سیستم اعداد است. سیستم اعداد چیست؟ سیستم های اعداد موقعیتی همگن

نشانه گذاری - این روشی برای نمایش اعداد و قوانین مربوطه برای کار بر روی اعداد است. سیستم های اعداد مختلفی که در گذشته وجود داشته و امروزه مورد استفاده قرار می گیرند را می توان به دو دسته تقسیم کرد غیر موضعیو موضعی. علائمی که هنگام نوشتن اعداد استفاده می شود، نامیده می شوند در اعداد

که در سیستم های اعداد غیر موقعیتی معنای یک رقم به موقعیت آن در عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، سیستم رومی (اعداد رومی) است. در سیستم رومی، از حروف لاتین به عنوان اعداد استفاده می شود:

مثال 1.عدد CCXXXII از دویست، سه ده و دو واحد تشکیل شده و برابر با دویست و سی و دو است.

در اعداد رومی، اعداد از چپ به راست به ترتیب نزولی نوشته می شوند. در این حالت مقادیر آنها با هم جمع می شوند. اگر یک عدد کوچکتر در سمت چپ و یک عدد بزرگتر در سمت راست نوشته شود، مقادیر آنها کم می شود.

مثال 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

مثال 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

که در سیستم های اعداد موقعیتی مقدار مشخص شده با یک رقم در نماد اعداد به موقعیت آن بستگی دارد. تعداد ارقام استفاده شده را پایه سیستم اعداد موقعیتی می نامند.

سیستم اعداد مورد استفاده در ریاضیات مدرن است سیستم اعشاری موقعیتی. پایه آن ده است، زیرا هر عددی با ده رقم نوشته می شود:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

ماهیت موقعیتی این سیستم با استفاده از مثال هر عدد چند رقمی به راحتی قابل درک است. به عنوان مثال، در عدد 333، سه اول به معنای سه صد، دوم - سه ده، سوم - سه واحد است.

برای نوشتن اعداد در یک سیستم موقعیتی با ریشه nباید داشته باشد الفبااز جانب nشماره معمولا برای این n < 10 используют nاولین اعداد عربی و چه زمانی n> 10 حرف به ده عدد عربی اضافه می شود. در اینجا نمونه هایی از حروف الفبای چندین سیستم آورده شده است:

اگر شما نیاز به نشان دادن پایه سیستمی دارید که یک شماره به آن تعلق دارد، یک زیرنویس به این شماره اختصاص داده می شود. مثلا:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

در یک سیستم اعداد با پایه q (q-سیستم اعداد آری) واحدهای ارقام توان های متوالی یک عدد هستند q. qواحدهای هر دسته، واحد دسته بعدی را تشکیل می دهند. برای نوشتن یک عدد q-سیستم شماره آری مورد نیاز است qعلائم مختلف (اعداد) نشان دهنده اعداد 0، 1، ...، q– 1. نوشتن یک عدد q V q-سیستم اعداد آری به شکل 10 است.

شکل گسترده نوشتن یک عدد

اجازه دهید ق- شماره در سیستم پایه q, آی -ارقام یک سیستم عددی معین موجود در رکورد اعداد آ, n+ 1 - تعداد ارقام قسمت صحیح عدد، متر- تعداد ارقام قسمت کسری عدد:

شکل گسترش یافته عدد آرکورد به شکل زیر نامیده می شود:

به عنوان مثال، برای یک عدد اعشاری:

مثال های زیر شکل بسط یافته اعداد هگزادسیمال و باینری را نشان می دهد:

در هر سیستم عددی، پایه آن 10 نوشته می شود.

اگر تمام عبارات به صورت بسط داده شده یک عدد غیر اعشاری در سیستم اعشاری نشان داده شوند و عبارت حاصل مطابق با قوانین حساب اعشاری محاسبه شود، آنگاه عددی در سیستم اعشاری برابر با عدد داده شده به دست می آید. این اصل برای تبدیل از سیستم غیر اعشاری به سیستم اعشاری استفاده می شود. به عنوان مثال، تبدیل اعداد نوشته شده در بالا به سیستم اعشاری به صورت زیر انجام می شود:

تبدیل اعداد اعشاری به سیستم های اعداد دیگر

تبدیل عدد صحیح

عدد اعشاری کامل ایکسباید به یک سیستم با پایه تبدیل شود q: ایکس = (آ n آ n-1 …آ 1 آ 0) q. باید ارقام مهم عدد را پیدا کنیم: . بیایید عدد را به شکل بسط یافته نشان دهیم و تبدیل یکسان را انجام دهیم:

از اینجا معلوم است که آ 0 هنگام تقسیم یک عدد باقی می ماند ایکسدر هر عدد q. عبارت داخل پرانتز ضریب صحیح این تقسیم است. بیایید آن را با علامت گذاری کنیم ایکس 1. با انجام تبدیل های مشابه، به دست می آوریم:

از این رو، آ 1 باقیمانده تقسیم است ایکس 1 در هر q. با ادامه تقسیم با باقی مانده، دنباله ای از ارقام عدد مورد نظر را به دست خواهیم آورد. عدد یکدر این زنجیره تقسیمات، آخرین ضریب، کوچکتر خواهد بود q.

