Допомога по Теле2, тарифи, питання

Історія натуральних чисел почалася ще за первісних часів.З давніх-давен люди вважали предмети. Наприклад, у торгівлі потрібен був рахунок товару або у будівництві рахунок матеріалу. Та навіть у побуті теж доводилося рахувати речі, продукти, худобу. Спочатку числа використовувалися лише підрахунку у житті, практично, але надалі у розвитку математики стали частиною науки.

Натуральні числа - Це числа які ми використовуємо при рахунку предметів.

Наприклад: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нуль не відноситься до натуральних чисел.

Усі натуральні числа або назвемо множину натуральних чисел позначається символом N.

Таблиця натуральних чисел.

Натуральний ряд.

Натуральні числа, записані поспіль у порядку зростання, утворюють натуральний рядабо ряд натуральних чисел.

Властивості натурального ряду:

• Найменше натуральне число – одиниця.
• У натурального ряду таке число більше попереднього на одиницю. (1, 2, 3, …) Три точки чи трикрапки ставляться у разі, якщо закінчити послідовність чисел неможливо.
• Натуральний ряд немає найбільшого числа, він нескінченний.

Приклад №1:
Напишіть перші 5 натуральних числа.
Рішення:
Натуральні числа починаються з одиниці.
1, 2, 3, 4, 5

Приклад №2:
Нуль є натуральним числом?
Відповідь: ні.

Приклад №3:
Яке перше число у натуральному ряду?
Відповідь: натуральний ряд починається з одиниці.

Приклад №4:
Яке останнє число у натуральному ряді? Назвіть найбільше натуральне число?
Відповідь: Натуральний ряд починається з одиниці. Кожне наступне число більше за попереднє на одиницю, тому останнього числа не існує. Найбільшого числа немає.

Приклад №5:
Чи має одиниця в натуральному ряду попереднє число?
Відповідь: ні, тому що одиниця є першим числом у натуральному ряду.

Приклад №6:
Назвіть таке число в натуральному ряду за числами: а)5, б)67, в)9998.
Відповідь: а)6, б)68, в)9999.

Приклад №7:
Скільки чисел знаходиться у натуральному ряду між числами: а)1 та 5, б)14 та 19.
Рішення:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа перебувають між числами 1 та 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – чотири числа перебувають між числами 14 та 19.

Приклад №8:
Назвіть попереднє число за числом 11.
Відповідь: 10.

Приклад №9:
Які числа застосовуються за рахунку предметів?
Відповідь: натуральні числа.

Урок «Позначення натуральних чисел» є першим уроком у курсі математики п'ятого класу і є продовженням, а в деяких моментах і повторенням аналогічної теми, яка вивчалася в курсі початкової школи. Внаслідок цього учні часто не дуже уважно сприймають навчальний матеріал. Тому для досягнення максимального інтересу та концентрації уваги необхідно впроваджувати нові методи пояснення, наприклад, використовувати презентацію «Позначення натуральних чисел».

Урок починається з повторення ряду цифр, а також поняття натурального числа та його десяткового запису. Пояснено, що послідовність всіх натуральних чисел називається натуральним рядом і наведено приклад перших двадцяти його елементів. Особлива увага у ході презентації приділяється значенню цифри залежно від її місця у записі числа.Для цього розглянуто запис числа за розрядами. Використовуючи ефектну та не нав'язливу анімацію, учням продемонстровано, що позначає одна й та сама цифра залежно від того, де вона знаходиться: у розряді одиниць, у розряді десятків тощо.

Нерідко можна побачити, що, поряд з тим, що число нуль часто використовується як у повсякденному житті, так і в курсі математики, школярі відчувають труднощі, коли їм необхідно пояснити, що це за число. Для підвищення ефективності розуміння поняття про нуль наводиться приклад рахунку у футбольному матчі. Також акцентується учня на те, що 0 не відносять до натуральних чисел.

У презентації детально, з використанням прикладів, розглянуто поняття однозначних, двозначних, тризначних та чотиризначних чисел. Розглянуто записи одного мільйона та мільярда. Окрема увага приділена правильному читанню багатозначних чисел та їх розбивці на класи. Використовуючи таблицю для запису багатозначного числа із класів і розрядів, продемонстровано, що лівий клас, на відміну всіх інших, може мати менше трьох цифр.

