cifara njegovih prostih djelitelja.

Primjer: 202=2+0+2=4

Repdigit - prirodni broj u kojem su sve cifre iste.

Repunit - prirodni broj napisan samo pomoću jedinica

Numerički konstruktor

Od prostih palindromskih brojeva, raspoređujući ih na određeni način, recimo red po red, možete stvoriti simetrične figure koje se razlikuju po originalnom uzorku ponavljajućih brojeva.

Evo, na primjer, prekrasne kombinacije jednostavnih palindroma napisanih sa 1 i 3 (slika 1). Posebnost ovog brojevnog trokuta je da se isti fragment ponavlja tri puta bez narušavanja simetrije uzorka.

Rice. 1

Lako je vidjeti da je ukupan broj redova i stupaca prost broj (17). Dodatno, prosti brojevi i zbroji cifara: fragmenti označeni crvenom bojom (17); svaki red osim prvog (5, 11, 17, 19, 23); treći, peti, sedmi i deveti stub (7, 11) i „merdevine“ jedinica koje čine stranice trougla (11). Konačno, ako se krećemo paralelno sa naznačenim “stranicama” i posebno saberemo brojeve trećeg i petog reda (slika 2), dobićemo još dva prosta broja (17, 5).

Rice. 2

Nastavljajući konstrukciju, možete konstruirati složenije figure na osnovu ovog trokuta. Dakle, nije teško dobiti još jedan trokut sa sličnim svojstvima pomicanjem s kraja, odnosno počevši od posljednjeg broja, precrtavanjem na svakom koraku dva identična simetrično smještena broja i preuređivanjem ili zamjenom drugih - 3 sa 1 i obrnuto. . U ovom slučaju, sami brojevi trebaju biti odabrani na takav način da se rezultirajući broj pokaže jednostavnim. Kombinacijom obe figure dobijamo romb sa karakterističnim uzorkom brojeva koji skriva mnogo prostih brojeva (slika 3). Konkretno, zbir brojeva označenih crvenom bojom je 37.

Rice. 3

Također možete napraviti poligonalne figure od brojeva koji imaju određena svojstva. Pretpostavimo da trebate konstruirati figuru od jednostavnih palindroma napisanih pomoću 1 i 3, od kojih svaki ima ekstremne znamenke koje su jedinice, a zbroj svih cifara i ukupan broj jedinica u redu su prosti brojevi (izuzetak je jedan -digitalni palindrom). Osim toga, jednostavan broj mora izražavati ukupan broj redova, kao i cifre 1 ili 3, koji se nalaze u zapisu.

Na sl. Na slici 4 prikazano je jedno od rješenja problema - „kuća“ izgrađena od 11 različitih palindroma.

Rice. 4

Naravno, nije potrebno ograničiti se na dvije cifre i zahtijevati prisustvo svih navedenih cifara u zapisu svakog korištenog broja. Dapače, naprotiv: na kraju krajeva, njihove neobične kombinacije daju originalnost uzorku figure. Da bismo to potvrdili, dajemo nekoliko primjera lijepih palindromskih ovisnosti (sl. 5−7).

Rice. 5

Rice. 6

Rice. 7

ZAKLJUČAK

U svom radu gledao sam brojeve - palindrome, formule - palindrome za zbir trocifrenih brojeva i razliku dvocifrenih brojeva i uspio ih dokazati. Upoznao sam nevjerovatne prirodne brojeve: palindrome i repunite. Svi oni duguju svoja svojstva prostim brojevima.
Intuitivno sam sastavio formule za zbir i razliku n-cifrenih brojeva, proizvod i količnik dvocifrenih brojeva.

U slučaju množenja imamo:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13, itd.

Proizvod prvih cifara jednak je proizvodu njihovih drugih cifara x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Za podjelu dobijamo sljedeće primjere:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23, itd.

Ove izjave još nisam uspio dokazati, ali mislim da ću to moći učiniti u budućnosti.

U literaturi sam uspio pronaći formule - palindrome za množenje višecifrenih brojeva

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Postigla sam cilj svog rada. Gledao sam brojeve – palindrome i zapisivao ih u opštem obliku. Dao je primjere i dokazao formule - palindrome za sabiranje i oduzimanje dvocifrenih brojeva. Identificirao sam niz problema na kojima još moram raditi i istraživati ​​formule – palindrome. To znači da sam potvrdio hipotezu da su prosti brojevi dio brojeva koji čine sve prirodne brojeve. Istražujući skup prostih brojeva, može se dobiti zadivljujući numerički skup sa njihovim izvanrednim svojstvima.

