Допомога по Теле2, тарифи, питання

яке за a = 1 служило нам визначення суми геометричної прогресії. Припускаючи теорему Гауса доведеної, припустимо, що a = a 1 є корінь рівняння (17), отже

Віднімаючи цей вираз з f(x) і перегруповуючи члени, ми отримаємо тотожність

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − a n 1 ) + an−1 (xn−1 − a n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Користуючись тепер формулою (20), ми можемо виділити множник x − a 1 з кожного члена і потім винести його за дужку, причому ступінь багаточлена, що залишається в дужках, стане на одиницю меншою. Перегруповуючи знову члени, ми отримаємо тотожність

f(x) = (x − a1 )g(x),

де g(x) - багаточлен ступеня n − 1:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1 x + b0.

(Обчислення коефіцієнтів, позначених через b, нас тут цікавить.) Застосуємо далі той самий міркування до многочлену g(x). За теоремою Гауса існує корінь a2 рівняння g(x) = 0, так що

g(x) = (x − a2 )h(x),

де h(x) - новий многочлен ступеня вже n − 2. Повторюючи ці міркування n − 1 раз (мається на увазі, звичайно, застосування принципу математичної індукції), ми зрештою приходимо до розкладання

З тотожності (22) випливає не тільки те, що комплексні числа a1, a2,

An суть коріння рівняння (17), а й те, що інших коренів рівняння (17) немає. Справді, якби число y було коренем рівняння (17), то з (22) слід би

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Але ми бачили (стор. 115), що добуток комплексних чисел дорівнює нулю в тому і лише тому випадку, якщо один із множників дорівнює нулю. Отже, один із множників y−ar дорівнює 0, тобто y = ar, що й потрібно встановити.

§ 6.

1. Визначення та питання існування. Алгебраїчним числом називається всяке число x, дійсне або уявне, що задовольняє деяке рівняння алгебри виду

130 МАТЕМАТИЧНА ЧИСЛОВА СИСТЕМА гл. II

де числа ai цілі. Так, наприклад, число 2 алгебраїчне, тому що воно задовольняє рівняння

x2 − 2 = 0.

Таким же чином алгебраїчним числом є будь-який корінь будь-якого рівняння з цілими коефіцієнтами третього, четвертого, п'ятого, будь-якої міри, і незалежно від того, виражається або не виражається він у радикалах. Поняття алгебраїчного числа є природне узагальнення поняття раціонального числа, яке відповідає окремому випадку n = 1.

Не всяке дійсне число є алгебраїчним. Це випливає з наступної, висловленої Кантором, теореми: безліч всіх чисел алгебри рахунків. Оскільки безліч всіх дійсних чисел незліченна, то обов'язково повинні існувати дійсні числа, які не є алгебраїчними.

Вкажемо один із методів перерахунку безлічі алгебраїчних чисел. Кожному рівнянню виду (1) порівняємо ціле додатне число

h = | an | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | + n,

яке назвемо заради стислості «висотою» рівняння. До кожного фіксованого значення n існує лише кінцеве число рівнянь виду (1) з висотою h. Кожне з таких рівнянь має якнайбільше n коренів. Тому може існувати лише кінцеве число чисел алгебри, що породжуються рівняннями з висотою h; отже, всі числа алгебри можна розташувати у вигляді послідовності, перераховуючи спочатку ті з них, які породжуються рівняннями висоти 1, потім - висоти 2 і т. д.

Цей доказ лічильності безлічі алгебраїчних чисел встановлює існування дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Такі числа називають трансцендентними (від латинського transcendere – переходити, перевершувати); таке найменування їм дав Ейлер, тому що вони «перевершують потужність методів алгебри».

Канторово доказ існування трансцендентних чисел не належить до конструктивних. Теоретично міркуючи, можна було б побудувати трансцендентне число за допомогою діагональної процедури, що проводиться над уявним списком десяткових розкладів всіх чисел алгебри; але така процедура позбавлена ​​будь-якого практичного значення і не привела б до числа, розкладання якого в десятковий (або якийсь інший) дріб можна було б насправді написати. Найбільш цікаві проблеми, пов'язані з трансцендентними числами, полягають у доказі того, що певні, конкретні числа (сюди відносяться числа p і e, про які див. стор. 319-322) є трансцендентними.

**2. Теорема Ліувіля та конструювання трансцендентних чисел. Доказ існування трансцендентних чисел ще до Кантора було надано Ж. Ліувілем (1809–1862). Воно дозволяє насправді конструювати приклади таких чисел. Доказ Ліувіля важче, ніж доказ Кантора, і це не дивно, оскільки сконструювати приклад, взагалі кажучи, складніше, ніж довести існування. Наводячи нижче доказ Ліувіля, маємо у вигляді лише підготовленого читача, хоча розуміння доказу цілком достатньо знання елементарної математики.

Як виявив Ліувілль, ірраціональні алгебраїчні числа мають ту властивість, що вони не можуть бути наближені раціональними числами з дуже великим ступенем точності, якщо тільки не взяти знаменники дробів, що наближають, надзвичайно великими.

Припустимо, що число z задовольняє рівняння алгебри з цілими коефіцієнтами

але не задовольняє такому ж рівнянню нижчого ступеня. Тоді

кажуть, що саме x є число алгебри ступеня n. Так наприклад,

число z = 2 є числом алгебри ступеня 2, тому що задовольняє рівнянню x2 − 2 = 0√ ступеня 2, але не задовольняє рівнянню першого ступеня; число z = 3 2 - ступеня 3, тому що задовольняє рівняння x3 - 2 = 0, але не задовольняє (як ми покажемо в розділі III) рівняння нижчого ступеня. Алгебраїчне число ступеня n > 1

не може бути раціональним, тому що раціональне число z = p q удо-

задовольняє рівняння qx − p = 0 ступеня 1. Кожне ірраціональне число z може бути з будь-яким ступенем точності наближено за допомогою раціонального числа; це означає, що завжди можна вказати послідовність раціональних чисел

p 1, p 2,. . .

