سیستم شماره 10. ترجمه اعداد به سیستم های اعداد باینری، هگزا دسیمال، اعشاری، اکتال. وظایف تعیین مقادیر در سیستم های اعداد مختلف و پایه آنها

تبدیل به سیستم اعداد اعشاری

تمرین 1.چه عددی در سیستم اعداد اعشاری با عدد 24 16 مطابقت دارد؟

راه حل.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

پاسخ. 24 16 = 36 10

وظیفه 2.مشخص است که X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . عدد X در نماد اعشاری چیست؟

راه حل.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
عدد را پیدا کنید: X = 6 + 4 + 5 = 15

پاسخ. X = 15 10

وظیفه 3.مقدار مجموع 10 2 + 45 8 + 10 16 را به صورت اعشاری محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید هر جمله را به سیستم اعداد اعشاری ترجمه کنیم:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
مجموع: 2 + 37 + 16 = 55

تبدیل به سیستم اعداد باینری

تمرین 1.عدد 37 در سیستم اعداد باینری چیست؟

راه حل.

شما می توانید با تقسیم بر 2 و ترکیب باقی مانده به ترتیب معکوس تبدیل کنید.

راه دیگر این است که عدد را به مجموع توان های دو بسط دهیم که از بالاترین شروع می شود که نتیجه محاسبه شده آن کمتر از عدد داده شده است. هنگام تبدیل، توان های از دست رفته یک عدد باید با صفر جایگزین شوند:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

پاسخ. 37 10 = 100101 2 .

وظیفه 2.در نمایش دودویی عدد اعشاری 73 چند صفر معنی دار وجود دارد؟

راه حل.

عدد 73 را به مجموع توان های دو تجزیه می کنیم، از بالاترین شروع می کنیم و توان های از دست رفته را در صفر و توان های موجود را در یک ضرب می کنیم:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

پاسخ.چهار صفر قابل توجه در نماد دودویی برای عدد اعشاری 73 وجود دارد.

وظیفه 3.مجموع x و y را برای x = D2 16، y = 37 8 محاسبه کنید. نتیجه را در سیستم اعداد باینری ارائه دهید.

راه حل.

به یاد بیاورید که هر رقم از یک عدد هگزادسیمال از چهار رقم باینری تشکیل شده است، هر رقم از یک عدد اکتالی با سه رقم:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

بیایید اعداد را اضافه کنیم:

11010010 11111 -------- 11110001

پاسخ.مجموع اعداد D2 16 و y = 37 8 که در سیستم باینری نشان داده شده اند 11110001 است.

وظیفه 4.داده شده: آ= D7 16، ب= 331 8. کدام یک از اعداد ج، که با نماد دودویی نوشته شده است، شرایط را برآورده می کند آ< c < b ?

11011001
11011100
11010111
11011000

راه حل.

بیایید اعداد را به سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

چهار رقم اول برای همه اعداد یکسان است (1101). بنابراین، مقایسه به مقایسه با حداقل چهار رقمی ساده می‌شود.

اولین شماره در لیست شماره است ببنابراین، مناسب نیست.

عدد دوم بزرگتر از ب. عدد سوم است آ.

فقط عدد چهارم مناسب است: 0111< 1000 < 1001.

پاسخ.گزینه چهارم (11011000) شرط را دارد آ< c < b .

وظایف تعیین مقادیر در سیستم های اعداد مختلف و پایه آنها

تمرین 1.کاراکترهای @، $، و، % در اعداد باینری متوالی دو رقمی کدگذاری می شوند. اولین کاراکتر مربوط به عدد 00 است. با استفاده از این کاراکترها، دنباله زیر کدگذاری شد: $% [ایمیل محافظت شده]$. این دنباله را رمزگشایی کنید و نتیجه را به هگزادسیمال تبدیل کنید.

راه حل.

1. بیایید اعداد باینری را با کاراکترهایی که کدگذاری می‌کنند مقایسه کنیم:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. بیایید عدد باینری را به سیستم اعداد هگزادسیمال ترجمه کنیم:
0111 1010 0001 = 7A1

پاسخ. 7A1 16.

وظیفه 2. 100 درخت میوه در باغ وجود دارد که از این تعداد 33 درخت سیب، 22 درخت گلابی، 16 درخت آلو، 17 درخت گیلاس است. پایه سیستم اعداد (x) چیست؟

راه حل.

