ارائه "نمایش اعداد طبیعی". علامت گذاری اعداد طبیعی چگونه هر عددی در سری طبیعی تشکیل می شود

تاریخچه اعداد طبیعی در دوران ابتدایی آغاز شد.از زمان های قدیم، مردم اشیا را می شمردند. مثلاً در تجارت به حساب کالا نیاز بود یا در ساخت و ساز حساب مادی. بله، حتی در زندگی روزمره نیز مجبور بودم چیزها، محصولات، دام ها را بشمارم. در ابتدا اعداد فقط برای شمارش در زندگی و در عمل مورد استفاده قرار می گرفتند، اما بعدها با پیشرفت ریاضیات بخشی از علم شدند.

اعداد صحیحاعدادی هستند که هنگام شمارش اشیا از آنها استفاده می کنیم.

به عنوان مثال: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20، ....

صفر یک عدد طبیعی نیست.

همه اعداد طبیعی یا مجموعه اعداد طبیعی را با علامت N نشان می دهند.

جدول اعداد طبیعی

ردیف طبیعی

اعداد طبیعی به ترتیب صعودی در یک ردیف نوشته می شوند سریال طبیعییا سری اعداد طبیعی

خواص سری طبیعی:

کوچکترین عدد طبیعی یک است.
در سری طبیعی، عدد بعدی بزرگتر از یک به یک است. (1، 2، 3، ...) در صورتی که تکمیل دنباله اعداد غیرممکن باشد از سه نقطه یا سه نقطه استفاده می شود.
سری طبیعی حداکثر عدد ندارد، بی نهایت است.

مثال شماره 1:
5 عدد طبیعی اول را بنویسید.
راه حل:
اعداد طبیعی با یک شروع می شوند.
1, 2, 3, 4, 5

مثال شماره 2:
آیا صفر یک عدد طبیعی است؟
پاسخ: خیر

مثال شماره 3:
اولین عدد در سری طبیعی چیست؟
پاسخ: عدد طبیعی با یک شروع می شود.

مثال شماره 4:
آخرین عدد در سری طبیعی چیست؟ بزرگترین عدد طبیعی کدام است؟
پاسخ: عدد طبیعی از یک شروع می شود. هر عدد بعدی بزرگتر از عدد قبلی است، بنابراین عدد آخر وجود ندارد. بزرگترین عدد وجود ندارد.

مثال شماره 5:
آیا واحد در سری طبیعی شماره قبلی دارد؟
پاسخ: خیر، زیرا یک عدد اول در سری طبیعی است.

مثال شماره 6:
عدد بعدی در سری طبیعی را بعد از اعداد نام ببرید: الف) 5، ب) 67، ج) 9998.
پاسخ: الف) 6، ب) 68، ج) 9999.

مثال شماره 7:
چند عدد در سری طبیعی بین اعداد وجود دارد: الف) 1 و 5، ب) 14 و 19.
راه حل:
الف) 1، 2، 3، 4، 5 - سه عدد بین اعداد 1 و 5 قرار دارند.
ب) 14، 15، 16، 17، 18، 19 - چهار عدد بین اعداد 14 و 19 قرار دارند.

مثال شماره 8:
شماره قبلی را بعد از عدد 11 نامگذاری کنید.
جواب: 10.

مثال شماره 9:
برای شمارش اجسام از چه اعدادی استفاده می شود؟
پاسخ: اعداد طبیعی.

درس "تشخیص اعداد طبیعی" اولین درس در درس ریاضی پنجم دبستان است و در ادامه و در برخی لحظات تکرار موضوع مشابهی است که در درس مطالعه شد. دبستان. در نتیجه، دانش آموزان اغلب مطالب آموزشی را با دقت درک نمی کنند. بنابراین، برای دستیابی به حداکثر علاقه و تمرکز توجه، لازم است روش های جدیدی برای توضیح معرفی شود، به عنوان مثال، از ارائه "نشان دادن اعداد طبیعی" استفاده کنید.