q 1 q 2

з необмежено зростаючими знаменниками, що володіє тим-

що, що

p r → z. qr

Теорема Ліувіля стверджує: яке б не було число алгебри z ступеня n > 1, воно не може бути наближене за допомогою раци-

досить великих знаменниках обов'язково виконується нерівність

Ми збираємось навести доказ цієї теореми, але раніше покажемо, як за її допомогою можна будувати трансцендентні числа. Розглянемо число

z = a1 · 10-1! + a2 · 10-2! + a3 · 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

де ai позначають довільні цифри від 1 до 9 (найпростіше було б покласти всі ai рівними 1), а символ n!, як завжди (див. стор 36), позначає 1 · 2 · . . . · n. Характерною властивістю десяткового розкладання такого числа є те, що групи, що швидко зростають за своєю довжиною, нулів чергуються в ньому з окремими цифрами, відмінними від нуля. Позначимо через zm кінцевий десятковий дріб, що утворюється, коли в розкладі візьмемо всі члени до am · 10−m! включно. Тоді отримаємо нерівність

Припустимо, що z було б числом алгебри ступеня n. Тоді, вважаючи в нерівності Ліувіля (3) pq = zm = 10pm! , ми повинні мати

|z − zm | > 10 (n+1)m!

при досить високих значеннях m. Зіставлення останньої нерівності з нерівністю (4) дає

звідки слідує (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 за досить великих m. Але це неправильно для значень m, більших ніж n (нехай читач намагатиметься дати детальний доказ цього твердження). Ми дійшли суперечності. Отже, число z – трансцендентне.

Залишається довести теорему Ліувілля. Припустимо, що z - число алгебри ступеня n > 1, що задовольняє рівнянню (1), так що

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + an (zm n − zn).

Ділячи обидві частини на zm − z та користуючись алгебраїчною формулою

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

ми отримуємо:

Так як zm прагне z, то при досить великих m раціональне число zm буде відрізнятися від z менше ніж на одиницю. Тому за досить великих m можна зробити таку грубу оцінку:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

причому стоїть праворуч число M - постійне, оскільки z не змінюється у процесі доказу. Виберемо тепер m настільки великим, щоб

у дробу z m = p m знаменник q m був більшим, ніж M; тоді qm

тому що тоді можна було б із многочлена f(x) виділити множник (x − zm ), і, отже, z задовольняло б рівняння ступеня нижчого ніж n. Отже, f(zm ) 6= 0. Але чисельник у правій частині рівності (9) є ціле число і, отже, по абсолютній величині він щонайменше дорівнює одиниці. Таким чином, зі зіставлення співвідношень (8) і (9) випливає нерівність

таки складовий зміст зазначеної теореми.

Протягом кількох останніх десятиліть дослідження щодо можливості наближення алгебраїчних чисел раціональними просунулися набагато далі. Наприклад, норвезький математик А. Туе (1863–1922) встановив, що у нерівності Лиувилля (3) показник n + 1 може бути замінений меншим показником n 2 + 1.

Зігель показав, що можна взяти і ще менший (ще менший

при більших n) показник 2 n.

Трансцендентні числа завжди були темою, яка приковує до себе увагу математиків. Але до порівняно недавнього часу серед чисел, які цікаві власними силами, було відомо дуже небагато таких, трансцендентний характер яких було б встановлено. (З трансцендентності числа p, про яку йтиметься у розділі III, слід неможливість квадратури кола з допомогою лінійки і циркуля.) У своєму виступі на Паризькому міжнародному математичному конгресі 1900 р. Давид Гільберт запропонував тридцять математичних

проблем, що допускають просте формулювання, деякі - навіть зовсім елементарне і популярне, з яких жодна не тільки не була вирішена, але навіть і не здавалася здатною бути дозволеною засобами математики тієї епохи. Ці «проблеми Гільберта» надали сильний збуджуючий вплив упродовж наступного періоду розвитку математики. Майже всі вони поступово були дозволені, і в багатьох випадках їх вирішення було пов'язане з ясно вираженими успіхами в сенсі вироблення більш загальних і глибших методів. Одна з проблем, що здавалася досить безнадійною, полягала в

доказ того, що число

є трансцендентним (чи хоча б ірраціональним). Протягом трьох десятиліть не було навіть натяку на такий підхід до питання з чийогось боку, який відкривав би надію на успіх. Зрештою, Зігель і, незалежно від нього, молодий російський математик А. Гельфонд відкрили нові методи для доказу трансцендентності багатьох

чисел, що мають значення у математиці. Зокрема, було встановлено

трансцендентність як гільбертова числа 2 2 , а й цілого досить великого класу чисел виду ab , де a - алгебраїчне число, відмінне від 0 і 1, a b - ірраціональне алгебраїчне число.

ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ II

Алгебра множин

1. Загальна теорія. Поняття класу, чи сукупності, чи безлічі об'єктів - одне з найбільш фундаментальних математики. Безліч визначається деякою властивістю («атрибутом») A, яким повинен або мати, або не мати кожен аналізований об'єкт; ті об'єкти, які мають властивість A, утворюють безліч A. Так, якщо ми розглядаємо цілі числа і властивість A полягає в тому, щоб бути «простим», то відповідна безліч A складається з усіх простих чисел 2, 3, 5, 7, . . .

Математична теорія множин виходить з того, що з множин за допомогою певних операцій можна утворювати нові множини (подібно до того, як з чисел за допомогою операцій складання та множення виходять нові числа). Вивчення операцій над множинами становить предмет «алгебри множин», яка має багато спільного зі звичайною числовою алгеброю, хоча в чому і відрізняється від неї. Той факт, що методи алгебри можуть бути застосовані до вивчення нечислових об'єктів, якими є безлічі, ілю-

струє велику спільність ідей сучасної математики. Останнім часом з'ясувалося, що алгебра множин кидає нове світло на багато галузей математики, наприклад, теорію міри та теорію ймовірностей; вона корисна також при систематизації математичних понять та з'ясуванні їх логічних зв'язків.