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se:

Formulacija. Dat je četverocifreni broj. Provjerite je li palindrom. Napomena: Palindrom je broj, riječ ili tekst koji se čita isto s lijeva na desno i s desna na lijevo. Na primjer, u našem slučaju to su brojevi 1441, 5555, 7117 itd.

Primjeri drugih palindromskih brojeva proizvoljnog decimalnog mjesta, koji nisu vezani za problem koji se rješava: 3, 787, 11, 91519, itd.

Rješenje. Za unos broja sa tastature koristićemo varijablu n. Uneseni broj pripada skupu prirodnih brojeva i četvorocifren je, pa je očigledno veći od 255, pa je vrsta bajt nije prikladno za nas da ga opišemo. Zatim ćemo koristiti tip riječ.

Koja svojstva imaju palindromski brojevi? Iz navedenih primjera je lako vidjeti da su, zbog identične “čitljivosti” na obje strane, prva i zadnja cifra, druga i pretposljednja, itd., u njima jednake, do sredine. Štaviše, ako broj ima neparan broj cifara, tada se srednja znamenka može zanemariti prilikom provjere, jer kada je gore navedeno pravilo ispunjeno, broj je palindrom, bez obzira na njegovu vrijednost.

U našem zadatku je sve još nešto jednostavnije, jer je ulaz četvorocifreni broj. To znači da za rješavanje problema trebamo samo uporediti 1. cifru broja sa 4. i 2. cifru sa 3. Ako su obje ove jednakosti tačne, onda je broj palindrom. Ostaje samo da dobijete odgovarajuće znamenke broja u pojedinačnim varijablama, a zatim pomoću uslovnog operatora proverite ispunjenost obe jednakosti koristeći Boolean (logički) izraz.

Međutim, ne biste trebali žuriti s odlukom. Možda možemo pojednostaviti rezultirajući sklop? Uzmimo, na primjer, već spomenuti broj 1441. Šta će se dogoditi ako ga podijelimo na dva dvocifrena broja, od kojih će prvi sadržavati tisuće i stotine mjesta originala, a drugi desetice i jedinice originala. Dobijamo brojeve 14 i 41. Sada, ako se drugi broj zamijeni njegovom obrnutom notacijom (to smo radili u zadatak 5), tada dobijamo dva jednaka broja 14 i 14! Ova transformacija je sasvim očigledna, budući da se palindrom čita isto u oba smjera, sastoji se od kombinacije dvaput ponovljenih brojeva, a jedna od kopija je jednostavno okrenuta unatrag.

Otuda zaključak: morate podijeliti originalni broj na dva dvocifrena, obrnuti jedan od njih, a zatim uporediti rezultirajuće brojeve pomoću uvjetnog operatora ako. Usput, da bismo dobili obrnuti zapis druge polovine broja, potrebno je kreirati još dvije varijable da bismo sačuvali korištene cifre. Označimo ih kao a I b, i biće kao bajt.

Sada opišimo sam algoritam:

1) Unesite broj n;

2) Dodijelite cifru jedinice broja n varijabla a, a zatim ga odbacite. Zatim dodjeljujemo mjesto za desetice n varijabla b i odbacite ga:

3) Dodijeliti varijablu a broj koji predstavlja obrnuti unos pohranjen u varijablama a I b drugi dio originalnog broja n prema već poznatoj formuli:

4) Sada možemo koristiti test Booleovog izraza za jednakost rezultujućih brojeva n I a pomoć operatera ako i organizirati izlaz odgovora koristeći grane:

ako je n = a onda writeln('Da') else writeln('Ne');

Budući da se u iskazu problema eksplicitno ne kaže u kom obliku odgovor treba prikazati, smatrat ćemo logičnim da ga prikažemo na nivou koji je intuitivan za korisnika, dostupan na samom jeziku Pascal. Prisjetite se toga pomoću operatora pisati (writeln) možete prikazati rezultat izraza Booleovog tipa, i ako je ovaj izraz tačan, bit će prikazana riječ 'TRUE' (true na engleskom znači "tačno"), ako je lažno - riječ FALSE (false na engleskom) engleski znači "lažno"). Zatim prethodna konstrukcija sa ako može se zamijeniti sa

1. program PalindromeNum;
2. n: riječ;
3. a, b: bajt;
4. početi
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. pisati (n = a)

Natalya Karpushina.