اجازه دهید قانون حاصل را فرموله کنیم: برای آن برای تبدیل یک عدد اعشاری صحیح به یک سیستم اعداد با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) اساس سیستم اعداد جدید را در سیستم اعداد اعشاری بیان کنید و تمام اقدامات بعدی را طبق قوانین حساب اعشاری انجام دهید.

2) عدد داده شده و ضرایب ناقص حاصل را به ترتیب بر پایه سیستم اعداد جدید تقسیم کنید تا زمانی که یک ضریب ناقص کوچکتر از مقسوم علیه بدست آوریم.

3) ترازهای حاصل را که ارقام یک عدد در سیستم اعداد جدید هستند با الفبای سیستم اعداد جدید مطابقت دهید.

4) یک عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و آن را از آخرین ضریب شروع کنید.

مثال 1.عدد 37 10 را به باینری تبدیل کنید.

برای تعیین ارقام در یک عدد از نمادگرایی استفاده می کنیم: آ 5 آ 4 آ 3 آ 2 آ 1 آ 0

از اینجا: 37 10 = l00l0l 2

مثال 2.عدد اعشاری 315 را به سیستم های هشت و هگزادسیمال تبدیل کنید:

به شرح زیر است: 315 10 = 473 8 = 13B 16. به یاد بیاورید که 11 10 = B 16.

کسر اعشاری ایکس < 1 требуется перевести в систему с основанием q: ایکس = (0, آ –1 آ –2 … آ–m+1 آ-m) q. باید ارقام مهم عدد را پیدا کنیم: آ –1 ,آ –2 , …, آ-m بیایید عدد را به صورت بسط یافته تصور کنیم و آن را در ضرب کنیم q:

از اینجا معلوم است که آ–1 ایکسدر هر عدد q. بیایید نشان دهیم ایکس 1 جزء کسری محصول و ضرب آن در q:

از این رو، آ –2 یک بخش کامل از کار وجود دارد ایکسهر عدد 1 عدد q. با ادامه ضرب، دنباله ای از اعداد به دست می آید. حالا بیایید یک قانون را تدوین کنیم: برای تبدیل کسر اعشاری به یک سیستم عددی با پایه متفاوت، شما نیاز دارید:

1) عدد داده شده و قطعات کسری حاصل از حاصل را در پایه سیستم اعداد جدید ضرب کنید تا قسمت کسری حاصل برابر با صفر شود یا دقت لازم برای نمایش عدد در سیستم اعداد جدید حاصل شود.

2) قسمت های صحیح حاصل از آثار را که ارقام عدد در سیستم اعداد جدید هستند مطابق با الفبای سیستم اعداد جدید قرار دهید.

3) قسمت کسری عدد را در سیستم اعداد جدید بنویسید و از قسمت صحیح اولین محصول شروع کنید.

مثال 3.کسر اعشاری 0.1875 را به سیستم های باینری، اکتال و هگزادسیمال تبدیل کنید.

در اینجا ستون سمت چپ شامل قسمت صحیح اعداد و ستون سمت راست شامل قسمت کسری است.

از این رو: 0.1875 10 = 0.0011 2 = 0.14 8 = 0.3 16

تبدیل اعداد مختلطشامل اجزای صحیح و کسری در دو مرحله انجام می شود. قسمت های صحیح و کسری عدد اصلی به طور جداگانه با استفاده از الگوریتم های مناسب ترجمه می شوند. در ثبت نهایی یک عدد در سیستم اعداد جدید، قسمت صحیح با یک کاما (نقطه) از قسمت کسری جدا می شود.

محاسبات باینری

طبق اصل جان فون نویمان، یک کامپیوتر محاسبات را در سیستم اعداد باینری انجام می دهد. در چارچوب دوره پایه، کافی است خود را به در نظر گرفتن محاسبات با اعداد صحیح باینری محدود کنیم. برای انجام محاسبات با اعداد چند رقمی باید قوانین جمع و قوانین ضرب اعداد تک رقمی را بدانید. این قوانین هستند:

اصل جابجایی جمع و ضرب در همه سیستم های عددی کار می کند. تکنیک های انجام محاسبات با اعداد چند رقمی در سیستم باینری شبیه به سیستم اعشاری است. به عبارت دیگر، مراحل جمع، تفریق و ضرب در یک "ستون" و تقسیم بر یک "گوشه" در سیستم باینری به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود انجام می شود.