Надалі I буде позначати деяку постійну множину об'єктів, природа яких байдужа, і яку ми можемо називати універсальною множиною (або універсумом міркування), а

A, B, C, . . . будуть якісь підмножини I. Якщо I є сукупність всіх натуральних чисел, то A, скажімо, може означати безліч всіх парних чисел, B - безліч всіх непарних чисел, C - безліч всіх простих чисел, і т. п. Якщо I означає сукупність всіх точок на площині, то A може бути безліччю точок всередині якогось кола, B - безліччю точок всередині іншого кола і т. п. До «підмножин» нам зручно включити саме I, а також «порожнє» безліч, що не містить ніяких елементів. Мета, яку переслідує таке штучне розширення, полягає у збереженні того положення, що кожній властивості A відповідає деяка множина елементів з I, що володіють цією властивістю. У разі, якщо A є універсально виконувана властивість, прикладом якого може служити (якщо йдеться про числа) властивість задовольняти тривіальній рівності x = x, то відповідне підмножина I буде саме I, оскільки кожен елемент має таку властивість; з іншого боку, якщо A є якась внутрішньо суперечлива властивість (на кшталт x 6= x), то відповідне підмножина не містить зовсім елементів, воно - "порожнє" і позначається символом.

Кажуть, що множина A є підмножина множини B, коротше, «A входить до B», або «B містить A», якщо у множині A немає такого елемента, який не був би також у множині B. Цьому співвідношенню відповідає запис

A B або B A.

Наприклад, безліч A всіх цілих чисел, що діляться на 10, є підмножина безлічі B всіх цілих чисел, що діляться на 5, тому що кожне число, що ділиться на 10, ділиться також на 5. Співвідношення A B не виключає співвідношення B A. Якщо має місце і те й інше, то

Це означає, що кожен елемент A є водночас елемент B, і назад, так що множини A і B містять якраз одні й ті самі елементи.

Співвідношення A B між множинами багато в чому нагадує співвідношення a 6 b між числами. Зокрема, відзначимо слід-

дуючі властивості цього співвідношення:

1) A A.

2) Якщо AB і BA, то A = B.

3) Якщо A B та B C, то A C.

З цієї причини співвідношення AB іноді називають «відношенням порядку». Головна відмінність аналізованого співвідношення від співвідношення a 6 b між числами полягає в тому, що між будь-якими двома заданими (дійсними) числами a і b неодмінно здійснюється щонайменше одне із співвідношень a 6 b або b 6 a, тоді як для співвідношення A B між множинами аналогічне твердження неправильне. Наприклад, якщо A є безліч, що складається з чисел 1, 2, 3,

а B - множина, що складається з чисел 2, 3, 4,

то немає місця ні співвідношення A B, ні співвідношення B A. З цієї причини говорять, що підмножини A, B, C, . . . множини I є «частково впорядкованими», тоді як дійсні числа a, b, c, . . .

утворюють «цілком упорядковану» сукупність.

Зауважимо, між іншим, що з визначення співвідношення A B слід, що, яке б не було підмножина A множини I,

Властивість 4) може бути дещо парадоксальним, але, якщо вдуматися, воно логічно суворо відповідає точному змісту визначення знака. Справді, співвідношення A порушувалося б тільки

в тому випадку, якби порожня множина містила елемент, який не містився б A; але так як порожня безліч не містить зовсім елементів, то цього не може бути, яке б не було A.

Ми визначимо тепер дві операції над множинами, що формально володіють багатьма алгебраїчними властивостями додавання та множення чисел, хоча за своїм внутрішнім змістом зовсім відмінні від цих арифметичних дій. Нехай A і B - якісь дві множини. Під об'єднанням, або «логічною сумою», A і B розуміється безліч, що складається з тих елементів, які містяться в A або

в B (включаючи і ті елементи, які містяться в A і B). Ця множина позначається A + B. 1 Під «перетином», або «логічним твором», A і B розуміється безліч, що складається з тих елементів, які містяться і в A і B. Ця множина позначається AB.2

Серед важливих властивостей алгебри операцій A + B і AB перерахуємо наступні. Читач зможе перевірити їхню справедливість, виходячи з визначення самих операцій:

Перевірка всіх цих законів – справа найпростішої логіки. Наприклад, правило 10) констатує, що безліч елементів, що містяться або A, або A, є якраз безліч A; правило 12) констатує, що безліч тих елементів, які містяться в A і разом з тим містяться або B, або C, збігається з безліччю елементів, які або містяться одночасно в A і B, або містяться одночасно в A і C Логічні міркування, які використовуються при доказах подібного роду правил, зручно ілюструються, якщо ми умовимося зображати безлічі A, B, C, . . . у вигляді деяких фігур на площині і будемо дуже уважні в тому відношенні, щоб не упустити жодної з логічних можливостей, що виникають, коли йдеться про наявність загальних елементів двох множин або, навпаки, наявності в одній множині елементів, які не містяться в іншій.

Читач, безсумнівно, звернув увагу на те, що закони 6), 7), 8), 9) і 12) зовні тотожні з добре знайомими комутативним, асоціативним і дистрибутивним законами звичайної алгебри. Звідси випливає, що це правила звичайної алгебри, які з цих законів, дійсні й у алгебрі множин. Навпаки, закони 10), 11) і 13) немає своїх аналогів у звичайній алгебрі, і вони надають алгебрі множин простішу структуру. Наприклад, формула бінома в алгебрі множин зводиться до найпростішої рівності

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

яке випливає із закону 11). Закони 14), 15) і 17) свідчать, що властивості множин і I стосовно операціям об'єднання і перетину множин дуже схожі властивості чисел 0 і 1 стосовно операціям числових дій складання і множення. Але закон 16) немає аналога в числовій алгебрі.

Залишається дати визначення ще однієї операції в алгебрі множин. Нехай A - якесь підмножина універсальної множини I. Тоді під доповненням A в I розуміється безліч всіх елементів I, які не містяться в A. Для цієї множини ми введемо позначення A0 . Так, якщо I є безліч всіх натуральних чисел, а A - безліч всіх простих чисел, то A0 є безліч, що складається з усіх складових чисел і числа 1. Операція переходу від A до A0, для якої немає аналога у звичайній алгебрі, має наступні властивості :

23) A00 = A.