1. توجه داشته باشید که همه عبارت ها اعداد دو رقمی هستند. در هر سیستم عددی، آنها را می توان به صورت زیر نشان داد:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b که a و b ارقام ارقام مربوط به عدد هستند.
برای یک عدد سه رقمی به این صورت خواهد بود:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. شرط مشکل به شرح زیر است:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
اعداد موجود در فرمول ها را جایگزین کنید:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3- معادله درجه دوم را حل کنید:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. جذر D برابر با 11 است.
ریشه های معادله درجه دوم:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 یا x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. یک عدد منفی نمی تواند پایه سیستم اعداد باشد. بنابراین x فقط می تواند برابر با 9 باشد.

پاسخ.پایه مورد نظر سیستم اعداد 9 است.

وظیفه 3.در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 12 به صورت 110 نوشته می شود. این پایه را پیدا کنید.

راه حل.

ابتدا عدد 110 را از طریق فرمول نوشتن اعداد در سیستم های اعداد موقعیتی برای یافتن مقدار در سیستم اعداد اعشاری بنویسیم و سپس با نیروی بی رحم پایه را پیدا کنیم.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

ما باید 12 را بدست آوریم. 2: 2 2 + 2 = 6 را امتحان می کنیم. 3: 3 2 + 3 = 12 را امتحان می کنیم.

بنابراین پایه سیستم اعداد 3 است.

پاسخ.پایه مورد نظر سیستم اعداد 3 است.

وظیفه 4.در چه سیستم اعدادی عدد اعشاری 173 به صورت 445 نمایش داده می شود؟

راه حل.
پایه مجهول را با X نشان می دهیم. معادله زیر را می نویسیم:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
با توجه به اینکه هر عدد مثبت به توان صفر برابر با 1 است، معادله را بازنویسی می کنیم (مبنای 10 نشان داده نخواهد شد).
173 = 4 * X 2 + 4 * X + 5
البته، چنین معادله درجه دومی را می توان با استفاده از ممیز حل کرد، اما راه حل ساده تری وجود دارد. از قسمت راست و چپ 4 کم می کنیم
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 یا 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
از اینجا به 2 * X + 1 \u003d 13 می رسیم (ریشه منفی را کنار می گذاریم). یا X = 6.
پاسخ: 173 10 = 445 6

وظایف برای یافتن چندین پایه سیستم اعداد

گروهی از وظایف وجود دارد که در آنها لازم است تمام پایه های سیستم های اعدادی که در آنها نمایش یک عدد معین با یک رقم مشخص به پایان می رسد (به ترتیب صعودی یا نزولی) فهرست شود. این کار به سادگی حل می شود. ابتدا باید رقم داده شده را از عدد اصلی کم کنید.عدد حاصل اولین پایه سیستم اعداد خواهد بود. و همه پایه های دیگر فقط می توانند مقسوم علیه این عدد باشند. (این عبارت بر اساس قاعده انتقال اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر ثابت می شود - به مورد 4 مراجعه کنید). فقط اینو یادت باشه پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از رقم داده شده باشد!

مثال
تمام پایه های سیستم های اعداد را که با کاما از هم جدا شده اند به ترتیب صعودی نشان دهید که در آن ورودی عدد 24 به 3 ختم می شود.

راه حل
24 - 3 \u003d 21 اولین پایه است (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 بر 3 و 7 بخش پذیر است. عدد 3 مناسب نیست، زیرا در سیستم اعداد پایه 3 عدد 3 وجود ندارد.
پاسخ: 7، 21

در درس علوم کامپیوتر، صرف نظر از مدرسه یا دانشگاه، جایگاه ویژه ای به مفهومی مانند سیستم های اعداد داده می شود. به عنوان یک قاعده، چندین درس یا تمرین عملی برای آن اختصاص داده می شود. هدف اصلی نه تنها یادگیری مفاهیم اولیه مبحث، مطالعه انواع سیستم های اعداد، بلکه آشنایی با محاسبات باینری، اکتال و هگزا دسیمال است.

چه مفهومی داره؟

بیایید با تعریف مفهوم اصلی شروع کنیم. همانطور که در کتاب درسی "علوم کامپیوتر" اشاره شده است، سیستم اعداد رکوردی از اعداد است که از یک الفبای خاص یا مجموعه ای خاص از اعداد استفاده می کند.

بسته به اینکه آیا مقدار یک رقم از موقعیت آن در عدد تغییر می کند یا خیر، دو سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی را متمایز می کنند.

در سیستم های موقعیتی، ارزش یک رقم با موقعیت آن در عدد تغییر می کند. بنابراین، اگر عدد 234 را بگیریم، عدد 4 در آن به معنای واحد است، اما اگر عدد 243 را در نظر بگیریم، در اینجا قبلاً به معنای ده ها خواهد بود، نه واحد.