بیایید به قوانین تفریق و تقسیم اعداد باینری نگاه کنیم. عمل تفریق معکوس جمع است. از جدول جمع بالا قوانین تفریق به شرح زیر است:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

در اینجا مثالی از تفریق اعداد چند رقمی آورده شده است:

نتیجه به‌دست‌آمده را می‌توان با اضافه کردن تفاوت با زیرمجموعه بررسی کرد. نتیجه باید یک عدد کاهشی باشد.

تقسیم عمل معکوس ضرب است. در هر سیستم عددی نمی توانید بر 0 تقسیم کنید. حاصل تقسیم بر 1 برابر است با سود تقسیمی. تقسیم یک عدد دودویی بر 10 2 اعشار را یک مکان به سمت چپ حرکت می دهد، مشابه تقسیم اعشار بر ده. مثلا:

تقسیم بر 100 نقطه اعشار را 2 مکان به سمت چپ حرکت می دهد و غیره. در دوره ابتدایی، لازم نیست مثال های پیچیده ای از تقسیم اعداد باینری چند رقمی را در نظر بگیرید. اگرچه دانش آموزان توانمند می توانند با آنها کنار بیایند، اما با درک اصول کلی.

نمایش اطلاعات ذخیره شده در حافظه کامپیوتر به شکل دودویی واقعی آن به دلیل تعداد زیاد ارقام بسیار دشوار است. این به ثبت چنین اطلاعاتی بر روی کاغذ یا نمایش آن بر روی صفحه اشاره دارد. برای این اهداف، مرسوم است که از سیستم های مختلط باینری-اکتال یا باینری-هگزادسیمال استفاده شود.

یک رابطه ساده بین نمایش باینری و هگزادسیمال یک عدد وجود دارد. هنگام تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، یک رقم هگزادسیمال مربوط به یک کد باینری چهار رقمی است. این مطابقت در جدول باینری-هگزادسیمال منعکس شده است:

جدول هگزادسیمال باینری

این ارتباط بر اساس این واقعیت است که 16 = 2 4 و تعداد ترکیب های چهار رقمی مختلف اعداد 0 و 1 16 است: از 0000 تا 1111. بنابراین تبدیل اعداد از هگزادسیمال به باینری و بالعکس از طریق تبدیل رسمی انجام می شود. طبق جدول هگزادسیمال باینری.

در اینجا مثالی از تبدیل باینری 32 بیتی به هگزادسیمال آورده شده است:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

اگر یک نمایش هگزادسیمال از اطلاعات داخلی داده شود، تبدیل آن به کد باینری آسان است. مزیت نمایش هگزا دسیمال این است که 4 برابر کوتاهتر از باینری است. برای دانش آموزان توصیه می شود که جدول باینری-هگزادسیمال را حفظ کنند. سپس در واقع برای آنها نمایش هگزا دسیمال معادل باینری خواهد شد.

در سیستم هشت دودویی، هر رقم هشتی مربوط به سه عدد از ارقام باینری است. این سیستم به شما امکان می دهد کد باینری را 3 برابر کاهش دهید.

سیستم اعداد رومییک سیستم غیر موقعیتی است. برای نوشتن اعداد از حروف الفبای لاتین استفاده می کند. در این صورت حرف I همیشه به معنی یک است، حرف V به معنی پنج، X به معنی ده، L به معنی پنجاه، C به معنای صد، D به معنای پانصد، M به معنای هزار و غیره است. مثلا عدد 264 به صورت CCLXIV نوشته می شود. هنگام نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی، مقدار یک عدد مجموع جبری ارقام موجود در آن است. در این حالت، ارقام در رکورد اعداد، به طور معمول، به ترتیب نزولی از مقادیر خود هستند و نوشتن بیش از سه رقم یکسان در کنار هم مجاز نیست. هنگامی که یک رقم با مقدار بزرگتر با یک رقم با مقدار کوچکتر دنبال می شود، سهم آن در مقدار کل عدد منفی است. نمونه های معمولی که قوانین کلی نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی را نشان می دهد در جدول آورده شده است.

جدول 2. نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی

نقطه ضعف سیستم رومی عدم وجود قوانین رسمی برای نوشتن اعداد و بر این اساس، عملیات حسابی با اعداد چند رقمی است. به دلیل ناراحتی و پیچیدگی زیاد، سیستم شماره رومی در حال حاضر در جایی که واقعا راحت است استفاده می شود: در ادبیات (شماره بندی فصل)، در طراحی اسناد (سری های گذرنامه، اوراق بهادار و غیره)، برای اهداف تزئینی روی صفحه ساعت. و در تعدادی از موارد دیگر.