24) Співвідношення A B еквівалентне співвідношенню B 0 A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Перевірку цих властивостей ми знову надаємо читачеві.

Закони 1)-26) лежать в основі алгебри множин. Вони мають чудову властивість «двоїстості» в наступному сенсі:

Якщо в одному із законів 1)–26) замінити один на одного відпо-

(у кожному їх входженні), то в результаті знову виходить один із цих законів. Наприклад, закон 6) перетворюється на закон 7), 12) - в 13), 17) - в 16) тощо. буд. , «Двійна» їй теорема, що виходить з першої за допомогою зазначених перестановок символів. Справді, оскільки доказ

гол. II АЛГЕБРА МНОЖИН 139

перша теорема складається з послідовного застосування (на різних стадіях міркування, що проводиться) деяких із законів 1–26), то застосування на відповідних стадіях «двоїх» законів складе доказ «двоїстої» теореми. (З приводу такої ж «двоїстості» в геометрії див. Розділ IV.)

2. Застосування математичної логіки. Перевірка законів алгебри множин ґрунтувалася на аналізі логічного сенсу співвідношення A B та операцій A + B, AB та A0. Ми можемо тепер звернути цей процес і розглядати закони 1)–26) як основу для «алгебри логіки». Скажімо точніше: та частина логіки, яка стосується множин, або, що по суті те саме, властивостей об'єктів, що розглядаються, може бути зведена до формальної алгебраїчної системи, заснованої на законах 1)–26). Логічний «умовний всесвіт» визначає безліч I; кожна властивість A визначає безліч A, що складається з тих об'єктів в I, які мають цю властивість. Правила перекладу звичайної логічної термінології на мову множин зрозумілі з

У термінах алгебри множин силогізм «Barbara», що означає, що «якщо всяке A є B і всяке B є C, то всяке A є C», набуває простого вигляду:

3) Якщо AB і BC, то АС.

Аналогічно «закон протиріччя», який стверджує, що «об'єкт не може одночасно володіти і не володіти деякою властивістю», записується у вигляді:

20) AA 0 = ,

а «закон виключеного третього», який говорить, що «об'єкт повинен або мати, або не мати деяку властивість», записується:

19) A+A0=I.

Таким чином, та частина логіки, яка виразна в термінах символів, +, · і 0, може трактуватися як формальна система алгебри, підпорядкована законам 1)–26). На основі злиття логічного аналізу математики та математичного аналізу логіки створилася нова дисципліна – математична логіка, яка в даний час перебуває у процесі бурхливого розвитку.

З аксіоматичної точки зору заслуговує на увагу той чудовий факт, що твердження 1)–26), разом з усіма іншими теоремами алгебри множин, можуть бути логічно виведені з наступних трьох рівностей:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Звідси випливає, що алгебра множин може бути побудована як суто дедуктивна теорія, на кшталт евклідової геометрії, на основі цих трьох положень, що приймаються як аксіом. Якщо ці аксіоми прийняті, то операція AB та відношення A B визначаються в термінах A + B та A0:

Зовсім іншого приклад математичної системи, в якій виконуються всі формальні закони алгебри множин, дається системою восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: тут a + b позначає,

визначенню, загальне найменше кратне a і b, ab - загальний найбільший дільник a і b, a b - твердження «b поділяється на a» та a0 - число 30 a . Су-

Існування таких прикладів спричинило вивчення загальних алгебраїчних систем, що задовольняють законам 27). Такі системи називаються "булевими алгебрами" - на честь Джорджа Буля (1815-1864), англійського математика і логіка, книга якого "Ан investigation of the laws of thought" (Дослідження законів мислення) з'явилася в 1854 році.

3. Одне із застосувань до теорії ймовірностей. Алгебра множин має найближче відношення до теорії ймовірностей і дозволяє глянути на неї у новому світлі. Розглянемо найпростіший приклад: уявімо собі експеримент із кінцевим числом можливих наслідків, які всі мисляться як «рівноможливі». Експеримент може, наприклад, полягати в тому, що ми витягуємо навмання карту з повною колоди, що добре перетасована. Якщо безліч всіх результатів експерименту позначимо через I, а A позначає якесь підмножина I, то ймовірність того, що результат експерименту виявиться належать до підмножини A, визначається як відношення

p(A) = число елементів A. число елементів I

Якщо умовимося число елементів у якомусь множині A позначати через n(A), то останній рівності можна надати вигляду

Ідеї ​​алгебри множин виявляються при обчисленні ймовірностей тоді, коли доводиться, знаючи ймовірність одних множин, обчислювати ймовірності інших. Наприклад, знаючи ймовірності p(A), p(B) та p(AB), можна обчислити ймовірність p(A + B):

Довести це не важко. Ми маємо

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

оскільки елементи, що містяться одночасно в A і B, тобто елементи AB, вважаються двічі при обчисленні суми n(A) + n(B), і, значить, потрібно відняти n(AB) з цієї суми, щоб підрахунок n(A + B) був зроблений правильно. Потім ділячи обидві частини рівності на n(I), ми отримуємо співвідношення (2).

Цікавіша формула виходить, якщо йдеться про три множини A, B, C з I. Користуючись співвідношенням (2), ми маємо

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Закон (12) із попереднього пункту дає нам (A + B) C = AC + BC. Звідси випливає:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Підставляючи в отримане раніше співвідношення значення p[(A + B)C] і значення p(A + B), взяте з (2), ми приходимо до потрібної формули:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Як приклад розглянемо наступний експеримент. Три цифри 1, 2, 3 пишуться в будь-якому порядку. Якою є ймовірність того, що принаймні одна з цифр опиниться на належному (у сенсі нумерації) місці? Нехай A є безліч перестановок, у яких цифра 1 стоїть першому місці, B - безліч перестановок, у яких цифра 2 стоїть другою місці, C - безліч перестановок, у яких цифра 3 стоїть третьому місці. Нам потрібно обчислити p(A+B+C). Зрозуміло, що

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

дійсно, якщо якась цифра стоїть на належному місці, то є дві можливості переставити решту двох цифр із загального числа 3 · 2 · 1 = 6 можливих перестановок трьох цифр. Далі,

Вправа. Виведіть відповідну формулу для p(A + B + C + D) та застосуйте її до експерименту, в якому братимуть участь 4 цифри. Відповідна ймовірність дорівнює 58 = 0,6250.