در سیستم های غیر موقعیتی، مقدار یک رقم بدون توجه به موقعیت آن در عدد ثابت است. بارزترین مثال سیستم چوب است که هر واحد با یک خط تیره نشان داده می شود. فرقی نمی کند که عصا را به کجا اختصاص دهید، مقدار عدد فقط یک تغییر می کند.

سیستم های غیر موقعیتی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی عبارتند از:

یک سیستم واحد که یکی از اولین ها محسوب می شود. به جای اعداد از چوب استفاده می کرد. هر چه تعداد آنها بیشتر بود، ارزش عدد بیشتر بود. نمونه ای از اعدادی که به این شکل نوشته شده اند را می توانید در فیلم هایی مشاهده کنید که در آن صحبت از افرادی است که در دریا گم شده اند، زندانیانی که هر روز به کمک بریدگی هایی روی سنگ یا درخت علامت گذاری می کنند.
رومی که در آن به جای اعداد از حروف لاتین استفاده شده است. با استفاده از آنها می توانید هر عددی را بنویسید. در همان زمان، مقدار آن با استفاده از مجموع و تفاضل ارقام تشکیل دهنده عدد تعیین شد. اگر عدد کوچکتری در سمت چپ رقم وجود داشت، رقم سمت چپ از عدد راست کم می شد و اگر رقم سمت راست کمتر یا مساوی رقم سمت چپ بود، مقادیر آنها جمع می شد. بالا به عنوان مثال، عدد 11 به صورت XI و 9 - IX نوشته شده است.
حروفی که در آنها اعداد با استفاده از الفبای یک زبان خاص مشخص می شدند. یکی از آنها سیستم اسلاوی است که در آن تعدادی از حروف نه تنها دارای ارزش آوایی، بلکه ارزش عددی نیز بودند.
که در آن فقط از دو نام برای ضبط استفاده شد - گوه و فلش.
در مصر نیز از علائم خاصی برای نشان دادن اعداد استفاده می شد. هنگام نوشتن یک عدد، هر کاراکتر را نمی توان بیش از 9 بار استفاده کرد.

سیستم های موقعیتی

توجه زیادی در علوم کامپیوتر به سیستم های اعداد موقعیتی می شود. این موارد شامل موارد زیر است:

دودویی؛
هشتی؛
اعشاری؛
هگزادسیمال;
sexagesimal، هنگام شمارش زمان استفاده می شود (به عنوان مثال، در یک دقیقه - 60 ثانیه، در یک ساعت - 60 دقیقه).

هر کدام از آنها الفبای خاص خود را برای نوشتن، قوانین ترجمه و عملیات حسابی دارند.

سیستم اعشاری

این سیستم برای ما آشناترین است. برای نوشتن اعداد از اعداد 0 تا 9 استفاده می کند. به آنها عربی نیز می گویند. بسته به موقعیت رقم در عدد، می تواند ارقام مختلفی را نشان دهد - واحدها، ده ها، صدها، هزاران یا میلیون ها. ما در همه جا از آن استفاده می کنیم، قوانین اساسی را می دانیم که توسط آنها عملیات حسابی روی اعداد انجام می شود.

سیستم دودویی

یکی از سیستم های اعداد اصلی در علوم کامپیوتر دودویی است. سادگی آن به رایانه اجازه می دهد تا محاسبات دست و پا گیر را چندین برابر سریعتر از سیستم اعشاری انجام دهد.

برای نوشتن اعداد، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. در همان زمان، بسته به موقعیت 0 یا 1 در عدد، مقدار آن تغییر می کند.

در ابتدا با کمک کامپیوترها بود که تمام اطلاعات لازم را دریافت کردند. در همان زمان، یک به معنای وجود سیگنالی بود که با استفاده از ولتاژ ارسال می شد و صفر به معنای عدم وجود آن بود.

سیستم اکتال

یکی دیگر از سیستم‌های اعداد رایانه‌ای معروف، که از اعداد ۰ تا ۷ استفاده می‌کند. این سیستم عمدتاً در حوزه‌هایی از دانش که با دستگاه‌های دیجیتال مرتبط هستند استفاده می‌شود. اما اخیراً بسیار کمتر مورد استفاده قرار گرفته است، زیرا با سیستم اعداد هگزادسیمال جایگزین شده است.