سیستم اعداد اعشاری- در حال حاضر معروف ترین و مورد استفاده است. اختراع سیستم اعداد اعشاری یکی از دستاوردهای اصلی اندیشه بشر است. بدون آن، فن آوری مدرن به سختی می تواند وجود داشته باشد، بسیار کمتر بوجود می آید. دلیل اینکه سیستم اعداد اعشاری به طور کلی پذیرفته شد، اصلاً ریاضی نیست. مردم به شمارش در سیستم اعداد اعشاری عادت دارند زیرا 10 انگشت روی دستان خود دارند.

تصویر باستانی ارقام اعشاری (شکل 1) تصادفی نیست: هر رقم یک عدد را با تعداد زاویه های موجود در آن نشان می دهد. به عنوان مثال، 0 - بدون گوشه، 1 - یک گوشه، 2 - دو گوشه، و غیره. نوشتن اعداد اعشاری دستخوش تغییرات قابل توجهی شده است. شکلی که ما استفاده می کنیم در قرن شانزدهم ایجاد شد.

سیستم اعشاری اولین بار در قرن ششم پس از میلاد در هند ظاهر شد. شماره گذاری هندی از نه کاراکتر عددی و یک صفر برای نشان دادن یک موقعیت خالی استفاده می کند. در نسخه‌های خطی هندی اولیه که به دست ما رسیده است، اعداد به ترتیب معکوس نوشته شده‌اند - مهم‌ترین عدد در سمت راست قرار گرفته است. اما خیلی زود قرار دادن چنین عددی در سمت چپ به یک قانون تبدیل شد. اهمیت ویژه ای به نماد صفر که برای سیستم نشانه گذاری موقعیتی معرفی شد، داده شد. شماره گذاری هندی، از جمله صفر، تا به امروز باقی مانده است. در اروپا، روش‌های هندویی حساب اعشاری در آغاز قرن سیزدهم رایج شد. به لطف کار ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو پیزا (فیبوناچی). اروپایی ها سیستم اعداد هندی را از اعراب قرض گرفتند و آن را عربی نامیدند. این اشتباه تاریخی تا امروز ادامه دارد.

سیستم اعشاری از ده رقم 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 و 9 و همچنین از نمادهای "+" و "-" برای نشان دادن علامت یک عدد استفاده می کند. کاما یا نقطه برای جدا کردن قسمت های صحیح و اعشاری.

در کامپیوتر استفاده می شود سیستم اعداد باینریپایه آن عدد 2 است. برای نوشتن اعداد در این سیستم، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. برخلاف تصور غلط رایج، سیستم اعداد باینری نه توسط مهندسان طراحی کامپیوتر، بلکه توسط ریاضیدانان و فیلسوفان مدت ها قبل از ظهور کامپیوترها در قرن 17 قرن نوزدهم. اولین بحث منتشر شده در مورد سیستم اعداد باینری توسط کشیش اسپانیایی خوان کاراموئل لوبکوویتز (1670) است. توجه کلی به این سیستم توسط مقاله ای توسط ریاضیدان آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس که در سال 1703 منتشر شد به خود جلب کرد. این سیستم عملیات دودویی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را توضیح داد. لایب نیتس استفاده از این سیستم را برای محاسبات عملی توصیه نکرد، اما بر اهمیت آن برای تحقیقات نظری تاکید کرد. با گذشت زمان، سیستم اعداد باینری به خوبی شناخته شده و توسعه می یابد.

انتخاب یک سیستم باینری برای استفاده در فناوری کامپیوتر با این واقعیت توضیح داده می شود که عناصر الکترونیکی - محرک هایی که تراشه های کامپیوتری را تشکیل می دهند - فقط می توانند در دو حالت عملیاتی باشند.

با استفاده از سیستم کدگذاری باینری، می توانید هر داده و دانشی را ضبط کنید. اگر اصل رمزگذاری و انتقال اطلاعات با استفاده از کد مورس را به خاطر بیاوریم، به راحتی قابل درک است. اپراتور تلگراف با استفاده از تنها دو علامت از این الفبا - نقطه و خط تیره - می تواند تقریباً هر متنی را منتقل کند.

سیستم باینری برای رایانه مناسب است، اما برای یک فرد ناخوشایند است: نوشتن و به خاطر سپردن اعداد طولانی و دشوار است. البته، می توانید عدد را به سیستم اعشاری تبدیل کنید و به این شکل بنویسید، و سپس، زمانی که باید آن را برگردانید، اما همه این ترجمه ها کار فشرده هستند. بنابراین، از سیستم های اعداد مربوط به باینری استفاده می شود - اکتال و هگزادسیمال. برای نوشتن اعداد در این سیستم ها به ترتیب 8 و 16 رقم لازم است. در هگزادسیمال، 10 رقم اول رایج است و سپس از حروف بزرگ لاتین استفاده می شود. رقم هگزادسیمال A مربوط به عدد اعشاری 10، هگزادسیمال B به عدد اعشاری 11 و غیره است. در زیر جدول تناظر بین اعداد نوشته شده در سیستم های مختلف آورده شده است.