Загальна формула для об'єднання n множин має вигляд

комбінаціям, що містять одну, дві, три, . . . , (n − 1) літер із числа A1 , A2 , . . .

An. Ця формула може бути встановлена ​​за допомогою математичної індукції - так само, як формула (3) була виведена з формули (2).

З формули (4) можна зробити висновок, що якщо n цифр 1, 2, 3, . . . n написані в будь-якому порядку, то ймовірність того, що принаймні одна з цифр опиниться на належному місці, дорівнює

причому перед останнім членом стоїть знак + або −, зважаючи на те, чи є n парним чи непарним. Зокрема, за n = 5 ця ймовірність дорівнює

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! + 5! = 30 = 0,6333. . .

У розділі VIII ми побачимо, що коли n прагне нескінченності, вираз

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! + 4! − . . . ± n!

прагне межі 1 e , значення якого, з п'ятьма знаками після коми,

одно 0,36788. Оскільки з формули (5) видно, що pn = 1 − Sn, то звідси випливає, що за n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Трансцендентне число- Комплексне число, що не є алгебраїчним, тобто не є коренем ніякого відмінного від нуля многочлена з раціональними коефіцієнтами.

Існування трансцендентних чисел вперше встановив Ж. Ліувілль в 1844 р.; він же збудував перші приклади таких чисел. Ліувілль зауважив, що алебраїчні числа не можуть «надто добре» наближатися раціональними числами. Саме теорема Ліувіля говорить, що якщо алгебраїчне число є коренем багаточлена ступеня з раціональними коефіцієнтами, то для будь-якого раціонального числа справедлива нерівність

де постійна залежить лише від. З цього твердження випливає достатня ознака трансцендентності: якщо число таке, що для будь-якої постійної існує безліч раціональних чисел, що задовольняють нерівностей

то трансцендентно. Згодом такі числа одержали назву чисел Ліувіля. Приклад такого числа є

Інший доказ існування трансцендентних чисел було отримано Г. Кантором у 1874 р. на основі створеної ним теорії множин. Кантор довів ліченість множини алгебраїчних чисел і незліченність множини дійсних чисел, звідки випливає, що безліч трансцендентних чисел незліченна. Однак, на відміну від доказу Ліувіля, ці міркування не дозволяють навести приклад хоча б одного такого числа.

Робота Ліувіля дала початок цілому розділу теорії трансцендентних чисел - теорії наближення алгебраїчних чисел раціональними або, більш загальним, алгебраїчними числами. Теорема Ліувіля посилювалася та узагальнювалася у роботах багатьох математиків. Це дозволило побудувати нові приклади трансцендентних чисел. Так, К. Малер показав, що якщо - непостійний многочлен, що приймає цілі невід'ємні значення при всіх натуральних, то для будь-якого натурального число, де запис числа в системі числення з основою, є трансцендентним, але не є числом Ліувіля. Наприклад, при та отримуємо наступний витончений результат: число

трансцендентно, але не є числом Ліувіля.

У 1873 р. Ш. Ерміт, використовуючи інші ідеї, довів трансцендентність неперового числа (підстави натурального логарифму):

Розвинувши ідеї Ерміта, Ф. Ліндеман в 1882 р. довів трансцендентність числа, тим самим поставивши крапку в давній проблемі про квадратуру кола: за допомогою циркуля та лінійки неможливо побудувати квадрат, рівновеликий (тобто має ту саму площу) даному колу. Більше спільно, Ліндеман показав, що при будь-якому алгебраїчному число трансцендентне. Еквівалентне формулювання: для будь-якого числа алгебри, відмінного від і, його натуральний логарифм є трансцендентим числом.

У 1900 р. на конгресі математиків у Парижі Д. Гільберт серед 23 невирішених проблем математики вказав на наступну, у приватній формі сформульовану ще Л. Ейлером:

Нехай і - алгебраїчні числа, причому трансцендентним? Зокрема, чи трансцендентні числа і?

Ця проблема може бути переформульована в наступній формі, близькій до оригінального формулювання Ейлера:

Нехай і - алгебраїчні числа, відмінні від і, причому відношення їх натуральних логарифмів ірраціонально. Чи буде число трансцендентним?

Перше часткове вирішення проблеми було отримано в 1929 р. А. О. Гельфондом, який, зокрема, довів трансцендентність числа. У 1930 р. Р. О. Кузьмін удосконалив метод Гельфонду, зокрема, йому вдалося довести трансцендентність числа. Повне вирішення проблеми Ейлера-Гільберта (в ствердному сенсі) було отримано в 1934 незалежно від А. О. Гельфондом і Т. Шнайдером.

А. Бейкер у 1966 узагальнив теореми Ліндемана та Гельфонда-Шнайдера, довівши, зокрема, трансцендентність добутку довільної кінцевої кількості чисел виду та з алгебраїчними при природних обмеженнях.

У 1996р. Ю.В. Нестеренко довів незалежність алгебри значень рядів Ейзенштейна і, зокрема, чисел в. Це означає трансцендентність будь-якого числа виду, де відмінна від нуля раціональна функція з коефіцієнтами алгебри. Наприклад, трансцендентною буде сума ряду

У 1929-1930 pp. К. Малер у серії робіт запропонував новий метод доказу трансцендентності значень аналітичних функцій, що задовольняють функціональним рівнянням певного виду (згодом такі функції отримали назву функцій Малера).

Методи теорії трансцендентних чисел знайшли застосування та інших розділах математики, зокрема у теорії діофантових рівнянь.

Число називається алгебраїчнимякщо воно є коренем деякого багаточлена з цілими коефіцієнтами

a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(т. е. коренем рівняння a n x n +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, де a n, a n-1, ..., a 1, a 0--- цілі числа, n 1, a n 0).