UNAZAD

Numerički palindrom je prirodan broj koji se čita isto s lijeva na desno i s desna na lijevo. Drugim riječima, odlikuje se simetrijom notacije (rasporedom brojeva), a broj znakova može biti paran ili neparan. Palindromi se nalaze u nekim skupovima brojeva koji imaju svoja imena: među Fibonačijevim brojevima - 8, 55 (6. i 10. članovi istoimenog niza); figurirani brojevi - 676, 1001 (kvadratni i peterokutni, respektivno); Smith brojevi - 45454, 983389. Bilo koja repdigita, na primjer 2222222 i, posebno, repunit, također ima ovo svojstvo.

Palindrom se može dobiti kao rezultat operacija na drugim brojevima. Dakle, u knjizi “Imam ideju!” Poznati popularizator nauke Martin Gardner u vezi sa ovim problemom pominje „hipotezu o palindromu“. Uzmimo bilo koji prirodan broj i dodajmo ga inverznom broju, odnosno napisanom istim znamenkama, ali obrnutim redoslijedom. Uradimo istu radnju s rezultirajućim zbrojem i ponavljamo je dok se ne formira palindrom. Ponekad je dovoljan samo jedan korak (na primjer, 312 + 213 = 525), ali obično su potrebna najmanje dva. Recimo da broj 96 generiše palindrom 4884 tek u četvrtom koraku. Zaista:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

A suština hipoteze je da ćemo, uzimajući bilo koji broj, nakon konačnog broja radnji definitivno dobiti palindrom.

Možete uzeti u obzir ne samo zbrajanje, već i druge operacije, uključujući eksponencijaciju i ekstrakciju korijena. Evo nekoliko primjera kako se oni mogu koristiti za stvaranje drugih od nekih palindroma:

NUMBERS GAMES

Do sada smo se uglavnom bavili složenim brojevima. Sada se okrenimo jednostavnim brojevima. U njihovoj beskonačnoj raznolikosti postoje mnogi radoznali primjerci, pa čak i čitave porodice palindroma. Samo među prvih sto miliona prirodnih brojeva nalazi se 781 jednostavan palindrom, od kojih dvadeset spada u prvu hiljadu, od kojih su četiri jednocifrena - 2, 3, 5, 7 i samo jedan dvocifreni - 11. mnogi povezani s takvim brojevima zanimljivosti i prelepe šare.

Prvo, postoji jedinstveni jednostavan palindrom sa čak broj cifara - 11. Drugim riječima, proizvoljan palindrom sa parnim brojem cifara većim od dvije je složeni broj, što je lako dokazati na osnovu testa djeljivosti sa 11.

Drugo, prva i posljednja znamenka bilo kojeg jednostavnog palindroma mogu biti samo 1, 3, 7 ili 9. To proizilazi iz poznatih znakova djeljivosti sa 2 i 5. Zanimljivo je da svi jednostavni dvocifreni brojevi pisani pomoću navedenih cifara (sa izuzetkom 19), mogu se podijeliti na parove “obrnutih” brojeva (međusobno obrnutih brojeva) oblika i , gdje su brojevi a i b različiti. Svaki od njih, bez obzira koji broj je prvi, čita se isto s lijeva na desno i s desna na lijevo:

13 i 31, 17 i 71,

37 i 73, 79 i 97.

Gledajući u tabelu prostih brojeva, naći ćemo slične parove, u čijoj snimci postoje i drugi brojevi, posebno među trocifrenim brojevima biće četrnaest sličnih parova.

Osim toga, među jednostavnim trocifrenim palindromima postoje parovi brojeva čija se srednja znamenka razlikuje samo za 1:

18 1 i 1 9 1, 37 3 i 3 8 3,

78 7 i 7 9 7, 91 9 i 9 2 9.

Slična slika se opaža i za veće proste brojeve, na primjer:

948 49 i 94 9 49,

1177 711 i 117 8 711.

