Система числення є. Що таке система числення? Однорідні позиційні системи числення

Система зчислення - це спосіб зображення чисел та відповідні йому правила дії над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна поділити на непозиційніі позиційні. Знаки, що використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

У непозиційних системах числення значення цифри не залежить від положення в числі.

Прикладом непозиційної системи числення є римська система (римські цифри). У римській системі як цифри використовуються латинські літери:

приклад 1.Число CCXXXII складається з двох сотень, трьох десятків і двох одиниць і дорівнює двомстам тридцяти двом.

У римських числах цифри записуються зліва направо порядку спадання. У разі їх значення складаються. Якщо ж ліворуч записана менша цифра, а праворуч - більша, їх значення віднімаються.

приклад 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 - 1 = 4.

приклад 3.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою позиційної системи числення.

Система числення, що застосовується в сучасній математиці, є позиційною десятковою системою. Її основа дорівнює десяти, т.к. запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти з прикладу будь-якого багатозначного числа. Наприклад, серед 333 перша трійка означає три сотні, друга - три десятки, третя - три одиниці.

Для запису чисел у позиційній системі з основою nпотрібно мати алфавітз nцифр. Зазвичай для цього при n < 10 используют nперших арабських цифр, а при n> 10 до 10 арабським цифрам додають літери. Ось приклади алфавітів кількох систем:

Якщо потрібно вказати основу системи, до якої належить число, воно приписується нижнім індексом до цього числа. Наприклад:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

У системі числення з основою q (q-ічна система числення) одиницями розрядів служать послідовні ступені числа q. qодиниць якогось розряду утворюють одиницю наступного розряду. Для запису числа в q-Ічної системи числення потрібно qрізних знаків (цифр), що зображують числа 0, 1, ..., q- 1. Запис числа qв q-Ічної системи числення має вигляд 10.

Розгорнута форма запису числа

Нехай Aq- Число в системі з основою q, аi -цифри даної системи числення, присутні у записі числа A, n+ 1 - число розрядів цілої частини числа m- Число розрядів дробової частини числа:

Розгорнутою формою числа Аназивається запис у вигляді:

Наприклад, для десяткового числа:

У наступних прикладах наводиться розгорнута форма шістнадцяткового та двійкового чисел:

У будь-якій системі числення її основа записується як 10.

Якщо всі складові в розгорнутій формі недесяткового числа подати в десятковій системі і обчислити отриманий вираз за правилами десяткової арифметики, то вийде число в десятковій системі, що дорівнює цьому. За цим принципом проводиться переведення з десяткової системи до десяткової. Наприклад, переведення в десяткову систему написаних вище чисел проводиться так:

Переведення десяткових чисел до інших систем числення

Переклад цілих чисел

Ціле десяткове число Xпотрібно перевести в систему з основою q: X = (a n a n-1 …a 1 a 0) q. Потрібно знайти значні цифри числа: . Представимо число у розгорнутій формі та здійснимо тотожне перетворення:

Звідси видно, що a 0 є залишок від поділу числа Xна число q. Вираз у дужках - ціле приватне від цього поділу. Позначимо його за X 1. Виконуючи аналогічні перетворення, отримаємо:

Отже, a 1 є залишок від розподілу X 1 на q. Продовжуючи поділ із залишком, отримуватимемо послідовність цифр шуканого числа. Цифра anу цьому ланцюжку поділів буде останнім приватним, меншим q.

Сформулюємо отримане правило: для того щоб перевести ціле десяткове число в систему числення з іншою основою, потрібно:

1) підставу нової системи числення висловити у десятковій системі числення і всі наступні дії проводити за правилами десяткової арифметики;

2) послідовно виконувати розподіл даного числа та одержуваних неповних приватних на підставу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо неповне приватне, менше дільника;

3) отримані залишки, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

4) скласти число у новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього приватного.

приклад 1.Перевести число 37 10 в двійкову систему.

Для позначення цифр у записі числа використовуємо символіку: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Звідси: 37 10 = l00l0l 2

приклад 2.Перекласти десяткове число 315 у вісімкову та шістнадцяткову системи:

Звідси випливає: 315 10 = 473 8 = 13B 16 . Нагадаємо, що 11 10 = B 16 .