Безліч алгебраїчних чисел позначимо буквою .

Легко бачити, що будь-яке раціональне число є алгебраїчним. Справді, - корінь рівняння qx-p=0з цілими коефіцієнтами a 1 =qі a 0 =-p. Отже, .

Однак не всі алгебраїчні числа раціональні: наприклад, число є коренем рівняння x 2 -2 = 0, Отже, --- число алгебри.

Довгий час залишалося невирішеним важливе для математики питання: Чи існують неалгебраїчні дійсні числа ? Лише 1844 року Ліувіль вперше навів приклад трансцендентного (тобто. неалгебраїчного) числа.

Побудова цього числа та доказ його трансцендентності дуже складні. Довести теорему існування трансцендентних чисел можна значно простіше, використовуючи міркування про еквівалентність та нееквівалентність числових множин.

А саме, доведемо, що безліч алгебраїчних чисел є рахунковим. Тоді, оскільки багато всіх дійсних чисел незліченна, ми встановимо існування неалгебраїчних чисел.

Побудуємо взаємно однозначну відповідність між і деякою підмножиною . Це означатиме, що - Звісно чи рахунково. Але оскільки , то нескінченно, отже, рахунково.

Нехай - деяке число алгебри. Розглянемо всі багаточлени з цілими коефіцієнтами, коренем яких є , і виберемо серед них багаточлен Pмінімального ступеня (тобто не буде коренем жодного багаточлена з цілими коефіцієнтами меншого ступеня).

Наприклад, для раціонального числа такий многочлен має ступінь 1, а числа - ступінь 2.

Розділимо всі коефіцієнти багаточлена Pна їхній найбільший спільний дільник. Отримаємо многочлен, коефіцієнти якого взаємно прості разом (їх найбільший спільний дільник дорівнює 1). Зрештою, якщо старший коефіцієнт a nвід'ємний, помножимо всі коефіцієнти многочлена на -1 .

Отриманий багаточлен (тобто багаточлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є число, що має мінімально можливий ступінь, взаємно прості коефіцієнти та позитивний старший коефіцієнт) називається мінімальним багаточленом числа.

Можна довести, що такий многочлен визначається однозначно: кожне число алгебри має рівно один мінімальний многочлен.

Кількість дійсних коренів многочлена не більше, ніж його ступінь. Отже, можна пронумерувати (наприклад, за зростанням) усі коріння такого багаточлена.

Тепер будь-яке число алгебри повністю визначається своїм мінімальним багаточленом (тобто набором його коефіцієнтів) і номером, який відрізняє від інших коренів цього многочлена: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Отже, кожному алгебраїчному числу ми поставили у відповідність кінцевий набір цілих чисел, причому по цьому набору відновлюється однозначно (тобто різним числам відповідають різні набори).

Пронумеруємо в порядку зростання всі прості числа (неважко показати, що їх дуже багато). Отримаємо нескінченну послідовність (p k): p 1 =2,p 2 =3, p 3 =5, p 4 =7, ... Тепер набору цілих чисел (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k)можна поставити у відповідність твір

(Це число позитивне та раціональне, але не завжди натуральне, адже серед чисел a 0, a 1, ..., a n-1, може бути негативні). Зауважимо, що це число є нескоротним дріб, оскільки прості множники, що входять до розкладання чисельника і знаменника, різні. Зауважимо також, що два нескоротні дроби з позитивними чисельниками та знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли і їх чисельники рівні, та їх знаменники рівні.

Розглянемо тепер наскрізне відображення:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Оскільки різним числам алгебри ми поставили у відповідність різні набори цілих чисел, а різним наборам --- різні раціональні числа, то ми, таким чином, встановили взаємно однозначну відповідність між безліччю і деякою підмножиною . Тому безліч алгебраїчних чисел лічильна.

Оскільки безліч дійсних чисел незліченна, ми довели існування неалгебраїчних чисел.

Однак теорема існування не вказує на те, як визначити, чи є дане число алгебраїчним. А це питання іноді дуже важливо для математики.

На дійсній прямій крім алгебраїчних чисел помістилося ще одне безліч, потужність якого збігається з потужністю всієї прямої - це безліч трансцендентних чисел.

Визначення 6 : Число, яке не є алгебраїчним, називається трансцендентним, тобто трансцендентне числом (лат. transcendere - переходити, перевершувати) - це речовинне або комплексне число, яке не може бути коренем багаточлена (не рівного тотожному нулю) з раціональними коефіцієнтами

Властивості трансцендентних чисел:

· Безліч трансцендентних чисел континуально.

· Кожне трансцендентне речове число є ірраціональним, але протилежне неправильно. Наприклад, число - ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем багаточлена (і тому є алгебраїчним).

· Порядок на безлічі речових трансцендентних чисел ізоморфний порядку на безлічі ірраціональних чисел.

· Міра ірраціональності майже будь-якого трансцендентного числа дорівнює 2.

Вперше існування трансцендентних чисел доведено Ліувілем. Доказ існування трансцендентних чисел у Лаувіля є ефективним; на основі наступної теореми, яка є безпосереднім наслідком теореми 5, будуються конкретні приклади трансцендентних чисел.

Теорема 6 [3, стор 54].: Нехай - дійсне число. Якщо для будь-якого натурального n 1 і будь-якого дійсного c>0 існує хоча б один раціональний дріб, такий, що (11), то - трансцендентне число.

Доведення:Якби було алгебраїчним, то знайшлося б (теорема 5) ціле позитивне nі дійсне c>0 такі, що з будь-якого дробу було б, але це суперечить тому, що має місце (11). Припущення, що число алгебри, тобто. трансцендентне число. Теорему доведено.

Числа, для яких за будь-яких n 1 і c>0 нерівність (11) має рішення у цілих числах aі bназиваються трансцендентними числами Ліувіля.

Тепер ми маємо засіб для побудови дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Потрібно побудувати число, що допускає наближення як завгодно високого порядку.

приклад:

a- трансцендентне число.