Palindromski prosti brojevi mogu se „postaviti“ različitim simetričnim formulama, koje odražavaju karakteristike njihove notacije. To se jasno vidi na primjeru petocifrenih brojeva:

Inače, jednostavni višecifreni brojevi oblika izgleda se nalaze samo među Repunite. Poznato je pet takvih brojeva. Važno je napomenuti da je za svaki od njih broj cifara izražen kao prost broj: 2, 19, 23, 317, 1031. Ali među prostim brojevima, u kojima su sve cifre osim centralne, palindrom vrlo impresivne dužine je otkriven - ima 1749 cifara:

Općenito, među prostim palindromskim brojevima ima nevjerovatnih primjera. Evo samo jednog primjera - numerički gigant

A zanimljiva je jer sadrži 11.811 cifara, koje se mogu podijeliti u tri palidromske grupe, a u svakoj grupi broj cifara je izražen kao prost broj (5903 ili 5).

ZNAČAJNI PAROVI

Zanimljivi palindromski obrasci se također mogu vidjeti u grupama prostih brojeva koji sadrže određene cifre. Recimo, samo brojevi 1 i 3, i to u svakom broju. Dakle, dvocifreni prosti brojevi formiraju uređene parove 13 - 31 i 31 - 13, od šest trocifrenih prostih brojeva odjednom pet brojeva, među kojima su dva palindroma: 131 i 313, i još dva broja čine parove. “preokreti” 311 - 113 i 113 - 311 U svim ovim slučajevima napravljeni parovi su vizuelno predstavljeni u obliku brojčanih kvadrata (slika 1).

Rice. 1

Njihova svojstva podsjećaju na magiju i latinske kvadrate. Na primjer, u prosječnom kvadratu, zbir brojeva u svakom redu i svakoj koloni je 444, na dijagonalama - 262 i 626. Zbrajanjem brojeva iz svih ćelija dobijamo 888. I ono što je tipično, svaki zbir je palindrom. Čak i samo ispisivanje nekoliko brojeva iz jedne tabele bez razmaka, dobijamo nove palindrome: 3113, 131313131, itd. Koji je najveći broj koji se može sastaviti na ovaj način? Hoće li to biti palindrom?

Ako svakom od parova 311 - 113 i 113 - 311 dodamo 131 ili 313, formiraju se četiri palindromske trojke. Napišimo jednu od njih u kolonu:

Kao što vidimo, i sami brojevi i njihova željena kombinacija se osjećaju kada se čitaju u različitim smjerovima. Pored toga, raspored brojeva je simetričan, a njihov zbir u svakom redu, svakoj koloni i na jednoj od dijagonala izražava se jednostavnim brojem - 5.

Mora se reći da su brojke koje se razmatraju same po sebi zanimljive. Na primjer, palindrom 131 je ciklični prost broj: svako uzastopno preuređivanje prve cifre na posljednje mjesto proizvodi proste brojeve 311 i 113. Možete li istaknuti druge proste palindrome koji imaju isto svojstvo?

Ali parovi "obrnutih" brojeva 13 - 31 i 113 - 311, kada se kvadriraju, daju i parove "obrnutih" brojeva: 169 - 961 i 12769 - 96721. Zanimljivo je da se čak i zbroji njihovih znamenki ispostavilo da su povezani na lukav način:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Dodajmo da među prirodnim brojevima postoje i drugi parovi “preokreta” sa sličnim svojstvom: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111, itd. Šta objašnjava uočeni obrazac? Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate razumjeti šta je posebno u snimanju ovih brojeva, koji brojevi i u kojim količinama mogu biti prisutni u njemu.

NUMERIČKI KONSTRUKTOR

Od prostih palindromskih brojeva, raspoređujući ih na određeni način, recimo red po red, možete stvoriti simetrične figure koje se razlikuju po originalnom uzorku brojeva koji se ponavljaju.

Evo, na primjer, prekrasne kombinacije jednostavnih palindroma napisanih sa 1 i 3 (osim prvog, sl. 2). Posebnost ovog brojevnog trokuta je da se isti fragment ponavlja tri puta bez narušavanja simetrije uzorka.

Rice. 2

Lako je vidjeti da je ukupan broj redova i stupaca prost broj (17). Dodatno, prosti brojevi i zbroji cifara: fragmenti označeni crvenom bojom (17); svaki red osim prvog (5, 11, 17, 19, 23); treći, peti, sedmi i deveti stub (7, 11) i „merdevine“ jedinica koje čine stranice trougla (11). Konačno, ako se krećemo paralelno sa naznačenim „stranicama“ i posebno saberemo brojeve trećeg i petog reda (slika 3), dobićemo još dva prosta broja (17, 5).