اعشاری باینری

نمایش اعداد بزرگ در سیستم باینری برای یک فرد فرآیند نسبتاً پیچیده ای است. برای ساده سازی آن توسعه داده شد.معمولاً در ساعت های الکترونیکی، ماشین حساب ها استفاده می شود. در این سیستم، کل عدد از سیستم اعشاری به باینری تبدیل نمی شود، بلکه هر رقم به مجموعه صفر و یک مربوطه در سیستم باینری تبدیل می شود. همین امر در مورد تبدیل از باینری به اعشاری نیز صدق می کند. هر رقمی که به صورت مجموعه ای چهار رقمی از صفر و یک نمایش داده می شود، در سیستم اعداد اعشاری به یک رقم تبدیل می شود. در اصل، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

برای کار با اعداد، در این مورد، جدول سیستم های اعداد مفید است که مطابقت بین اعداد و کد باینری آنها را نشان می دهد.

سیستم هگزادسیمال

اخیراً سیستم اعداد هگزادسیمال به طور فزاینده ای در برنامه نویسی و علوم کامپیوتر محبوب شده است. این نه تنها از اعداد 0 تا 9، بلکه از تعدادی حروف لاتین - A، B، C، D، E، F استفاده می کند.

در عین حال، هر یک از حروف معنای خاص خود را دارد، بنابراین A=10، B=11، C=12 و غیره. هر عدد به صورت مجموعه ای از چهار کاراکتر نمایش داده می شود: 001F.

تبدیل اعداد: از اعشار به دودویی

ترجمه در سیستم های اعداد طبق قوانین خاصی انجام می شود. رایج ترین تبدیل از باینری به اعشاری و بالعکس است.

برای تبدیل یک عدد از اعشاری به باینری، لازم است که به طور مداوم آن را بر پایه سیستم اعداد، یعنی عدد دو، تقسیم کنیم. در این مورد، باقیمانده هر تقسیم باید ثابت شود. این کار تا زمانی ادامه می یابد که باقیمانده تقسیم کمتر یا مساوی یک باشد. بهتر است محاسبات را در یک ستون انجام دهید. سپس بقایای تقسیم حاصل به ترتیب معکوس روی رشته نوشته می شود.

به عنوان مثال، بیایید عدد 9 را به باینری تبدیل کنیم:

ما 9 را تقسیم می کنیم، زیرا عدد به طور مساوی قابل تقسیم نیست، سپس عدد 8 را می گیریم، باقیمانده 9 خواهد بود - 1 = 1.

پس از تقسیم 8 بر 2، 4 به دست می آید. دوباره آن را تقسیم می کنیم، زیرا عدد بر دو تقسیم می شود - در باقی مانده 4 - 4 = 0 به دست می آوریم.

ما همان عملیات را با 2 انجام می دهیم. باقیمانده 0 است.

در نتیجه تقسیم، 1 می گیریم.

صرف نظر از سیستم اعداد نهایی، انتقال اعداد از اعشار به هر دیگری بر اساس اصل تقسیم عدد بر اساس سیستم موقعیتی اتفاق می افتد.

تبدیل عدد: از باینری به اعشاری

تبدیل اعداد به اعشار از باینری بسیار آسان است. برای این کار کافی است قوانین افزایش اعداد به توان را بدانید. در این حالت به توان دو.

الگوریتم ترجمه به شرح زیر است: هر رقم از کد اعداد باینری باید در دو ضرب شود، و دو عدد اول به توان m-1، دومی - m-2، و غیره، که در آن m عدد است. از ارقام در کد سپس نتایج جمع را با یک عدد صحیح اضافه کنید.

برای دانش آموزان مدرسه، این الگوریتم را می توان ساده تر توضیح داد:

برای شروع، هر رقم ضرب شده در دو را می گیریم و یادداشت می کنیم، سپس توان دو را از انتها، از صفر شروع می کنیم. سپس عدد حاصل را جمع کنید.

به عنوان مثال، بیایید با شما عدد 1001 را که قبلاً به دست آمده، تجزیه و تحلیل کنیم، آن را به سیستم اعشاری تبدیل کنیم، و در عین حال صحت محاسبات خود را بررسی کنیم.

شبیه این خواهد شد:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

هنگام مطالعه این موضوع، استفاده از جدولی با توان دو راحت است. این به میزان قابل توجهی زمان مورد نیاز برای محاسبات را کاهش می دهد.

سایر گزینه های ترجمه

در برخی موارد، ترجمه را می توان بین باینری و اکتال، باینری و هگزادسیمال انجام داد. در این صورت می‌توانید از جداول مخصوص استفاده کنید یا با انتخاب گزینه «برنامه‌نویس» در تب view، برنامه ماشین حساب را روی رایانه خود اجرا کنید.