Візьмемо довільні дійсні n 1 і c>0. Нехай де kобрано настільки великим, що і knтоді

Бо для довільних n 1 і c>0 можна знайти такий дріб, що, то - трансцендентне число.

Задамо число у вигляді нескінченного десяткового дробу: де

Тоді для будь-кого, де, . Таким чином, а це означає, що допускає наближення як завгодно високого порядку і тому не може бути алгебраїчним.

У 1873 році Ш. Ерміт довів трансцендентність числа e, основи натуральних логарифмів.

Для доказу трансцендентності числа eзнадобиться дві леми.

Лемма 1.Якщо g(x) - багаточлен з цілими коефіцієнтами, то для будь-якого kN всі коефіцієнти його k-ой похідною g (k) (x) поділяються на k!.

Доведення.Оскільки оператор d/dxлінійний, то затвердження леми достатньо перевірити тільки для багаточленів виду g(x)=x s , s 0.

Якщо k>s, то g (k) (x)= 0 і k!|0.

Якщо k< s , то

біноміальний коефіцієнт є цілим числом і g(k) ( x) знову-таки ділиться на k! націло.

Лемма 2 (Тотожність Ерміта) .Нехай f(x) - довільний багаточлен ступеня kіз дійсними коефіцієнтами,

F( x)=f(x)+f" (x)+f»(x)+ … +f (k) (x) - сума всіх його похідних. Тоді для будь-якого дійсного (і навіть комплексного, але нам це поки що не знадобиться) xвиконано:

Доведення.Інтегруємо частинами:

Інтеграл знову інтегруємо частинами, і так далі. Повторивши цю процедуру k+1 раз, отримаємо:

Теорема 7 (Ерміт, 1873). Число е трансцендентно.

Доведення.Доведемо це твердження від протилежного. Припустимо, що е - алгебраїчне число, ступеня m. Тоді

a m e m + … +a 1 e+a 0 =0

для деякого натурального mта деяких цілих a m ,… a 1 , a 0 . Підставимо в тотожність Ерміта (12) замість хціле число kяке приймає значення від 0 до m; помножимо кожну рівність

відповідно на a k, а потім усі їх складемо. Отримаємо:

Так як (це наше неприємне припущення), то виходить, що для будь-якого багаточлена f(x) повинна бути виконана рівність:

За рахунок відповідного вибору багаточлена f(x) можна зробити ліву частину (13) ненульовим цілим числом, а права частина при цьому виявиться між нулем та одиницею.

Розглянемо багаточлен, де nвизначимо пізніше ( nN, і nвелике).

Число 0 - корінь кратності n-1 многочлена f(x), числа 1, 2, ..., m- коріння кратності n, отже:

f (l) (0)=0, l=1,2,…, n-2

f(n-1) (0) = (-1) mn (m!) n

f (l) (k)=0, l=0,1, …, n-1; k=1,2,…, m

Розглянемо g( x)=x n-1 (x-1) n (x-2) n … (x-m) n - багаточлен, схожий на f(x), але з цілими коефіцієнтами. По лемі 1 коефіцієнти g ( l) (x) - цілі числа, що діляться на l!, отже, при l< n у похідній g ( l) (x) всі коефіцієнти - цілі числа, що діляться на n, т.к. g ( l) (x) Виходить з g (l) ( x) поділом тільки на ( n-1)! Саме тому

де А- відповідне ціле число, а над знаком суми стоїть число ( m+1) n-1 - ступінь многочлена f(x) і, хоч підсумовувати можна і до нескінченності, ненульових похідних у f(x) саме стільки.

Аналогічно

де B k- відповідні цілі числа, k = 1, 2,…, m.

Нехай тепер nN - будь-яке ціле число, що задовольняє умовам:

Знову розглянемо рівність (13):

У сумі зліва всі доданки - цілі числа, причому a k F(k) при k = 1, 2,…, mділиться на n, а a 0 F(0) на nне ділиться. Це означає, що вся сума, будучи цілим числом, nне ділиться, тобто. не є нулем. Отже,

Оцінимо тепер праву частину рівності (13). Зрозуміло, що на відрізку і тому на цьому відрізку

де константи C 0 та C 1 не залежать від n. Відомо що

тому, за досить великих n, права частина (13) менше одиниці і рівність (13) неможлива.

У 1882 році Ліндеман довів теорему про трансцендентність ступеня числа eз ненульовим показником алгебри, тим самим довівши трансцендентність числа.

Теорема 8 (Ліндеман) [3, стор. 58]. Якщо - число алгебри і, то число - трансцендентно.

Теорема Ліндемана дозволяє будувати трансцендентні числа.

Приклади:

З теореми Ліндемана випливає, наприклад, що число ln 2 – трансцендентно, адже 2=e ln 2а число 2 - алгебраїчне і якби число ln 2 було алгебраїчним, то за лемою число 2 було трансцендентним числом.

Взагалі, для будь-якого алгебраїчного, lnза теоремою Ліндемана є трансцендентним. Якщо ж трансцендентне, то lnне обов'язково трансцендентне число, наприклад ln e =1

Виявляється, ми ще в середній школі бачили масу трансцендентних чисел. ln 2, ln 3, ln() і т.п.

Зазначимо також, що трансцендентними є числа виду для будь-якого ненульового алгебраїчного числа (за теоремою Ліндемана - Вейєрштрасса, яка є узагальненням теореми Ліндемана). Наприклад, трансцендентними є числа, .

Якщо ж трансцендентно, то не обов'язково трансцендентні числа, наприклад,

Доказ теореми Ліндемана можна провести за допомогою тотожності Ерміта, аналогічно до того, як була доведена трансцендентність, з деякими ускладненнями в перетвореннях. Саме так її і доводив сам Ліндеман. А можна цю теорему доводити іншим шляхом, оскільки це робив радянський математик А.О. Гельфонд, ідеї якого привели в середині ХХ століття до вирішення Сьомої проблеми Гільберта.

У 1900 році на II Міжнародному конгресі математиків Гільберт серед сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо, вірно, чи числа виду, де, - алгебраїчні і - ірраціонально є трансцендентними числами?» . Ця проблема була вирішена в 1934 Гельфондом, який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.