Десятковий дріб X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a–m+1 a-m) q. Потрібно знайти значні цифри числа: a –1 ,a –2 , …, a-m. Представимо число у розгорнутій формі та помножимо його на q:

Звідси видно, що a–1 Xна число q. Позначимо за X 1 дробову частину твору та помножимо її на q:

Отже, a –2 є ціла частина твору X 1 на число q. Продовжуючи множення, отримуватимемо послідовність цифр. Тепер сформулюємо правило: для того щоб перевести десятковий дріб у систему числення з іншою основою, потрібно:

1) послідовно множити дане число та одержувані дробові частини творів на основу нової системи доти, поки дробова частина твору не стане рівною нулю або не буде досягнуто необхідної точності представлення числа в новій системі числення;

2) отримані цілі частини творів, що є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення;

3) скласти дробову частину числа у новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.

приклад 3.Перевести десятковий дріб 0,1875 у двійковий, вісімковий та шістнадцятковий системи.

Тут у лівому стовпці знаходиться ціла частина чисел, а правому - дробова.

Звідси: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Переклад змішаних чисел, Що містять цілу та дробову частини, здійснюється у два етапи. Ціла та дробова частини вихідного числа перекладаються окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковому записі числа в новій системі числення ціла частина відокремлюється від дробової коми (точкою).

Двійкові обчислення

Згідно з принципом Джона фон Неймана, комп'ютер здійснює обчислення в двійковій системі числення. У межах базового курсу досить обмежитися розглядом обчислень із цілими двійковими числами. Для виконання обчислень із багатозначними числами необхідно знати правила додавання та правила множення однозначних чисел. Ось ці правила:

Принцип перестановки складання та множення працює у всіх системах числення. Прийоми виконання обчислень з багатозначними числами у двійковій системі аналогічні десятковій. Інакше висловлюючись, процедури складання, віднімання і множення “стовпчиком” і розподілу “куточком” у двійковій системі виробляються як і, як й у десятковій.

Розглянемо правила віднімання та розподілу двійкових чисел. Операція віднімання є зворотною по відношенню до додавання. З наведеної вище таблиці додавання випливають правила віднімання:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ось приклад віднімання багатозначних чисел:

Отриманий результат можна перевірити додаванням різниці з віднімається. Повинне вийти зменшуване число.

Поділ - операція зворотна до множення. У будь-якій системі числення ділити на 0 не можна. Результат поділу на 1 дорівнює ділимому. Розподіл двійкового числа на 10 2 веде до переміщення коми на один розряд вліво, подібно до десяткового поділу на десять. Наприклад:

Поділ на 100 зміщує кому на 2 розряди вліво і т.д. У базовому курсі можна розглядати складні приклади поділу багатозначних двійкових чисел. Хоча здібні учні можуть впоратися з ними, зрозумівши загальні принципи.

Подання інформації, що зберігається в комп'ютерній пам'яті в її справжньому двійковому вигляді, дуже громіздко через велику кількість цифр. Йдеться про запис такої інформації на папері або виведення її на екран. Для цих цілей прийнято використовувати змішану двійково-вісімкову або двійково-шістнадцяткову системи.

Існує простий зв'язок між двійковим та шістнадцятковим уявленням числа. При переведенні числа з однієї системи в іншу шістнадцятковій цифрі відповідає чотирирозрядний двійковий код. Ця відповідність відображена у двійково-шістнадцятковій таблиці:

Двійково-шістнадцяткова таблиця

Такий зв'язок заснований на тому, що 16 = 24 і число різних чотирирозрядних комбінацій з цифр 0 і 1 дорівнює 16: від 0000 до 1111. Тому переведення чисел з шістнадцяткових у двійкові і назад проводиться шляхом формального перекодування по двійково-шістнадцятковій таблиці.

Ось приклад переведення 32-розрядного двійкового коду в 16-річну систему:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Якщо дано шістнадцяткове подання внутрішньої інформації, його легко перевести в двійковий код. Перевага шістнадцяткового уявлення полягає в тому, що воно в 4 рази коротше двійкового. Бажано, щоб учні запам'ятали двійково-шістнадцяткову таблицю. Тоді справді для них шістнадцяткове уявлення стане еквівалентним двійковому.