Для того, щоб можна було перевірити результат засвоєння учнями нового матеріалу, дана розробка презентації містить перелік питань, що повністю охоплюють викладений матеріал. Це дозволить вчителеві максимально швидко зреагувати на моменти, що залишилися не до кінця зрозумілими школярам. внаслідок вивчення даної теми.

Оскільки презентація «Позначення натуральних чисел» викладає озаглавлену тему на зрозумілому та доступному рівні, виклад навчального матеріалу логічно та послідовно, то вона може бути успішно використана не лише під час класно-урочного пояснення цієї теми, а й за самостійного чи дистанційного навчання школярами.

Найпростіше число - це натуральне число. Їх використовують у повсякденному життідля підрахунку предметів, тобто. для обчислення їх кількості та порядку.

Що таке натуральне число: натуральними числаминазивають числа, які використовуються для підрахунку предметів чи вказівки порядкового номера будь-якого предмета з усіх одноріднихпредметів.

Натуральні числа- Це числа, починаючи з одиниці. Вони утворюються природним чином.Наприклад, 1,2,3,4,5... -перші натуральні числа.

Найменше натуральне число- один. Найбільшого натурального числа немає. При рахунку число нуль не використовують, тому нуль натуральне число.

Натуральний ряд чисел- Це послідовність всіх натуральних чисел. Запис натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

У натуральному ряду кожне число більше за попереднє на одиницю.

Скільки чисел у натуральному ряду? Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа немає.

Десяткової тому що 10 одиниць будь-якого розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної так як значення цифри залежить від місця у числі, тобто. від розряду, де її записано.

Класи натуральних чисел.

Будь-яке натуральне число можна написати за допомогою 10-ти арабських цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для читання натуральних чисел їх розбивають починаючи праворуч на групи по 3 цифри в кожній. 3 перші цифри справа – це клас одиниць, 3 наступні – це клас тисяч, далі класи мільйонів, мільярдів татак далі. Кожна з цифр класу називається йогорозрядом.

Порівняння натуральних чисел.

З 2-х натуральних чисел менше число, яке за рахунку називається раніше. Наприклад, число 7 менше 11 (Записують так:7 < 11 ). Коли одне число більше за друге, це записують так:386 > 99 .

Таблиця розрядів та класів чисел.

Місце нуля

Існують два підходи до визначення натуральних чисел:

• підрахунку (нумерації)предметів ( перший, другий, третій, четвертий, п'ятий…);
• натуральні числа - числа, що виникають при позначення кількостіпредметів ( 0 предметів, 1 предмет, 2 предмети, 3 предмети, 4 предмети, 5 предметів…).

У першому випадку ряд натуральних чисел починається з одиниці, у другому – з нуля. Не існує єдиної більшості математиків думки про перевагу першого чи другого підходу (тобто вважати чи нуль натуральним числом чи ні). У переважній більшості російських джерел традиційно прийнято перший підхід. Другий підхід, наприклад, застосовується у працях Ніколя Бурбаки, де натуральні числа визначаються як потужності кінцевих множин. Наявність нуля полегшує формулювання та доказ багатьох теорем арифметики натуральних чисел, тому за першого підходу вводиться корисне поняття розширеного натурального ряду, Що включає нуль.

Безліч всіх натуральних чисел прийнято позначати символом. Міжнародні стандарти ISO 31-11(1992 рік) та ISO 80000-2(2009 рік) встановлюють такі позначення:

У російських джерелах цей стандарт поки не дотримується - у них символ N (\displaystyle \mathbb (N) )позначає натуральні числа без нуля, а розширений натуральний ряд позначається N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))і т.д.

Аксіоми, що дозволяють визначити безліч натуральних чисел

Аксіоми Пеано для натуральних чисел

Безліч N (\displaystyle \mathbb (N) )називатимемо безліччю натуральних чисел, якщо зафіксовано певний елемент 1 (одиниця), функція S (\displaystyle S) c областю визначення N (\displaystyle \mathbb (N) ), звана функцією слідування ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), та виконані такі умови:

1. елемент одиниця належить цій множині ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), тобто є натуральним числом;
2. число, наступне за натуральним, також є натуральним (якщо , то S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )або, у більш короткому записі, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. одиниця не слідує ні за яким натуральним числом ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. якщо натуральне число a (\displaystyle a)безпосередньо слідує як за натуральним числом b (\displaystyle b), так і за натуральним числом c (\displaystyle c), то b (\displaystyle b)і c (\displaystyle c)- це те саме число (якщо S(b) = a (\displaystyle S(b)=a)і S(c) = a (\displaystyle S(c)=a), то b = c (\displaystyle b = c));
5. (аксіома індукції) якщо будь-яка пропозиція (висловлювання) P (\displaystyle P)доведено для натурального числа n = 1 (\displaystyle n=1) (база індукції) і якщо з припущення, що воно правильне для іншого натурального числа n (\displaystyle n), Випливає, що воно правильне для наступного n (\displaystyle n)натурального числа ( індукційне припущення), то ця пропозиція правильна для всіх натуральних чисел (нехай P(n) (\displaystyle P(n))- деякий одномісний (унарний) предикат, параметром якого є натуральне число n (\displaystyle n). Тоді, якщо P (1) (\displaystyle P(1))і ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), то ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Перераховані аксіоми відображають наше інтуїтивне уявлення про натуральний ряд і числової лінії.

Принциповим фактом і те, що це аксіоми насправді однозначно визначають натуральні числа (категоричність системи аксіом Пеано). А саме, можна довести (див. , а також короткий доказ), що якщо (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))і (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))))- дві моделі для системи аксіом Пеано, то вони необхідні ізоморфні, тобто існує оборотне відображення ( бієкція) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))така, що f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))і f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))для всіх x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Тому, достатньо зафіксувати як N (\displaystyle \mathbb (N) )якусь одну конкретну модель безлічі натуральних чисел.

Іноді, особливо в іноземній та перекладній літературі, у першій та третій аксіомах Пеано замінюють одиницю на нуль. І тут нуль вважається натуральним числом. При визначенні через класи рівносильних множин нуль є натуральним числом за визначенням. Спеціально відкидати його було б неприродно. Крім того, це значно ускладнило б подальшу побудову та застосування теорії, так як у більшості конструкцій нуль, як і порожня множина, не є чимось відокремленим. Іншою перевагою вважати нуль натуральним числом є те, що при цьому N (\displaystyle \mathbb (N) )утворює моноїд. Як згадувалося , у російській літературі зазвичай нуль виключений із числа натуральних чисел.

Теоретико-множинне визначення натуральних чисел (визначення Фреге – Рассела)

Таким чином, і натуральні числа вводяться, виходячи з поняття множини, за двома правилами:

Числа, задані таким чином, називаються ординальними.

Опишемо кілька перших ординальних чисел та відповідних їм натуральних чисел:

Величина безлічі натуральних чисел

Величина нескінченної множини характеризується поняттям « потужність множини», яке є узагальненням числа елементів кінцевої множини на нескінченні множини. За величиною (тобто потужності) безліч натуральних чисел більше будь-якої кінцевої множини, але менше будь-якого інтервалу, наприклад, інтервалу (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Безліч натуральних чисел за потужністю така сама, як безліч раціональних чисел. Безліч такої ж потужності, як безліч натуральних чисел, називається зліченим безліччю. Так, безліч членів будь-якої послідовностісчётно. У той же час існує послідовність, в яку кожне натуральне число входить нескінченне число разів, оскільки безліч натуральних чисел можна представити як лічильне об'єднаннянепересічних лічильних множин (наприклад, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Операції над натуральними числами

До замкнутим операціям(Операціям, що не виводять результат з безлічі натуральних чисел) над натуральними числами відносяться наступні арифметичні операції:

Додатково розглядають ще дві операції (з формальної точки зору не є операціями над натуральними числами, тому що не визначені для всіхпар чисел (іноді існують, іноді немає):

Слід зауважити, що операції складання та множення є основними. Зокрема, кільце цілих чиселвизначається саме через бінарні операціїдодавання та множення.

Основні властивості

• Комутативністьдодавання:

• Комутативність множення:

• Асоціативністьдодавання:

• Асоціативність множення:

• Дистрибутивністьмноження щодо складання:

Алгебраїчна структура

Додавання перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупуз одиницею, роль одиниці виконує 0 . Множення також перетворює безліч натуральних чисел на напівгрупу з одиницею, причому одиничним елементом є 1 . За допомогою замиканнящодо операцій складання-віднімання та множення-розподілу виходять групи цілих чисел Z (\displaystyle \mathbb (Z) )та раціональних позитивних чисел Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))відповідно.