جدول 3. مطابقت اعداد نوشته شده در سیستم های اعداد مختلف

اعشاری	دودویی	هشتی	هگزادسیمال

ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. طول اعداد نباید بیشتر از 30 کاراکتر باشد. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.

شماره اصلی نوشته شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ام سیستم اعداد.

من می خواهم شماره ای را در آن نوشته شود 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.

ورود دریافت کنید

ترجمه های تکمیل شده: 3336969

همچنین ممکن است علاقه مند باشید:

ماشین حساب جدول حقیقت SDNF. SKNF. چند جمله ای ژگالکین

سیستم های اعداد

سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، اما سیستم رومی نیز وجود دارد - این سیستم موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به برخی از اعداد به عنوان مثال، درک این موضوع آسان است.

مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. بیایید با شروع از صفر عدد را از راست به چپ شماره گذاری کنیم:

عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت یک عدد معین به عنوان توان در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:

عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

ساده ترین راه برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری و سپس نتیجه حاصل را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:

1. عدد 1001101.1101 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. عدد E8F.2D 16 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه تبدیل شوند.

تبدیل یک عدد صحیح از یک عدد اعشاری به سیستم عددی دیگر

یک قسمت صحیح از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر با تقسیم متوالی قسمت صحیح یک عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از پایه سیستم اعداد بدست آید. نتیجه ترجمه یک رکورد باقیمانده خواهد بود که از آخرین مورد شروع می شود.

3. عدد 273 10 را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1. 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2. 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد موجود در ترازها به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8

بیایید ترجمه کسرهای اعشاری منظم را به سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.

تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به صورت متوالی در N ضرب کنید تا قسمت کسری به صفر برسد یا تعداد ارقام لازم به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با جزء صحیح غیر از صفر به دست آید، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.

4. عدد 0.125 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
راه حل: 0.125·2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25·2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5·2 = 1.0 (1 رقم سوم است. از نتیجه، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2

3.1. مفاهیم اساسی سیستم های اعداد

3.2. انواع سیستم اعداد

3.3. قوانین تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

3.4. مواد پشتیبانی مصور

3.5. آزمایش کردن

3.6. کنترل سوالات

مردمان مختلف در زمان های مختلف از سیستم های اعداد متفاوتی استفاده می کردند. ردپای سیستم های شمارش باستانی امروزه هنوز در فرهنگ بسیاری از مردم یافت می شود. تقسیم یک ساعت به 60 دقیقه و یک زاویه به 360 درجه به بابل باستان برمی گردد. به روم باستان - سنت نوشتن اعداد I، II، III و غیره با نماد رومی. از نظر آنگلوساکسون ها - شمارش ده ها: در سال 12 ماه وجود دارد، هر پا 12 اینچ، روز برابر است. به 2 دوره 12 ساعته تقسیم شده است.

بر اساس داده های مدرن، سیستم های شماره گذاری توسعه یافته برای اولین بار در مصر باستان ظاهر شد. مصریان برای نوشتن اعداد از هیروگلیف های یک، ده، صد، هزار و غیره استفاده می کردند. تمام اعداد دیگر با استفاده از این هیروگلیف ها و عمل جمع نوشته شده اند. از معایب این سیستم عدم توانایی در نوشتن اعداد زیاد و دست و پا گیر بودن آن است.

در نهایت، محبوب ترین سیستم اعداد، سیستم اعشاری بود. سیستم اعداد اعشاری از هند آمد، جایی که نه دیرتر از قرن ششم ظاهر شد. n ه. فقط 10 عدد در آن وجود دارد: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، اما نه تنها عدد حاوی اطلاعات است، بلکه موقعیتی که در آن قرار دارد نیز دارد. در عدد 444 سه رقم یکسان تعداد واحدها، ده ها و صدها را نشان می دهد. اما در عدد 400، رقم اول تعداد صدها را نشان می دهد؛ دو 0 به خودی خود به عدد کمک نمی کنند، بلکه فقط برای نشان دادن موقعیت عدد 4 مورد نیاز هستند.

3.1. مفاهیم اساسی سیستم های اعداد

نشانه گذاریمجموعه ای از قوانین و تکنیک ها برای نوشتن اعداد با استفاده از مجموعه ای از کاراکترهای دیجیتال است. به تعداد ارقام مورد نیاز برای نوشتن یک عدد در سیستم گفته می شود پایه سیستم اعداد. پایه سیستم در سمت راست عدد در زیرنویس نوشته شده است: ;;و غیره.

دو نوع سیستم اعداد وجود دارد:

موضعی، زمانی که مقدار هر رقم از یک عدد با موقعیت آن در نماد اعداد تعیین می شود.