عملیات حسابی

صرف نظر از شکلی که عدد در آن نشان داده شده است، می توان محاسباتی را که برای ما آشنا است انجام داد. این می تواند تقسیم و ضرب، تفریق و جمع در سیستم اعدادی که انتخاب کرده اید باشد. البته هر کدام از آنها قوانین خاص خود را دارند.

بنابراین برای سیستم باینری جداول خود را برای هر یک از عملیات توسعه داد. از همین جداول در سایر سیستم های موقعیتی استفاده می شود.

لازم نیست آنها را حفظ کنید - فقط چاپ کنید و در دسترس باشید. همچنین می توانید از ماشین حساب در رایانه شخصی خود استفاده کنید.

یکی از موضوعات مهم در علوم کامپیوتر، سیستم اعداد است. دانستن این مبحث، درک الگوریتم های ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر تضمینی است برای اینکه بتوانید موضوعات پیچیده تری مانند الگوریتم سازی و برنامه نویسی را درک کنید و بتوانید اولین برنامه خود را به تنهایی بنویسید.

وظایف با موضوع "سیستم های عددی"

نمونه های راه حل

کار شماره 1. در عدد اعشاری پایه 3 357 چند رقم معنی دار وجود دارد؟راه حل:بیایید عدد 35710 را به سیستم اعداد سه تایی ترجمه کنیم:بنابراین، 35710 = 1110203. عدد 1110203 شامل 6 رقم قابل توجه است.پاسخ: 6.

کار شماره 2. با توجه به A=A715، B=2518. کدام یک از اعداد C که در سیستم باینری نوشته شده است، شرط A را دارد1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 راه حل:بیایید اعداد A=A715 و B=2518 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنیم و هر رقم از عدد اول را با تتراد مربوطه و هر رقم از عدد دوم را با سه گانه مربوطه جایگزین کنیم: A715= 1010 01112; 2518 = 0012 101 010.شرط الف

کار شماره 3. عدد اعشاری 123 در پایه 6 با چه رقمی ختم می شود؟راه حل:بیایید عدد 12310 را به سیستم اعداد با پایه 6 ترجمه کنیم:12310 = 3236. پاسخ: ورودی عدد 12310 در سیستم اعداد با پایه 6 به عدد 3 ختم می شود.وظایف برای انجام عملیات حسابی بر روی اعداد نشان داده شده در سیستم های اعداد مختلف

کار شماره 4. مجموع اعداد X و Y را در صورت X=1101112، Y=1358 محاسبه کنید. نتیجه را به صورت دودویی بیان کنید.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 راه حل:بیایید عدد Y=1358 را به سیستم اعداد باینری ترجمه کنیم و هر یک از ارقام آن را با سه گانه مربوطه جایگزین کنیم: 001 011 1012. جمع را انجام دهید:جواب: 100101002 (گزینه 2).

کار شماره 5. میانگین حسابی اعداد 2368، 6C16 و 1110102 را بیابید. پاسخ خود را به صورت اعشاری بیان کنید.راه حل:بیایید اعداد 2368، 6С16 و 1110102 را به سیستم اعداد اعشاری ترجمه کنیم:
بیایید میانگین حسابی اعداد را محاسبه کنیم: (158+108+58)/3 = 10810.پاسخ: میانگین حسابی اعداد 2368، 6C16 و 1110102 برابر با 10810 است.

کار شماره 6. مقدار عبارت 2068 + AF16 را محاسبه کنید؟ 110010102. محاسبات را در سیستم اعداد اکتالی انجام دهید. پاسخ خود را به اعشار تبدیل کنید.راه حل:بیایید همه اعداد را به سیستم اعداد هشتگانه ترجمه کنیم:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128بیایید اعداد را اضافه کنیم:بیایید جواب را به سیستم اعشاری تبدیل کنیم:جواب: 51110.

وظایف برای پیدا کردن پایه سیستم اعداد

کار شماره 7. 100q درخت میوه در باغ وجود دارد: 33q سیب، 22q گلابی، 16q آلو و 17q گیلاس. پایه سیستم اعدادی که درختان در آن شمارش می شوند را بیابید.راه حل:100q درخت در باغ وجود دارد: 100q = 33q+22q+16q+17q.بیایید ارقام را شماره گذاری کنیم و این اعداد را به صورت باز شده ارائه کنیم:
پاسخ: درختان در سیستم اعداد پایه 9 شمارش می شوند.

کار شماره 8. اگر می دانید که 2002x = 13010، پایه x سیستم اعداد را پیدا کنید.راه حل:پاسخ: 4.