درس با تکرار یک سری ارقام و همچنین مفهوم یک عدد طبیعی و نماد اعشاری آن شروع می شود. توضیح داده شده است که دنباله تمام اعداد طبیعی نامیده می شود در کنار هم طبیعیو نمونه ای از بیست عنصر اول آن آورده شده است. توجه ویژه ای در طول ارائه به معنای شماره داده می شود، بسته به جای آن در نماد عددبرای این کار نوشتن یک عدد به صورت رقمی را در نظر گرفتیم. با استفاده از انیمیشن موثر و غیر نفوذی، به دانش آموزان نشان داده می شود که همان عدد بسته به جایی که در آن قرار دارد به چه معناست: در مکان واحد، در مکان ده ها و غیره.

غیر معمول نیست که می بینیم، همراه با این واقعیت که عدد صفر اغلب هم در زندگی روزمره و هم در درس ریاضیات استفاده می شود، دانش آموزان مدرسه در هنگام نیاز به توضیح اینکه چه نوع عددی است، با مشکل مواجه می شوند. برای افزایش اثربخشی درک مفهوم صفر، مثالی از امتیاز در یک مسابقه فوتبال آورده شده است. توجه دانش آموزان نیز به این نکته معطوف است که 0 به عنوان اعداد طبیعی طبقه بندی نمی شوند.

در ارائه به تفصیل با استفاده از مثال مفاهیم اعداد تک رقمی، دو رقمی، سه رقمی و چهار رقمی در نظر گرفته شده است. رکوردهای یک میلیون و یک میلیاردی در نظر گرفته شده است. توجه ویژه ای به خواندن صحیح اعداد چند رقمی و تقسیم آنها به کلاس ها می شود. با استفاده از جدولی برای نوشتن یک عدد چند رقمی با تخصیص کلاس ها و ارقام، نشان داده می شود که کلاس سمت چپ، بر خلاف بقیه، می تواند کمتر از سه رقم داشته باشد.

برای اینکه بتوان نتیجه تسلط بر مطالب جدید توسط دانش آموزان را بررسی کرد، این توسعه ارائه شامل فهرستی از سوالات است که به طور کامل مطالب ارائه شده را پوشش می دهد. این به معلم این امکان را می دهد که در سریع ترین زمان ممکن به لحظاتی که دانش آموزان به طور کامل درک نمی کنند پاسخ دهد. در نتیجه مطالعه این موضوع.

از آنجایی که ارائه "نمایش اعداد طبیعی" موضوع عنوان شده را در سطح قابل فهم و در دسترس ارائه می دهد، ارائه مطالب آموزشی منطقی و سازگار است، می توان از آن نه تنها در توضیح کلاس درس این مبحث، بلکه همچنین با موفقیت استفاده کرد. در آموزش خودآموز یا از راه دور توسط دانش آموزان.

ساده ترین عدد است عدد طبیعی. در استفاده می شوند زندگی روزمرهبرای شمارش موارد، یعنی برای محاسبه تعداد و ترتیب آنها.

عدد طبیعی چیست: اعداد طبیعیاعداد مورد استفاده را نام ببرید شمارش اقلام یا نشان دادن شماره سریال هر مورد از همه همگنموارد.

اعداد صحیحاعدادی هستند که از یک شروع می شوند. آنها به طور طبیعی هنگام شمارش تشکیل می شوند.به عنوان مثال، 1،2،3،4،5 ... -اولین اعداد طبیعی

کوچکترین عدد طبیعی- یکی بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد. هنگام شمارش عدد صفر استفاده نمی شود، بنابراین صفر یک عدد طبیعی است.

سری طبیعی اعداددنباله تمام اعداد طبیعی است. اعداد طبیعی را بنویسید:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

در اعداد طبیعی هر عدد یک عدد بیشتر از عدد قبلی است.

در سری طبیعی چند عدد وجود دارد؟ سری طبیعی بی نهایت است، بزرگترین عدد طبیعی وجود ندارد.

اعشاری، زیرا 10 واحد از هر دسته، 1 واحد از بالاترین مرتبه را تشکیل می دهند. موضعی بنابراین چگونه مقدار یک رقم به جای آن در عدد بستگی دارد، یعنی. از دسته ای که در آن ثبت شده است.