غیر موضعی، زمانی که مقدار یک رقم در یک عدد به جایگاه آن در نماد عدد بستگی ندارد.

نمونه ای از سیستم اعداد غیر موقعیتی، رومی است: اعداد IX، IV، XV و غیره.

نمونه ای از سیستم اعداد موقعیتی، سیستم اعشاری است که هر روز استفاده می شود.

هر عدد صحیح در سیستم موقعیتی را می توان به صورت چند جمله ای نوشت:

که در آن S پایه سیستم اعداد است.

ارقام یک عدد نوشته شده در یک سیستم عددی معین.

n تعداد ارقام عدد است.

مثال.عدد به صورت چند جمله ای به صورت زیر نوشته می شود :

3.2. انواع سیستم اعداد

جدول 2. نوشتن اعداد در سیستم اعداد رومی

جدول 3. مطابقت اعداد نوشته شده در سیستم های اعداد مختلف

اعشاری	دودویی	هشتی	هگزادسیمال

در دستگاه های دیجیتال شما باید با انواع مختلفی از اطلاعات سر و کار داشته باشید. این اطلاعات باینری خالص است، مانند روشن یا خاموش بودن دستگاه، کارکرد یا عدم کارکرد دستگاه. اطلاعات را می توان در قالب متون ارائه کرد و سپس حروف الفبا باید با استفاده از سطوح سیگنال باینری رمزگذاری شوند. اغلب اطلاعات می تواند به شکل اعداد باشد. اعداد را می توان در سیستم های اعداد مختلف نشان داد. شکلی که اعداد در آنها نوشته می شود به طور قابل توجهی با یکدیگر متفاوت است، بنابراین، قبل از اینکه به ویژگی های نمایش اعداد در فناوری دیجیتال بپردازیم، ثبت آنها را در سیستم های اعداد مختلف در نظر خواهیم گرفت.

سیستم های اعداد

بیایید با تعریف سیستم اعداد شروع کنیم. سیستم اعداد مجموعه ای از قوانین برای نوشتن اعداد در نمادهای دیجیتال است. سیستم های اعداد می توانند موقعیتی و غیر موقعیتی باشند. در حال حاضر، هر دو سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی به طور گسترده ای هم در فناوری و هم در زندگی روزمره استفاده می شوند. اجازه دهید ابتدا نمونه هایی از سیستم های اعداد غیر موقعیتی را در نظر بگیریم.

شکل رومی نوشتن اعداد معمولاً به عنوان یک نمونه کلاسیک از سیستم اعداد غیر موقعیتی ذکر می شود. با این حال، این تنها سیستم اعداد غیر موقعیتی نیست که در حال حاضر استفاده می شود.

در حال حاضر، مانند زمان های قدیم، به اصطلاح "چوب" برای ثبت اعداد استفاده می شود. این شکل از نوشتن اعداد قابل درک ترین است و برای نوشتن یک عدد فقط به یک کاراکتر نیاز دارد. عدد از مجموع این "چوب ها" تشکیل می شود. با این حال، هنگام نوشتن اعداد بزرگ، ناراحتی هایی ایجاد می شود. عدد بزرگ است و خواندن آن دشوار است.

در نسخه بعدی سیستم اعداد غیر موقعیتی، چندین نماد (رقم) شروع به استفاده کردند. هر عدد نشان دهنده تعداد واحدهای متفاوتی است. عدد نهایی مانند نسخه قبلی از مجموع ارقام تشکیل می شود. چشمگیرترین گزینه برای استفاده از چنین سیستم عددی روابط پولی است. ما هر روز با آنها روبرو می شویم. در اینجا هرگز به ذهن کسی خطور نمی کند که مبلغی که برای خرید مواد غذایی می پردازیم ممکن است به ترتیب چیدن سکه ها روی میز بستگی داشته باشد! ارزش یک سکه یا اسکناس به ترتیبی که از کیف پول برداشته شده است بستگی ندارد. این یک مثال کلاسیک از یک سیستم اعداد غیر موقعیتی است.

با این حال، هر چه عددی که باید در چنین سیستم عددی نمایش داده شود بزرگتر باشد، تعداد ارقام مورد نیاز برای این کار بیشتر است. سیستم های اعداد موقعیتی نسبتاً اخیراً اختراع شده اند تا تعداد ارقام مورد استفاده برای نوشتن اعداد را ذخیره کنند.

معنای یک رقم در سیستم اعداد موقعیتی به موقعیت آن در عددی که نوشته می شود بستگی دارد. در سیستم اعداد موقعیتی، دو مفهوم بسیار مهم ظاهر می شود - پایه سیستم اعداد و وزن رقم. واقعیت این است که در سیستم اعداد موقعیتی، یک عدد به عنوان فرمول بسط نمایش داده می شود:

A p =a n p n +a n-1 p n-1 +...+a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +... +a -k p -k

که در آن p پایه سیستم اعداد است
p i - وزن واحد یک رقم معین
a - ارقام مجاز در این سیستم اعداد.