Доказ трансцендентності значень показової функції, запропонований Гельфондом, ґрунтується на застосуванні інтерполяційних методів.

Приклади:

1) На підставі теореми Гельфонду можна довести, наприклад, що число є трансцендентним, оскільки, якби воно було ірраціональним алгебри, то, оскільки то число 19 за теоремою Гельфонду було б трансцендентним, що неправда.

2) Нехай aі b- Ірраціональні числа. Чи може число a bбути раціональним?

Звичайно, з використанням сьомої проблеми Гільберта це завдання вирішити неважко. Справді, число – трансцендентне (оскільки – алгебраїчне ірраціональне число). Але всі раціональні числа є алгебраїчними, тому ірраціональне. З іншого боку,

Отже, ми просто надали такі числа: , Однак це завдання може бути вирішено і без будь-яких посилань на результат Гельфонду. Можна розмірковувати так: розглянемо число. Якщо це число раціональне, то завдання вирішено, такі aі bзнайдено. Якщо ж воно ірраціональне, то візьмемо і.

Отже, ми показали дві пари чисел aі b, таких що одна з цих пар задовольняє поставленій умові, але йому невідомо, яка саме. Але пред'явити таку пару і не потрібно! Таким чином, це рішення в певному сенсі є теоремою існування.

Ілля Щуров

Математик Ілля Щуров про десяткові дроби, трансцендентність та ірраціональність числа Пі.

Як «одиниця» допомогла побудувати перші міста та великі імперії? Як надихала видатні уми людства? Яку роль у появі грошей вона відіграла? Як «одиниця» поєдналася з нулем, щоб правити сучасним світом? Історія одиниці нерозривно пов'язані з історією європейської цивілізації. Террі Джонс вирушає в гумористичну подорож з метою зібрати воєдино дивовижну історію нашого найпростішого числа. За допомогою комп'ютерної графіки в цій програмі одиниця оживає в різних іспостасях. З історії одиниці стає зрозуміло, звідки з'явилися сучасні числа, і як винахід нуля врятував від необхідності сьогодні використовувати римські цифри.

Жак Сезіано

Ми знаємо про Діофанта небагато. Здається, він жив у Олександрії. Ніхто з грецьких математиків не згадує його до IV століття, тому він, ймовірно, жив у середині III століття. Найголовніша робота Діофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), відбулася на початку з 13 «книг» (βιβλία), тобто розділах. Ми сьогодні маємо 10 із них, а саме: 6 у грецькому тексті та 4 інших у середньовічному арабському перекладі, місце яких у середині грецьких книг: книги I-III по-грецьки, IV-VII по-арабськи, VIII-X по-грецьки . «Арифметика» Діофанта насамперед зібрання завдань, лише близько 260. Теорії, правду кажучи, немає; є лише загальні інструкції у вступі книги, і приватні зауваження у деяких завданнях, коли потрібно. "Арифметика" вже має риси алгебраїчного трактату. Спочатку Діофант користується різними знаками, щоб висловлювати невідоме та його ступеня, також деякі обчислення; як і всі алгебраїчні символіки середньовіччя, його символіка походить від математичних слів. Потім, Діофант пояснює, як вирішити задачу методом алгебри. Але завдання Діофанта не алгебраїчні у звичному значенні, тому що майже всі зводяться до вирішення невизначеного рівняння або систем таких рівнянь.

Георгій Шабат

Програма курсу: Історія. Перші оцінки. Проблема сумісності довжини кола з її діаметром. Нескінченні ряди, твори та інші вирази для π. Збіжність та її якість. Вирази, що містять π. Послідовності, що швидко сходяться до π. Сучасні методи обчислення, використання комп'ютерів. Про ірраціональність та трансцендентність π та деяких інших чисел. Попередніх знань для розуміння курсу не потрібно.

Вчені з Оксфордського університету заявили, що раннім відомим вживанням цифри 0 для позначення відсутності значення розряду (як у числі 101) слід вважати текст індійського манускрипта Бахшалі.

Василь Піспанен

Хто не грав у дитинстві у гру "назви найбільше число"? Мільйони, трильйони та інші "-они" уявити в думці вже складно, але ми з вами спробуємо розібрати "мастодонта" в математиці - число Грема.

Віктор Клепцин

Справжнє число можна як завгодно точно наблизити раціональними. А наскільки добрим може бути таке наближення – порівняно з його складністю? Наприклад, обірвавши десятковий запис числа x на k-й цифрі після коми, ми отримаємо наближення x≈a/10^k з помилкою порядку 1/10^k. І взагалі, зафіксувавши знаменник q у дробі, що наближає, ми точно можемо отримати наближення з помилкою порядку 1/q. А чи можна зробити краще? Знайоме всім наближення π≈22/7 дає помилку порядку 1/1000 – тобто явно краще, ніж можна було б очікувати. А чому? Чи нам пощастило, що у π таке наближення є? Виявляється, що для будь-якого ірраціонального числа є безліч дробів p/q, що наближають його краще, ніж 1/q^2. Це стверджує теорема Діріхле – і ми почнемо курс із її трохи нестандартного доказу.

У 1980 році Книга рекордів Гіннесса повторила твердження Гарднера, ще більше підігрівши інтерес публіки до цього числа. Число Грехема в неймовірну кількість разів більше, ніж інші добре відомі великі числа, такі, як гугол, гуголплекс і навіть більше, ніж число Скьюза і Мозера. Насправді весь спостерігається всесвіт занадто мала у тому, щоб умістити у собі звичайну десяткову запис числа Грехема.

Дмитро Аносов

Лекції читає Аносов Дмитро Вікторович, доктор фізико-математичних наук, професор, академік РАН. Літня школа "Сучасна математика", м. Дубна. 16-18 липня 2002 р.

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий ряд не має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, оскільки більшість із них задовольняються іменами, складеними з менших чисел. Зрозуміло, що в кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільше. Але як воно називається і чому воно рівне? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заразом дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.