У двійково-вісімковій системі кожній вісімковій цифрі відповідає тріада двійкових цифр. Ця система дозволяє скоротити двійковий код утричі.

Римська система численняє непозиційною системою. У ньому для запису чисел використовуються літери латинського алфавіту. У цьому буква I завжди означає одиницю, буква - V п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, C - сто, D - п'ятсот, M - тисячу тощо. Наприклад, число 264 записується як CCLXIV. При записі чисел у римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, що до нього входять. При цьому цифри в записі числа слідують, як правило, в порядку зменшення їх значень, і не дозволяється записувати поряд більше трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з більшим значенням слідує цифра з меншим, її внесок у значення числа в цілому є негативним. Типові приклади, що ілюструють загальні правила запису чисел у римській системі числення, наведені в таблиці.

Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення

Недоліком римської системи є формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій з багатозначними числами. Через незручність і велику складність в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація розділів), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін), в декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків.

Десятичня система числення– в даний час найбільш відома та використовується. Винахід десяткової системи числення відноситься до головних здобутків людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, тим більше виникнути сучасна техніка. Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Люди звикли рахувати в десятковій системі числення, бо мають по 10 пальців на руках.

Давнє зображення десяткових цифр (рис. 1) невипадково: кожна цифра позначає число за кількістю кутів у ній. Наприклад, 0 – кутів немає, 1 – один кут, 2 – два кути і т.д. Написання десяткових цифр зазнало суттєвих змін. Форма, якою ми користуємося, встановилася у XVI столітті.

Десяткова система вперше з'явилася в Індії приблизно у VI столітті нової ери. Індійська нумерація використовувала дев'ять числових символів та нуль для позначення порожньої позиції. У ранніх індійських рукописах, що дійшли до нас, цифри записувалися у порядку - найбільш значуща цифра ставилася справа. Але незабаром стало правилом розташовувати таку цифру з лівого боку. Особливого значення надавалося нульовому символу, який вводився для позиційної системи позначень. Індійська нумерація, включаючи нуль, дійшла до нашого часу. У Європі індуські прийоми десяткової арифметики набули поширення на початку ХIII ст. завдяки роботам італійського математика Леонардо Пізанського (Фібоначчі). Європейці запозичили індійську систему числення в арабів, назвавши її арабською. Ця історично неправильна назва утримується й досі.

Десяткова система використовує десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 та 9, а також символи “+” та “–” для позначення знака числа та кому або точку для поділу цілої та дробової частин числа.

У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, її підстава - число 2. Для запису чисел у цій системі використовують лише дві цифри - 0 і 1. Всупереч поширеній помилці, двійкова система числення була придумана не інженерами-конструкторами ЕОМ, а математиками та філософами задовго до появи комп'ютерів, ще в ХVII - ХІХ століттях. Перше опубліковане обговорення двійкової системи числення належить іспанському священику Хуану Карамюелю Лобковіцу (1670). Загальну увагу до цієї системи привернула стаття німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца, опублікована в 1703 р. У ній пояснювалися двійкові операції складання, віднімання, множення та поділу. Лейбніц не рекомендував використовувати цю систему для практичних обчислень, але наголошував на її важливості для теоретичних досліджень. Згодом двійкова система числення стає добре відомою і набуває розвитку.

Вибір двійкової системи до застосування в обчислювальної техніки пояснюється лише тим, що електронні елементи - тригери, у тому числі складаються мікросхеми ЕОМ, можуть бути лише у двох робочих станах.

За допомогою двійкової системи кодування можна зафіксувати будь-які дані та знання. Це легко зрозуміти, якщо згадати принцип кодування та передачі інформації за допомогою абетки Морзе. Телеграфіст, використовуючи лише два символи цієї абетки – крапки та тире, може передати практично будь-який текст.

Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими і важко записувати і запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли знадобиться перевести назад, але всі ці трудомісткі переклади. Тому застосовуються системи числення, споріднені з двоичною - вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-терічній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі латинські літери. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.

Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення

Десяткова	Двійкова	Вісімкова	Шістнадцяткова

Калькулятор дозволяє переводити цілі та дробові числа з однієї системи числення до іншої. Підстава системи числення може бути менше 2 і більше 36 (10 цифр і 26 латинських букв все-таки). Довжина чисел не повинна перевищувати 30 символів. Використовуйте символ для введення дробових чисел. або, . Щоб перевести число з однієї системи в іншу, введіть вихідне число в перше поле, основу вихідної системи числення в друге та основу системи числення, в яку потрібно перевести число, в третє поле, після чого натисніть кнопку "Отримати запис".

Початкове число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ой системі числення.

Хочу отримати запис числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системі числення.

Отримати запис

Виконано перекладів: 3336969

Також може бути цікаво:

Калькулятор таблиці істинності. СДНФ. СКНФ. Поліном Жегалкіна

Системи числення

Системи числення поділяються на два типи: позиційніі не позиційні. Ми користуємося арабською системою, вона є позиційною, а є ще римська – вона якраз не позиційна. У позиційних системах становище цифри у числі однозначно визначає значення цього числа. Це легко зрозуміти, розглянувши на прикладі якогось числа.

Приклад 1. Візьмемо число 5921 у десятковій системі числення. Пронумеруємо число праворуч наліво починаючи з нуля:

Число 5921 можна записати в наступному вигляді: 5921 = 5000 +900 +20 +1 = 5 · 10 3 +9 · 10 2 +2 · 10 1 +1 · 10 0 . Число 10 є характеристикою, що визначає систему числення. В якості ступенів взято значення позиції даного числа.

Приклад 2. Розглянемо дійсне десяткове число 1234.567. Пронумеруємо його починаючи з нульової позиції числа від десяткової точки вліво та вправо:

Число 1234.567 можна записати в наступному вигляді: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Найбільш простим способом переведення числа з однієї системи числення в іншу є переклад числа спочатку в десяткову систему числення, а потім, отриманого результату в необхідну систему числення.

Переказ чисел з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення числа з будь-якої системи числення до десяткової достатньо пронумерувати його розряди, починаючи з нульового (розряд зліва від десяткової точки) аналогічно прикладам 1 або 2.

1. Перевести число 1001101.1101 2 в десяткову систему числення.
Рішення: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16 +2 +1 +0.5 +0.25 +0.0625 = 19.8125 10
Відповідь: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Перевести число E8F.2D 16 в десяткову систему числення.
Рішення: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Відповідь: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Переклад чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення

Для переведення чисел із десяткової системи числення в іншу систему числення цілу та дробову частини числа потрібно переводити окремо.

Переклад цілої частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Ціла частина переводиться з десяткової системи числення в іншу систему числення за допомогою послідовного поділу цілої частини числа на основу системи числення до отримання цілого залишку, меншої основи системи числення. Результатом перекладу буде запис із залишків, починаючи з останнього.

3. Перевести число 273 10 у восьмирічну систему числення.
Рішення: 273/8 = 34 і залишок 1, 34/8 = 4 і залишок 2, 4 менший за 8, тому обчислення завершені. Запис із залишків матиме такий вигляд: 421
Перевірка: 4 · 8 2 +2 · 8 1 +1 · 8 0 = 256 +16 +1 = 273 = 273, результат збігся. Отже переклад виконано правильно.
Відповідь: 273 10 = 421 8

Розглянемо переведення правильних десяткових дробів у різні системи числення.

Переведення дробової частини числа з десяткової системи числення до іншої системи числення

Нагадаємо, правильним десятковим дробом називається речове число з нульовою цілою частиною. Щоб перевести таке число в систему числення з основою N потрібно послідовно множити число на N до тих пір, поки дробова частина не обнулиться або не буде отримана необхідна кількість розрядів. Якщо при множенні виходить число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина далі не враховується, оскільки послідовно заноситься до результату.

4. Перевести число 0.125 10 у двійкову систему числення.
Рішення: 0.125·2 = 0.25 (0 - ціла частина, яка стане першою цифрою результату), 0.25·2 = 0.5 (0 - друга цифра результату), 0.5·2 = 1.0 (1 - третя цифра результату, оскільки дробова частина дорівнює нулю , то переклад завершено).
Відповідь: 0.125 10 = 0.001 2

3.1. Основні поняття систем числення

3.2. Види систем числення

3.3. Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

3.4. Ілюстрований допоміжний матеріал

3.5. Тестування

3.6. Контрольні питання

Різні народи за різних часів використовували різні системи числення. Сліди давніх систем рахунку зустрічаються і сьогодні у культурі багатьох народів. До стародавнього Вавилона сходить розподіл години на 60 хвилин і кута на 360 градусів. До Стародавнього Риму - традиція записувати в римському записі числа I, II, III і т. д. До англосаксів - рахунок дюжинами: у році 12 місяців, у футі 12 дюймів, добу поділяються на 2 періоди по 12 годин.

За сучасними даними, розвинені системи нумерації вперше з'явилися у Стародавньому Єгипті. Для запису чисел єгиптяни застосовували ієрогліфи один, десять, сто, тисяча тощо. Всі інші числа записувалися за допомогою цих ієрогліфів та операції складання. Недоліки цієї системи - неможливість запису великих чисел та громіздкість.

Зрештою, найпопулярнішою системою числення виявилася десяткова система. Десятична система числення прийшла з Індії, де вона з'явилася не пізніше VI ст. н. е. У ній всього 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, але інформацію несе не лише цифра, а й місце позиція, на якій вона стоїть. У числі 444 три однакові цифри позначають кількість і одиниць, і десятків, і сотень. А ось в числі 400 перша цифра позначає число сотень, два 0 власними силами внесок у число не дають, а потрібні лише для вказівки позиції цифри 4.

3.1. Основні поняття систем числення

Система зчислення- це сукупність правил та прийомів запису чисел за допомогою набору цифрових знаків. Кількість цифр, необхідних для запису числа в системі, називають основою системи числення. Основа системи записується в праворуч числа в нижньому індексі: ;; і т.д.

Розрізняють два типи систем числення:

позиційніколи значення кожної цифри числа визначається її позицією в записі числа;

непозиційні, коли значення цифри в числі не залежить від місця в записі числа.

Прикладом непозиційної системи числення є римська: числа IX, IV, XV тощо.

Прикладом позиційної системи числення є десяткова система, що використовується повсякденно.

Будь-яке ціле число у позиційній системі можна записати у формі багаточлена:

де S - основа системи числення;

Цифри числа, записаного у цій системі числення;

n – кількість розрядів числа.

приклад.Число запишеться у формі багаточлена наступним чином :

3.2. Види систем числення

Таблиця 2. Запис чисел у римській системі числення

Двійкова система зручна для комп'ютера, але незручна для людини: числа виходять довгими і важко записувати і запам'ятовувати. Звичайно, можна перевести число в десяткову систему і записувати в такому вигляді, а потім, коли знадобиться перевести назад, але всі ці трудомісткі переклади. Тому застосовуються системи числення, споріднені з двоичною - вісімкова та шістнадцяткова. Для запису чисел у цих системах потрібно відповідно 8 та 16 цифр. У 16-теричній перші 10 цифр загальні, а далі використовують великі латинські літери. Шістнадцяткова цифра A відповідає десятковому числу 10, шістнадцяткова B – десятковому числу 11 і т. д. Використання цих систем пояснюється тим, що перехід до запису числа в будь-якій із цих систем від його двійкового запису дуже простий. Нижче наведено таблицю відповідності чисел, записаних у різних системах.

Таблиця 3. Відповідність чисел, записаних у різних системах числення

Десяткова	Двійкова	Вісімкова	Шістнадцяткова

У цифрових пристроях доводиться мати справу з різними видами інформації. Це в чистому вигляді двійкова інформація, така як увімкнений прилад або вимкнений, справний пристрій чи ні. Інформація може бути представлена у вигляді текстів, і тоді доводиться букви алфавіту кодувати за допомогою бінарних рівнів сигналу. Досить часто інформація може являти собою числа. Числа можуть бути представлені в різних системах числення. Форма записи у яких чисел істотно різниться між собою, тому, як перейти до особливостям представлення чисел в цифровий техніці, розглянемо їх запис різних системах числення.

Системи числення

Почнемо з визначення системи числення. Система числення – це сукупність правил запису чисел цифровими знаками. Системи числення бувають позиційні та непозиційні. Нині й у техніці й у побуті широко використовуються як позиційні, і непозиційні системи числення. Розглянемо спочатку приклади непозиційних систем числення.

Як класичний приклад непозиційної системи числення зазвичай наводять римську форму запису чисел. Проте це не єдина непозиційна система числення, яка використовується в даний час.

Зараз, як і в давнину, для запису числа використовуються так звані “палички”. Ця форма запису чисел найбільш зрозуміла і вимагає для запису числа лише один символ. Число утворюється сумою цих “паличок”. Проте за запису великих чисел виникають незручності. Число виходить громіздким і його важко читати.

У наступному варіанті непозиційної системи числення почали використовувати кілька символів (цифр). Кожна цифра позначає різну кількість одиниць. Кінцеве число так само як і в попередньому варіанті утворюється сумою цифр. Найбільш яскравий варіант використання такої системи числення – це грошові відносини. Ми з ними зіштовхуємось щодня. Тут нікому не спадає на думку, що сума, яку ми викладаємо за продукти, може залежати від того, в якому порядку ми розташуємо монети на столі! Номінал монети чи банкноти не залежить від того, в якому порядку вона була вийнята з гаманця. Це класичний приклад непозиційної системи числення.

Проте чим більше потрібно подати в такій системі числення, тим більша кількість цифр потрібна для цього. Позиційні системи числення були придумані нещодавно для того, щоб заощадити кількість цифр, що використовується для запису чисел.

Значення цифри у позиційній системі числення залежить від її позиції у записуваному числі. У позиційній системі числення з'являються два дуже важливі поняття - основа системи числення та вага цифри. Справа в тому, що в позиційній системі числення число подається у вигляді формули розкладання:

A p =a n p n +a n-1 p n-1 +...+a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +... +a -k p -k

де p - основа системи числення
p i - вага одиниці даного розряду
a i - цифри, дозволені у цій системі числення.

При цьому кількість цифр у системі числення залежить від основи. Кількість цифр дорівнює основі системи числення. У двійковій системі числення дві цифри, у десятковій – десять, а у шістнадцятковій – шістнадцять. Число в будь-якій позиційній системі числення записуються у вигляді послідовності цифр:

A = n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 ,a -1 a -2 ...a -k ,

де ai – цифри даної системи числення, а цифра, що відповідає одиницям, визначається за становищем десяткової коми (або десяткової точки в англомовних країнах). Кожна цифра, яка використана в записі числа, називається розрядом.

Які ж системи числення застосовуються нині? Перша відповідь, на яку я чекаю – це десяткова система числення. А ще? Так, так не дивуйтесь! Ми широко використовуємо та інші системи числення! Достатньо подивитися собі на ліву руку. Там ми побачимо годинник. Скільки хвилин міститься за годину? Шістдесят! Скільки секунд міститься за хвилину? Шістдесят! Наявні ознаки шістдесяткової системи числення. Це успадкування давньої вавілонської системи числення, яку разом із компасом та годинником європейці запозичували від арабів.

А ще приклади? Та скільки завгодно! Картопля компаса ділиться на вісім румбів. Чим не вісімкова система числення? А чи давно у Росії відмовилися від півшок (чверть копійки) чи грошей (половина копійки)? А таке значення монети – дві копійки! Чим не двійкова система числення?

Розглянемо докладніше системи числення, які найчастіше використовуються в цифровій техніці.

Десяткова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює десяти. У цій системі числення використовується десять цифр. В даний час для позначення цих цифр використовуються символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятковій системі числення записується як сума одиниць, десятків, сотень, тисяч і так далі. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться удесятеро. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися як десяті, соті чи тисячні частки одиниці.

Розглянемо приклад. Для того щоб показати, що в прикладі використовується саме десяткова система числення, використовуємо індекс 10. Якщо ж крім десяткової форми запису чисел не передбачається використання жодної іншої, індекс зазвичай не використовується:

A 10 = 247,56 10 = 2 * 10 2 +4 * 10 1 +7 * 10 0 +5 * 10 -1 +6 * 10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0,5 10 +0 ,06 10

Тут найстарший розряд числа називатиметься сотнями. У наведеному прикладі сотням відповідає цифра 2. Наступний розряд називатиметься десятками. У наведеному прикладі десяткам відповідає цифра 4. Наступний розряд називатиметься одиницями. У наведеному прикладі одиницям відповідає цифра 7. Десятим часткам відповідає цифра 5, а сотим – 6.

Двійкова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює двом. У цій системі числення використовується дві цифри. Щоб не вигадувати нових символів для позначення цифр, у двійковій системі числення були використані символи десяткових цифр 0 і 1. Щоб не сплутати систему числення в записі числа використовується індекс 2. Якщо ж крім двійкової форми запису чисел не передбачається використання жодної іншої, то цей індекс можна опустити.

Число в цій системі числення записується як сума одиниць, двійок, четвірок, вісімок і таке інше. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться вдвічі. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися половини, чверті або восьмі частки одиниці.

Розглянемо приклад запису двійкового числа:

A 2 =101110,101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1 * 2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 = 46,625 10

При записі в другому рядку прикладу десяткових еквівалентів двійкових розрядів ми не стали записувати ступеня двійки, які множаться на нуль, оскільки це призвело б тільки до захаращення формули і, як наслідок, утруднення розуміння матеріалу.

Недоліком двійкової системи числення можна вважати велику кількість розрядів, які потрібні для запису чисел. Як перевага цієї системи числення можна назвати простоту виконання арифметичних дій, які будуть розглянуті пізніше.

Вісімкова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює восьми. Восьмеричну систему числення можна розглядати як більш короткий варіант запису двійкових чисел, тому що число вісім є ступенем два числа. У цій системі числення використовується вісім цифр. Щоб не вигадувати нових символів для позначення цифр, у восьмеричній системі числення були використані символи десяткових цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 і 7. Для того щоб не сплутати систему числення в записі числа використовується індекс 8. Якщо ж Крім вісімкової форми запису чисел не передбачається використання жодної іншої, цей індекс можна опустити.

Число в цій системі числення записується як сума одиниць, вісімок, шістдесят четвірок і таке інше. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться у вісім разів. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися як восьмі, шістдесят четверті і так далі частини одиниці.

Розглянемо приклад запису восьмеричного числа:

A 8 = 125,46 8 = 1 * 8 2 +2 * 8 1 +5 * 8 0 +4 * 8 -1 +6 * 8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 / 64 10 = 85,59375 10

У другому рядку наведеного прикладу фактично здійснено переведення числа, записаного у вісімковій формі в десяткове подання того самого числа. Тобто ми фактично розглянули один із способів перетворення чисел із однієї форми подання на іншу.

Так як у формулі використовуються прості дроби, то можливий варіант, що точний переклад однієї форми подання в іншу стає неможливим. І тут обмежуються заданою кількістю дробових розрядів.

Шістнадцяткова система числення

Підстава цієї системи числення p дорівнює шістнадцяти. Цю систему числення вважатимуться ще одним варіантом запису двійкового числа. У цій системі числення використовується шістнадцять цифр. Тут уже не вистачає десяти цифр, тому доводиться придумати шість цифр, що бракують.

Для позначення цих цифр можна скористатися першими літерами латинського алфавіту. При записі шістнадцяткового числа літери верхнього або нижнього регістру будуть використовуватися як цифри. Як цифри у шістнадцятковій системі використовуються символи 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Оскільки тут з'являються нові цифри, наведемо таблицю відповідності цих цифр десятковим значенням.

Таблиця 6.Таблиця відповідності шістнадцяткових цифр десятковим значенням

Число в цій системі числення записується як сума одиниць, чисел шістнадцять, двісті п'ятдесят шість і таке інше. Тобто ваги сусідніх розрядів різняться у шістнадцять разів. Так само записуються і числа, менші одиниці. У цьому випадку розряди числа будуть називатися як шістнадцяті, двісті п'ятдесят шости і так далі частини одиниці.

Розглянемо приклад запису шістнадцяткового числа:

A 16 = 2AF, C4 16 = 2 * 16 2 +10 * 16 1 +15 * 16 0 +12 * 16 -1 +4 * 16 -2 = 512 10 +160 10 +15 10 +12 10 /16 10 + 4 10 / 254 10 = 687,765 625 10

З наведених прикладів запису чисел у різних системах числення цілком очевидно, що з записи однієї й тієї числа з однаковою точністю у різних системах числення потрібно різну кількість розрядів. Чим більша основа системи числення, тим менша кількість розрядів потрібна для запису того самого числа.

Література:

Разом із статтею "Системи числення" читають:

Допомога по Теле2, тарифи, питання