علاوه بر این، تعداد ارقام در سیستم اعداد به پایه بستگی دارد. تعداد ارقام برابر با پایه سیستم اعداد است. باینری دارای دو رقم، اعشاری دارای ده و هگزادسیمال دارای شانزده رقم است. یک عدد در هر سیستم عددی موقعیتی به صورت دنباله ای از ارقام نوشته می شود:

A=a n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 ,a -1 a -2 ...a -k ,

که در آن ai ارقام یک سیستم عددی معین است و عدد مربوط به واحدها با موقعیت نقطه اعشار (یا نقطه اعشار در کشورهای انگلیسی زبان) تعیین می شود. به هر رقمی که در نوشتن یک عدد استفاده می شود، رقم می گویند.

در حال حاضر از چه سیستم های عددی استفاده می شود؟ اولین پاسخی که انتظار دارم سیستم اعداد اعشاری است. چه چیز دیگری؟ بله تعجب نکنید! ما به طور گسترده ای از سیستم های اعداد دیگر استفاده می کنیم! فقط به دست چپت نگاه کن در آنجا یک ساعت خواهیم دید. چند دقیقه در یک ساعت مناسب است؟ شصت! چند ثانیه در یک دقیقه جا می شود؟ شصت! نشانه هایی از سیستم اعداد جنسی کوچک وجود دارد. این ارثی از سیستم اعداد بابلی باستانی است که اروپایی ها همراه با قطب نما و ساعت آن را از اعراب قرض گرفته بودند.

نمونه های دیگری وجود دارد؟ بله، هر چقدر که دوست دارید! کارت قطب نما به هشت نقطه تقسیم می شود. چرا سیستم اعداد هشتگانه نه؟ روسیه چند وقت پیش نیم کوپک (یک چهارم کوپک) یا گروشن (نیم کوپک) را کنار گذاشت؟ و ارزش بعدی سکه دو کوپک است! چرا سیستم اعداد باینری نیست؟

بیایید نگاهی دقیق‌تر به سیستم‌های اعدادی که بیشتر در فناوری دیجیتال استفاده می‌شوند بیندازیم.

سیستم اعداد اعشاری

پایه این سیستم عددی p برابر با ده است. این سیستم اعداد از ده رقم استفاده می کند. در حال حاضر، نمادهای مورد استفاده برای نشان دادن این اعداد عبارتند از 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. یک عدد در سیستم اعداد اعشاری به صورت مجموع واحدها، ده ها، صدها، هزاران نوشته می شود. ، و غیره. یعنی وزن ارقام مجاور با ضریب ده متفاوت است. اعداد کوچکتر از یک به همین ترتیب نوشته می شوند. در این صورت به ارقام عدد دهم، صدم یا هزارم واحد گفته می شود.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. برای اینکه نشان دهیم که مثال از سیستم اعداد اعشاری استفاده می کند، از شاخص 10 استفاده می کنیم. اگر علاوه بر شکل اعشاری نوشتن اعداد، هیچ شکل دیگری از ضبط برای استفاده در نظر گرفته نشده است، معمولاً از شاخص استفاده نمی شود:

A 10 =247.56 10 =2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0.5 10 +0 0.06 10

در اینجا مهم ترین رقم عدد صدها نامیده می شود. در مثال بالا صدها با عدد 2 مطابقت دارند. رقم بعدی ده نامیده می شود. در مثال بالا عدد 4 برابر با ده هاست. رقم بعدی یک نامیده می شود. در مثال بالا، واحدها با عدد 7 مطابقت دارند.

سیستم اعداد باینری

پایه این سیستم عددی p برابر است با دو. این سیستم اعداد از دو رقم استفاده می کند. برای اینکه نمادهای جدیدی برای نشان دادن اعداد اختراع نشود، از نمادهای ارقام اعشاری 0 و 1 در سیستم اعداد باینری استفاده شد. برای اینکه سیستم اعداد در نوشتن یک عدد اشتباه نشود، از شاخص 2 استفاده می شود. علاوه بر شکل باینری نوشتن اعداد، هیچ فرم دیگری برای استفاده در نظر گرفته نشده است، سپس این شاخص را می توان حذف کرد.

یک عدد در این سیستم اعداد به صورت مجموع یک، دو، چهار، هشت و ... نوشته می شود. یعنی وزن ارقام مجاور ضریب دو متفاوت است. اعداد کوچکتر از یک به همین ترتیب نوشته می شوند. در این صورت ارقام عدد را نصف، ربع یا هشتم واحد می نامند.

بیایید به مثالی از نوشتن یک عدد باینری نگاه کنیم:

A 2 =101110.101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1* 2 -3 = 32 10 + 8 10 + 4 10 + 2 10 + 0.5 10 + 0.125 10 = 46.625 10

وقتی در خط دوم مثالی از معادل‌های اعشاری ارقام دودویی را می‌نویسیم، توان‌های دو را که در صفر ضرب می‌شوند ننوشتیم، زیرا این فقط منجر به به هم ریختگی فرمول می‌شود و در نتیجه درک مطلب را دشوار می‌کند. .

یکی از معایب سیستم اعداد باینری را می توان تعداد زیاد ارقام مورد نیاز برای نوشتن اعداد در نظر گرفت. مزیت این سیستم اعداد سهولت در انجام عملیات حسابی است که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.

سیستم اعداد هشتگانه

پایه این سیستم عددی p برابر با هشت است. سیستم اعداد هشتگانه را می توان راهی کوتاهتر برای نوشتن اعداد باینری در نظر گرفت، زیرا عدد هشت توان دو است. این سیستم اعداد از هشت رقم استفاده می کند. برای اینکه نمادهای جدیدی برای نشان دادن اعداد اختراع نشود، از نمادهای اعشاری 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 و 7 در سیستم اعداد اکتالی استفاده شد و برای اینکه سیستم اعداد اشتباه نشود، از شاخص 8 استفاده شد. در نوشتن عدد استفاده می شود.علاوه بر شکل هشتی نوشتن اعداد، انتظار نمی رود شکل دیگری از علامت گذاری استفاده شود، سپس این شاخص را می توان حذف کرد.

یک عدد در این سیستم اعداد به صورت مجموع یک ها، هشت ها، شصت و چهار و غیره نوشته می شود. یعنی وزن ارقام مجاور با ضریب هشت متفاوت است. اعداد کوچکتر از یک به همین ترتیب نوشته می شوند. در این صورت ارقام عدد هشتم، شصت و چهار و غیره کسری از یک نامیده می شوند.

بیایید به مثالی از نوشتن یک عدد اکتال نگاه کنیم:

A 8 =125.46 8 =1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 /64 10 = 85.59375 10

خط دوم مثال بالا در واقع عددی را که به شکل هشتی نوشته شده است به نمایش دهدهی همان عدد تبدیل می کند. یعنی ما در واقع به یکی از راه‌های تبدیل اعداد از یک شکل نمایش به شکل دیگر نگاه کردیم.

از آنجایی که فرمول از کسرهای ساده استفاده می کند، ممکن است که ترجمه دقیق از یک شکل نمایش به شکل دیگر غیرممکن شود. در این مورد، آنها به تعداد مشخصی از ارقام کسری محدود می شوند.

سیستم اعداد هگزادسیمال

پایه این سیستم عددی p برابر با شانزده است. این سیستم اعداد را می توان گزینه دیگری برای نوشتن یک عدد باینری در نظر گرفت. این سیستم اعداد از شانزده رقم استفاده می کند. در اینجا ده رقم از دست رفته وجود دارد، بنابراین باید شش رقم از دست رفته را پیدا کنیم.

برای تعیین این اعداد می توانید از حروف اول الفبای لاتین استفاده کنید. هنگام نوشتن یک عدد هگزادسیمال، مهم نیست که از حروف بزرگ یا کوچک به عنوان اعداد استفاده شود. کاراکترهای استفاده شده در سیستم هگزادسیمال عبارتند از 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F.

از آنجایی که اعداد جدید در اینجا ظاهر می شوند، جدولی از مطابقت این اعداد با مقادیر اعشاری ارائه می کنیم.

جدول 6.جدول ارقام هگزادسیمال تا اعشار

یک عدد در این سیستم اعداد به صورت مجموع یک ها، اعداد شانزده، دویست و پنجاه و شش و غیره نوشته می شود. یعنی وزن ارقام مجاور شانزده برابر است. اعداد کوچکتر از یک به همین ترتیب نوشته می شوند. در این صورت به ارقام عدد شانزدهم، دویست و پنجاه و ششم و غیره کسری از یک می گویند.

بیایید به مثالی از نوشتن یک عدد هگزادسیمال نگاه کنیم:

A 16 =2AF,C4 16 =2*16 2 +10*16 1 +15*16 0 +12*16 -1 +4*16 -2 = 512 10 +160 10 +15 10 +12 10 /16 10 + 4 10 / 254 10 = 687.765625 10

از مثال های داده شده از نوشتن اعداد در سیستم های اعداد مختلف، کاملاً واضح است که برای نوشتن یک عدد با دقت یکسان در سیستم های اعداد مختلف، تعداد ارقام متفاوتی لازم است. هرچه پایه سیستم اعداد بزرگتر باشد، برای نوشتن همان عدد به ارقام کمتری نیاز است.

ادبیات:

همراه با مقاله “سیستم های اعداد” را بخوانید:

راهنما در Tele2، تعرفه ها، سوالات