طبقات اعداد طبیعی

هر عدد طبیعی را می توان با استفاده از 10 عدد عربی نوشت:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

برای خواندن اعداد طبیعی، آنها را از سمت راست به گروه های 3 رقمی تقسیم می کنند. 3 اول اعداد سمت راست کلاس واحدها هستند، 3 عدد بعدی کلاس هزاران، سپس کلاس های میلیون ها، میلیاردها وو غیره. به هر یک از ارقام کلاس آن می گویندتخلیه.

مقایسه اعداد طبیعی

از 2 عدد طبیعی، عددی که در شمارش زودتر خوانده می شود، کمتر است. مثلا، عدد 7 کمتر 11 (اینطور نوشته شده:7 < 11 ). وقتی یک عدد بزرگتر از عدد دوم باشد به این صورت نوشته می شود:386 > 99 .

جدول ارقام و طبقات اعداد.


واحد درجه 1	رقم 1 واحد رتبه دوم ده رتبه 3 صدها
درجه 2 هزار	واحدهای رقمی 1 هزار رقم دوم ده ها هزار رتبه 3 صدها هزار
کلاس سوم میلیونی	عدد 1 میلیون واحد رقم دوم ده ها میلیون رقم سوم صدها میلیون
پایه چهارم میلیاردی	واحد رقمی یکم میلیارد رقم دوم ده ها میلیارد رقم سوم صدها میلیارد

اعداد کلاس پنجم به بالا مراجعه کنید اعداد بزرگ. واحدهای کلاس 5 - تریلیون ها، 6 کلاس - کوادریلیون‌ها، کلاس هفتم - کوئینتیلیون‌ها، کلاس هشتم - شش‌تیلیون‌ها، کلاس نهم -اپتیلیون ها

ویژگی های اساسی اعداد طبیعی

جابجایی جمع . a + b = b + a
جابجایی ضرب. ab=ba
تداعی افزودن. (a + b) + c = a + (b + c)
تداعی ضرب.
توزیع ضرب با توجه به جمع:

اقدامات روی اعداد طبیعی

4. تقسیم اعداد طبیعی یک عمل معکوس ضرب است.

اگر یک b ∙ c \u003d a، سپس

فرمول های تقسیم بندی:

a: 1 = a

a: a = 1، a ≠ 0

0: a = 0، a ≠ 0

(آ∙ ب) : c = (a:c) ∙ b

(آ∙ ب) : c = (b:c) ∙ a

عبارات عددی و برابری های عددی.

نمادی که در آن اعداد با علائم عمل به هم متصل می شوند بیان عددی.

به عنوان مثال، 10∙3+4; (60-2∙5):10.

ورودی هایی که علامت تساوی 2 عبارت عددی را به هم متصل می کند برابری های عددی. مساوات یک سمت چپ و یک سمت راست دارد.

ترتیب انجام عملیات حسابی.

جمع و تفریق اعداد عملیات درجه اول و ضرب و تقسیم عملیات درجه دوم هستند.

هنگامی که یک عبارت عددی فقط از اقدامات یک درجه تشکیل شده باشد، آنگاه آنها به صورت متوالی انجام می شونداز چپ به راست.

وقتی عبارات فقط از اعمال درجه اول و دوم تشکیل شده باشند، ابتدا اقدامات انجام می شود درجه دوم، و سپس - اقدامات درجه اول.

هنگامی که در عبارت پرانتز وجود دارد، ابتدا اقدامات داخل پرانتز انجام می شود.

برای مثال 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

مکان صفر

دو رویکرد برای تعریف اعداد طبیعی وجود دارد:

شمارش (شماره)موارد ( اولین, دومین, سوم, چهارم, پنجم…);
اعداد طبیعی - اعدادی که وقتی بوجود می آیند تعیین مقدارموارد ( 0 مورد, 1 مورد, 2 مورد, 3 مورد, 4 مورد, 5 مورد…).

در مورد اول، سری اعداد طبیعی از یک شروع می شود، در مورد دوم - از صفر. در مورد ترجیح رویکرد اول یا دوم (یعنی صفر به عنوان یک عدد طبیعی در نظر گرفته شود یا خیر) نظر مشترکی برای اکثر ریاضیدانان وجود ندارد. اکثریت قریب به اتفاق منابع روسی به طور سنتی رویکرد اول را اتخاذ کرده اند. برای مثال از رویکرد دوم در آثار استفاده شده است نیکلاس بورباکی، که در آن اعداد طبیعی به صورت تعریف می شوند قدرت مجموعه های محدود. وجود صفر فرمول و اثبات بسیاری از قضایا را در حساب اعداد طبیعی تسهیل می کند، بنابراین رویکرد اول مفهوم مفید را معرفی می کند. سریال طبیعی توسعه یافتهاز جمله صفر .

مجموعه تمام اعداد طبیعی معمولا با نماد نشان داده می شود. استانداردهای بین المللی ISO 31-11(1992) و ISO 80000-2(2009) عناوین زیر را تعیین می کند:

در منابع روسی، این استاندارد هنوز رعایت نشده است - در آنها نماد N (\displaystyle \mathbb (N))نشان دهنده اعداد طبیعی بدون صفر است و سری طبیعی گسترده نشان داده می شود N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)،\mathbb (Z) _(+)،\mathbb (Z) _(\geqslant 0))و غیره.

بدیهیاتی که امکان تعریف مجموعه اعداد طبیعی را فراهم می کند

بدیهیات Peano برای اعداد طبیعی

بسیاری از N (\displaystyle \mathbb (N))اگر عنصری ثابت باشد، مجموعه اعداد طبیعی نامیده می شود 1 (واحد)، عملکرد S (\displaystyle S)ج حوزه تعریف N (\displaystyle \mathbb (N))، که تابع جانشینی نامیده می شود ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N))) و شرایط زیر وجود دارد:

عنصر یک متعلق به این مجموعه است ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N))) یعنی یک عدد طبیعی است.
عدد پس از عدد طبیعی نیز یک عدد طبیعی است (اگر، پس S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N))یا به صورت خلاصه تر S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N)));
یکی از هیچ عدد طبیعی پیروی نمی کند ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
اگر عدد طبیعی a (\displaystyle a)بلافاصله به عنوان یک عدد طبیعی دنبال می شود b (\displaystyle b)و برای عدد طبیعی c (\displaystyle c)، سپس b (\displaystyle b)و c (\displaystyle c)همان عدد است (اگر S (b) = a (\displaystyle S(b)=a)و S (c) = a (\displaystyle S(c)=a)، سپس b = c (\displaystyle b=c));
(اصل استقرا) در صورت هر جمله (بیانیه) P (\displaystyle P)برای یک عدد طبیعی ثابت شد n = 1 (\displaystyle n=1) (پایه القایی) و اگر از این فرض که برای عدد طبیعی دیگری صادق است n (\displaystyle n)، نتیجه می شود که برای موارد زیر صادق است n (\displaystyle n)عدد طبیعی ( فرضیه استقرا، پس این گزاره برای همه اعداد طبیعی صادق است (لط P (n) (\displaystyle P(n))- تعدادی مجرد (یکی) محمول، که پارامتر آن یک عدد طبیعی است n (\displaystyle n). سپس اگر P (1) (\displaystyle P(1))و ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Fightarrow P(S(n))))، سپس ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

بدیهیات فوق منعکس کننده درک شهودی ما از سری طبیعی و خط شماره.

واقعیت اساسی این است که این بدیهیات اساساً به طور منحصر به فرد اعداد طبیعی را تعیین می کنند (ماهیت طبقه بندی سیستم بدیهیات Peano). یعنی می توان ثابت کرد (نگاه کنید به و همچنین یک دلیل کوتاه) که اگر (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))و (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))دو مدل برای سیستم بدیهیات Peano هستند، پس باید باشند هم شکل، یعنی یک نقشه برداری معکوس وجود دارد ( دوجکشن) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N))))به طوری که f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))و f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))برای همه x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N)).

بنابراین، برای رفع آن کافی است N (\displaystyle \mathbb (N))هر مدل خاصی از مجموعه اعداد طبیعی

گاه، به ویژه در ادبیات خارجی و ترجمه، بدیهیات اول و سوم پیانو جای صفر را می گیرد. در این حالت صفر یک عدد طبیعی در نظر گرفته می شود. هنگامی که بر حسب طبقات مجموعه های معادل تعریف می شود، صفر طبق تعریف یک عدد طبیعی است. دور انداختن آن به طور خاص غیرطبیعی خواهد بود. علاوه بر این، این امر ساخت و کاربرد بیشتر نظریه را به طور قابل توجهی پیچیده می کند، زیرا در اکثر ساختارها صفر، مانند مجموعه خالی، چیزی جدا شده نیست. مزیت دیگر در نظر گرفتن صفر به عنوان یک عدد طبیعی این است که N (\displaystyle \mathbb (N))تشکیل می دهد مونوئید. همانطور که قبلا ذکر شد، در ادبیات روسی، صفر به طور سنتی از تعداد اعداد طبیعی حذف می شود.

تعریف نظری مجموعه اعداد طبیعی (تعریف فرگه-راسل)

بنابراین، اعداد طبیعی نیز بر اساس مفهوم مجموعه، طبق دو قاعده معرفی می شوند:

اعداد داده شده در این روش نامیده می شوند ترتیبی.

اجازه دهید چند اعداد ترتیبی اول و اعداد طبیعی مربوط به آنها را شرح دهیم:

مقدار مجموعه اعداد طبیعی

ارزش یک مجموعه بی نهایت با مفهوم " مشخص می شود. اصلی بودن مجموعه"، که تعمیم تعداد عناصر یک مجموعه محدود به مجموعه های نامتناهی است. در اندازه (یعنی توان)، مجموعه اعداد طبیعی بزرگتر از هر مجموعه متناهی است، اما کمتر از هر بازه ای است، برای مثال، بازه (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). مجموعه اعداد طبیعی همان کاردینالیتی را با مجموعه اعداد گویا دارد. به مجموعه ای با همان کاردینالیته مجموعه اعداد طبیعی گفته می شود مجموعه قابل شمارش. بنابراین، مجموعه ای از اعضای هر دنباله هاقابل شمارش. در همان زمان، دنباله ای وجود دارد که در آن هر عدد طبیعی بی نهایت بار رخ می دهد، زیرا مجموعه اعداد طبیعی را می توان به صورت قابل شمارش نشان داد. یک انجمنمجموعه های قابل شمارش غیر متقاطع (به عنوان مثال، N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

عملیات روی اعداد طبیعی

به عملیات بسته(عملیاتی که از مجموعه اعداد طبیعی نتیجه نمی گیرند) روی اعداد طبیعی شامل عملیات حسابی زیر می باشد:

علاوه بر این، دو عملیات دیگر نیز در نظر گرفته شده است (از دیدگاه رسمی، آنها عملیات روی اعداد طبیعی نیستند، زیرا برای آنها تعریف نشده اند. همهجفت اعداد (گاهی وجود دارند، گاهی اوقات وجود ندارند)):

لازم به ذکر است که عملیات جمع و ضرب بنیادی هستند. به خصوص، حلقه اعداد صحیحدقیقاً از طریق تعیین می شود عملیات باینریجمع و ضرب

خواص اساسی

جابجاییاضافات:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

جابجایی ضرب:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

انجمنیاضافات:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

ارتباط ضرب:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

توزیعضرب با توجه به جمع:

a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end (موارد))).

ساختار جبری

جمع مجموعه اعداد طبیعی را تبدیل می کند نیمه گروهیبا یک واحد، نقش واحد توسط 0 . ضرب همچنین مجموعه اعداد طبیعی را به یک نیمه گروه با واحد تبدیل می کند، در حالی که عنصر هویت است 1 . با استفاده از بسته شدنبا توجه به عملیات جمع- تفریق و ضرب- تقسیم، گروه هایی از اعداد صحیح به دست می آیند Z (\displaystyle \mathbb (Z))و اعداد مثبت گویا Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))به ترتیب.

راهنما در Tele2، تعرفه ها، سوالات