کار شماره 9. در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 18 به صورت 30 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.راه حل:بیایید پایه سیستم اعداد مجهول را x بگیریم و معادله زیر را بنویسیم:1810 = 30x;ارقام را شماره گذاری می کنیم و این اعداد را به صورت باز شده می نویسیم:پاسخ: عدد اعشاری 18 در سیستم اعداد پایه 6 به صورت 30 نوشته می شود.

واگذاری خدمات. این سرویس برای ترجمه اعداد از یک سیستم شماره به سیستم دیگر به صورت آنلاین طراحی شده است. برای انجام این کار، پایه سیستمی را که می خواهید شماره را از آن ترجمه کنید، انتخاب کنید. می توانید هم اعداد صحیح و هم اعداد را با کاما وارد کنید.

می توانید اعداد کامل مانند 34 یا اعداد کسری مانند 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.

موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:

راه های نمایش اعداد

دودویی اعداد (دودویی) - هر رقم به معنای مقدار یک بیت (0 یا 1) است، مهمترین بیت همیشه در سمت چپ نوشته می شود، حرف "b" بعد از عدد قرار می گیرد. برای سهولت درک، نوت بوک ها را می توان با فاصله از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1010 0101b.
هگزادسیمال اعداد (هگزادسیمال) - هر تتراد با یک کاراکتر 0...9، A، B، ...، F نشان داده می شود. چنین نمایشی را می توان به روش های مختلف نشان داد، در اینجا فقط کاراکتر "h" بعد از آخرین مورد استفاده می شود. رقم هگزادسیمال به عنوان مثال، A5h. در متون برنامه، بسته به نحو زبان برنامه نویسی، می توان همان عدد را هم به صورت 0xA5 و هم 0A5h نشان داد. یک صفر غیر معنی دار (0) به سمت چپ مهم ترین رقم هگزا دسیمال که با یک حرف نشان داده می شود اضافه می شود تا بین اعداد و نام های نمادین تمایز قائل شود.
اعداد اعشاری اعداد (اعشاری) - هر بایت (کلمه، دو کلمه) با یک عدد معمولی نشان داده می شود و علامت نمایش اعشاری (حرف "د") معمولا حذف می شود. بایت مثال‌های قبلی دارای مقدار اعشاری 165 است. برخلاف نمادهای باینری و هگزا دسیمال، اعشار برای تعیین ذهنی مقدار هر بیت دشوار است، که گاهی اوقات باید انجام شود.
هشتی اعداد (هشتی) - هر سه بیت (جداسازی از کمترین معنی شروع می شود) به عنوان یک عدد 0-7 نوشته می شود، در پایان علامت "o" قرار می گیرد. همان عدد به صورت 245o نوشته می شود. سیستم اکتال از این نظر ناخوشایند است که بایت را نمی توان به طور مساوی تقسیم کرد.

الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر

تبدیل اعداد اعشاری صحیح به هر سیستم اعداد دیگری با تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که باقیمانده عددی کمتر از پایه سیستم اعداد جدید باقی بماند. عدد جدید به عنوان باقیمانده تقسیم نوشته می شود و با آخرین آن شروع می شود.
تبدیل کسر اعشاری صحیح به PSS دیگر با ضرب تنها قسمت کسری عدد در پایه سیستم اعداد جدید تا زمانی که همه صفرها در قسمت کسری باقی بمانند یا تا زمانی که به دقت ترجمه مشخص شده برسد انجام می شود. در نتیجه هر عملیات ضرب، یک رقم از عدد جدید تشکیل می شود که از بالاترین شروع می شود.
ترجمه کسری نامناسب طبق قوانین 1 و 2 انجام می شود. اعداد صحیح و کسری با هم نوشته می شوند و با کاما از هم جدا می شوند.

مثال شماره 1.

ترجمه از 2 تا 8 تا 16 سیستم شماره.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین، ترجمه با استفاده از جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).

برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد باینری به یک عدد اکتال (هگزا دسیمال)، لازم است عدد باینری را از یک کاما به سمت راست و چپ به گروه‌های سه عددی (چهار رقمی برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های افراطی را با صفر تکمیل کنیم. در صورت لزوم هر گروه با رقم هشتی یا هگزا دسیمال مربوطه جایگزین می شود.

مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

هنگام تبدیل به هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین یکسان، عدد را به قطعات، هر کدام چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعشاری با شکستن عدد به واحدهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه می شود) به توان مربوط به عدد ترتیبی آن افزایش می یابد. در شماره ترجمه شده در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول دارای عدد 0) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با علامت منفی) شماره گذاری می شوند. نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.

مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هشتی به اعشاری. 108.5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد هگزا دسیمال به اعشاری. 108.5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

یک بار دیگر الگوریتم ترجمه اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم

از سیستم اعداد اعشاری:
- عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
- پس از تقسیم عدد صحیح، باقیمانده را پیدا کنید.
- تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
از سیستم باینری
- برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، باید مجموع محصولات پایه 2 را با درجه تخلیه مربوطه پیدا کنید.
- برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه تایی تبدیل کنید.
  به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8
- برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.
  به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16

این سیستم موقعیتی نامیده می شود.، که اهمیت یا وزن یک رقم به مکان آن در عدد بستگی دارد. رابطه بین سیستم ها در یک جدول بیان شده است.
جدول مطابقت سیستم های اعداد:

باینری SS	هگزادسیمال SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	آ
1011	ب
1100	سی
1101	دی
1110	E
1111	اف

جدول تبدیل به سیستم اعداد اکتالی

مثال شماره 2. عدد 100.12 را از اعشار به هشتی و بالعکس تبدیل کنید. دلایل عدم تطابق را توضیح دهید.
راه حل.
مرحله ی 1. .

باقیمانده تقسیم به ترتیب معکوس نوشته می شود. عدد را در سیستم اعداد هشتم بدست می آوریم: 144
100 = 144 8

برای ترجمه جزء کسری یک عدد، قسمت کسری را پشت سر هم در پایه 8 ضرب می کنیم. در نتیجه، هر بار قسمت صحیح حاصل را یادداشت می کنیم.
0.12 * 8 = 0.96 (کل قسمت 0 )
0.96 * 8 = 7.68 (کل قسمت 7 )
0.68 * 8 = 5.44 (کل قسمت 5 )
0.44 * 8 = 3.52 (کل قسمت 3 )
شماره را در سیستم شماره هشتم دریافت می کنیم: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

مرحله 2. تبدیل یک عدد از اعشار به هشتی.
تبدیل معکوس از هشتی به اعشاری.

برای ترجمه قسمت صحیح، باید رقم عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کرد.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

برای ترجمه قسمت کسری، باید رقم عدد را بر درجه مربوط به رقم تقسیم کرد.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
اختلاف 0.0001 (100.12 - 100.1199) به دلیل خطای گرد کردن هنگام تبدیل به اکتال است. اگر تعداد ارقام بیشتری (مثلاً نه 4، بلکه 8) بگیریم، می توان این خطا را کاهش داد.

قبل از شروع حل مسائل، باید چند نکته ساده را درک کنیم.

عدد اعشاری 875 را در نظر بگیرید. آخرین رقم عدد (5) باقیمانده تقسیم عدد 875 بر 10 است. دو رقم آخر عدد 75 را تشکیل می دهند - این باقیمانده تقسیم عدد 875 بر 100 است. جملات مشابه برای هر سیستم عددی صادق است:

آخرین رقم یک عدد، باقیمانده تقسیم آن عدد بر پایه سیستم اعداد است.

دو رقم آخر یک عدد، باقیمانده تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد مجذور است.

مثلا، . 23 را بر پایه سیستم 3 تقسیم می کنیم، در باقیمانده 7 و 2 می گیریم (2 آخرین رقم عدد در سیستم سه تایی است). 23 را بر 9 تقسیم کنید (مبنا به مجذور)، 18 و در باقیمانده 5 می گیریم (5 = ).

بیایید به سیستم اعشاری معمول برگردیم. تعداد = 100000. 10 به توان k یک و k صفر است.

یک عبارت مشابه برای هر سیستم عددی صادق است:

پایه سیستم اعداد به توان k در این سیستم اعداد به صورت یکا و k صفر نوشته می شود.

مثلا، .

1. پایه سیستم اعداد را جستجو کنید

مثال 1

در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 27 به صورت 30 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.

راه حل:

پایه مورد نیاز x را مشخص کنید. سپس .i.e. x=9.

مثال 2

در یک سیستم اعداد با پایه، عدد اعشاری 13 به صورت 111 نوشته می شود. این پایه را مشخص کنید.

راه حل:

پایه مورد نیاز x را مشخص کنید. سپس

معادله درجه دوم را حل می کنیم، ریشه های 3 و -4 را بدست می آوریم. از آنجایی که پایه سیستم اعداد نمی تواند منفی باشد، پاسخ 3 است.

پاسخ: 3

مثال 3

تمام پایه های سیستم های اعداد را که با کاما از هم جدا شده اند به ترتیب صعودی نشان دهید که در آن ورودی عدد 29 به 5 ختم می شود.