Rice. 3

Nastavljajući konstrukciju, možete konstruirati složenije figure na osnovu ovog trokuta. Dakle, nije teško dobiti još jedan trokut sa sličnim svojstvima pomicanjem s kraja, odnosno počevši od posljednjeg broja, precrtavanjem na svakom koraku dva identična simetrično smještena broja i preuređivanjem ili zamjenom drugih - 3 sa 1 i obrnuto. . U ovom slučaju, sami brojevi trebaju biti odabrani na takav način da se rezultirajući broj pokaže jednostavnim. Kombinacijom obe figure dobijamo romb sa karakterističnim uzorkom brojeva koji skriva mnogo prostih brojeva (slika 4). Konkretno, zbir brojeva označenih crvenom bojom je 37.

Rice. 4

Drugi primjer je trokut koji je dobijen iz originalnog trokuta nakon što mu se doda šest jednostavnih palindroma (slika 5). Figura odmah privlači pažnju svojim elegantnim okvirom jedinica. Oivičena je sa dva jednostavna repuna iste dužine: 23 jedinice čine „bazu“ i isti broj čine „stranice“ trougla.

Rice. 5

Još nekoliko cifara

Također možete napraviti poligonalne figure od brojeva koji imaju određena svojstva. Pretpostavimo da trebate konstruirati figuru od jednostavnih palindroma napisanih pomoću 1 i 3, od kojih svaki ima ekstremne znamenke koje su jedinice, a zbir svih cifara i ukupan broj jedinica u redu su prosti brojevi (izuzetak je jedan -digitalni palindrom). Osim toga, jednostavan broj mora izražavati ukupan broj redova, kao i cifre 1 ili 3, koji se nalaze u zapisu.

Na sl. Na slici 6 prikazano je jedno od rješenja problema – “kuća” izgrađena od 11 različitih palindroma.

Rice. 6

Naravno, nije potrebno ograničiti se na dvije cifre i zahtijevati prisustvo svih navedenih cifara u zapisu svakog korištenog broja. Dapače, naprotiv: na kraju krajeva, njihove neobične kombinacije daju originalnost uzorku figure. Da bismo to potvrdili, dajemo nekoliko primjera prekrasnih palindromskih zavisnosti (sl. 7−9).

Rice. 7

Rice. 8

Rice. 9

Sada, naoružani tablicom prostih brojeva, sami možete konstruirati figure poput onih koje smo mi predložili.

I na kraju, još jedan kuriozitet - trougao, bukvalno izboden po dužini i poprečno palindromima (sl. 10). Ima 11 redova prostih brojeva, a kolone su formirane repdigitama. I što je najvažnije: palindrom 1931111113231111111391 koji ograničava figuru sa strana je prost broj!

Izvor posla: Rješenje 4954. Jedinstveni državni ispit iz matematike 2016, I.V. Yashchenko. 36 opcija. Odgovori.

Zadatak 19. Nazovimo prirodni broj palindromom ako su u njegovom decimalnom zapisu sve cifre raspoređene simetrično (prva i zadnja znamenka su iste, druga i pretposljednja, itd.). Na primjer, brojevi 121 i 953359 su palindromi, ali brojevi 10 i 953953 nisu palindromi.

a) Navedite primjer palindromskog broja koji je djeljiv sa 45.

b) Koliko ima petocifrenih palindromskih brojeva koji su djeljivi sa 45?

c) Pronađite deseti najveći palindromski broj koji je djeljiv sa 45.

Rješenje.

a) Najjednostavnija opcija bi bio palindromski broj 5445, koji je djeljiv sa 45.

odgovor: 5445.

b) Razložimo broj 45 na proste faktore, dobijamo

to jest, broj mora biti djeljiv i sa 5 i sa 9. Znak da je broj djeljiv sa 5 je prisustvo broja 5 na kraju broja (ne uzimamo u obzir broj 0, jer nije prikladan). Dobijamo palindromski broj u obliku 5aba5, gdje su a, b cifre broja. Znak da je broj djeljiv sa 9 je zbir cifara

mora biti djeljiv sa 9. Iz ovog uslova imamo:

Za b=0: ;

Za b=1: ;

Za b=2: ;

Za b=3: ;

Za b=5: ;

Za b=6: ;

Za b=7: ;