راه حل:

اگر در برخی از سیستم ها عدد 29 به 5 ختم می شود، آنگاه عدد کاهش یافته به 5 (29-5=24) به 0 ختم می شود. قبلاً گفتیم که عدد زمانی به 0 ختم می شود که بدون باقی مانده بر پایه سیستم بخش پذیر باشد. . آن ها ما باید تمام اعدادی را که مقسوم‌کننده‌های عدد 24 هستند، پیدا کنیم. 5 (و در مسئله فرمول بندی، عدد 29 به 5 ختم می شود)، بنابراین سیستم هایی با پایه وجود دارد: 6، 8، 12،

پاسخ: 6، 8، 12، 24

مثال 4

تمام پایه های سیستم های اعداد را که با کاما از هم جدا شده اند به ترتیب صعودی نشان دهید که در آن ورودی عدد 71 به 13 ختم می شود.

راه حل:

اگر در برخی از سیستم ها عدد به 13 ختم شود، پایه این سیستم حداقل 4 است (در غیر این صورت عدد 3 وجود ندارد).

عددی که 3 کاهش می یابد (71-3=68) به 10 ختم می شود. 68 کاملاً بر پایه مورد نیاز سیستم تقسیم می شود و ضریب آن وقتی بر پایه سیستم تقسیم می شود، باقیمانده 0 به دست می آید.

بیایید تمام مقسوم علیه های عدد صحیح 68 را بنویسیم: 2، 4، 17، 34، 68.

2 مناسب نیست، زیرا پایه کمتر از 4 نیست. بقیه مقسوم علیه ها را بررسی کنید:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (استراحت 1) - مناسب

68:17 = 4; 4:17 = 0 (استراحت 4) - مناسب نیست

68:34 = 2; 2:17 = 0 (استراحت 2) - مناسب نیست

68:68 = 1; 1:68 = 0 (استراحت 1) - مناسب

پاسخ: 4، 68

2. جستجو برای اعداد بر اساس شرایط

مثال 5

همه اعداد اعشاری که از 25 تجاوز نمی کنند، که با کاما از هم جدا شده اند، به ترتیب صعودی نشان دهید که علامت آنها در سیستم اعداد پایه چهار به 11 ختم می شود؟

راه حل:

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 25 در یک سیستم اعداد با پایه 4 چگونه به نظر می رسد.

آن ها ما باید همه اعداد را پیدا کنیم، نه بزرگتر از، که نماد آنها با 11 ختم می شود. با قانون شمارش متوالی در سیستمی با پایه 4،
اعداد و . ما آنها را به سیستم اعداد اعشاری ترجمه می کنیم:

پاسخ: 5، 21

3. حل معادلات

مثال 6

معادله را حل کنید:

پاسخ را با سیستم سه تایی بنویسید (مبنای سیستم اعداد در پاسخ برای نوشتن ضروری نیست).

راه حل:

بیایید همه اعداد را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم:

معادله درجه دوم ریشه های 8- و 6 دارد (چون پایه سیستم نمی تواند منفی باشد). .

جواب: 20

4. شمارش تعداد یک ها (صفرها) در نماد دودویی مقدار عبارت

برای حل این نوع مسائل، باید به یاد داشته باشیم که جمع و تفریق "در یک ستون" چگونه کار می کند:

هنگام جمع کردن، جمع بیتی ارقام نوشته شده در زیر یکدیگر اتفاق می افتد، که از کمترین رقم شروع می شود. اگر مجموع دو رقم حاصل از پایه سیستم اعداد بزرگتر یا مساوی باشد، باقیمانده تقسیم این مقدار بر پایه سیستم در زیر ارقام جمع شده و قسمت صحیح تقسیم این مقدار بر مبنا نوشته می شود. سیستم به مجموع ارقام زیر اضافه می شود.

هنگام تفریق، یک تفریق بیت به بیت از ارقامی که یکی زیر دیگری نوشته شده اند، اتفاق می افتد، که از رقم های کم اهمیت شروع می شود. اگر رقم اول کمتر از رقم دوم باشد، یکی را از رقم مجاور (بزرگتر) "قرض می گیریم". واحد اشغال شده در رقم فعلی برابر است با پایه سیستم اعداد. در اعشار 10، در باینری 2، در سه تایی 3 و غیره است.

مثال 7

چند واحد در نماد دودویی مقدار عبارت وجود دارد:؟

راه حل:

بیایید تمام اعداد عبارت را به عنوان توان دو نشان دهیم:

در نمادگذاری دودویی، دو به توان n به نظر می رسد 1 و به دنبال آن n صفر است. سپس با جمع کردن و عددی حاوی 2 واحد به دست می آید: