Βοήθεια για το Tele2, τιμολόγια, ερωτήσεις

Σημειογραφία - αυτός είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αριθμών και των αντίστοιχων κανόνων για τη λειτουργία των αριθμών. Τα διάφορα συστήματα αριθμών που υπήρχαν στο παρελθόν και που χρησιμοποιούνται σήμερα μπορούν να χωριστούν σε μη θέσειςΚαι θέσεως. Σημάδια που χρησιμοποιούνται όταν γράφουμε αριθμούς, λέγονται σε αριθμούς.

ΣΕ μη θέσεων αριθμητικών συστημάτων η σημασία ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.

Ένα παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση είναι το ρωμαϊκό σύστημα (ρωμαϊκοί αριθμοί). Στο ρωμαϊκό σύστημα, τα λατινικά γράμματα χρησιμοποιούνται ως αριθμοί:

Παράδειγμα 1.Ο αριθμός CCXXXII αποτελείται από διακόσιες, τρεις δεκάδες και δύο μονάδες και είναι ίσος με διακόσιες τριάντα δύο.

Στους λατινικούς αριθμούς, οι αριθμοί γράφονται από αριστερά προς τα δεξιά με φθίνουσα σειρά. Σε αυτή την περίπτωση, οι τιμές τους προστίθενται μαζί. Αν ένας μικρότερος αριθμός είναι γραμμένος στα αριστερά και ένας μεγαλύτερος στα δεξιά, τότε οι τιμές τους αφαιρούνται.

Παράδειγμα 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Παράδειγμα 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

ΣΕ συστήματα αριθμών θέσης η τιμή που συμβολίζεται με ένα ψηφίο σε έναν αριθμό συμβολισμού εξαρτάται από τη θέση του. Ο αριθμός των ψηφίων που χρησιμοποιούνται ονομάζεται βάση του συστήματος αριθμών θέσης.

Το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται στα σύγχρονα μαθηματικά είναι δεκαδικό σύστημα θέσης. Η βάση του είναι δέκα, γιατί Τυχόν αριθμοί γράφονται με δέκα ψηφία:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Η φύση της θέσης αυτού του συστήματος είναι εύκολα κατανοητή χρησιμοποιώντας το παράδειγμα οποιουδήποτε πολυψήφιου αριθμού. Για παράδειγμα, στον αριθμό 333, τα τρία πρώτα σημαίνουν τρεις εκατοντάδες, το δεύτερο - τρεις δεκάδες, το τρίτο - τρεις.

Για να γράψετε αριθμούς σε σύστημα θέσης με ρίζα nΠρέπει να έχουν αλφάβητοαπό nαριθμοί Συνήθως για αυτό n < 10 используют nοι πρώτοι αραβικοί αριθμοί και πότε n> 10 γράμματα προστίθενται σε δέκα αραβικούς αριθμούς. Ακολουθούν παραδείγματα αλφαβήτων πολλών συστημάτων:

Εάν πρέπει να υποδείξετε τη βάση του συστήματος στο οποίο ανήκει ένας αριθμός, τότε του εκχωρείται δείκτης σε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Σε αριθμητικό σύστημα με βάση q (q-αρικό σύστημα αριθμών) οι μονάδες των ψηφίων είναι διαδοχικές δυνάμεις ενός αριθμού q. qμονάδες οποιασδήποτε κατηγορίας αποτελούν μονάδα της επόμενης κατηγορίας. Για να γράψετε έναν αριθμό q- Απαιτείται σύστημα αριθμών qδιάφορα σημάδια (ψηφία) που αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς 0, 1, ..., q– 1. Γράψιμο ενός αριθμού q V q-Το αριστικό σύστημα αριθμών έχει τη μορφή 10.

Διευρυμένη μορφή γραφής αριθμού

Αφήνω Aq- αριθμός στο βασικό σύστημα q, αι -ψηφία ενός δεδομένου συστήματος αριθμών που υπάρχουν στην εγγραφή αριθμών ΕΝΑ, n+ 1 - ο αριθμός των ψηφίων του ακέραιου μέρους του αριθμού, Μ- αριθμός ψηφίων του κλασματικού μέρους του αριθμού:

Διευρυμένη μορφή του αριθμού ΕΝΑονομάζεται εγγραφή με τη μορφή:

Για παράδειγμα, για έναν δεκαδικό αριθμό:

Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν τη διευρυμένη μορφή δεκαεξαδικών και δυαδικών αριθμών:

Σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών, η βάση του γράφεται ως 10.

Εάν όλοι οι όροι στη διευρυμένη μορφή ενός μη δεκαδικού αριθμού αντιπροσωπεύονται στο δεκαδικό σύστημα και η παράσταση που προκύπτει υπολογίζεται σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής, τότε θα ληφθεί ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα ίσος με τον δεδομένο. Αυτή η αρχή χρησιμοποιείται για τη μετατροπή από το μη δεκαδικό σύστημα στο δεκαδικό σύστημα. Για παράδειγμα, η μετατροπή των αριθμών που γράφτηκαν παραπάνω στο δεκαδικό σύστημα γίνεται ως εξής:

Μετατροπή δεκαδικών αριθμών σε άλλα συστήματα αριθμών

Μετατροπή ακέραιου αριθμού

Ολόκληρος δεκαδικός αριθμός Χπρέπει να μετατραπεί σε σύστημα με βάση q: Χ = (ένα n ένα n-1 …ένα 1 ένα 0) q. Πρέπει να βρούμε τα σημαντικά ψηφία του αριθμού: . Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε διευρυμένη μορφή και ας εκτελέσουμε τον ίδιο μετασχηματισμό:

Από αυτό είναι σαφές ότι ένα 0 υπάρχει υπόλοιπο κατά τη διαίρεση ενός αριθμού Χανά αριθμό q. Η έκφραση σε αγκύλες είναι το ακέραιο πηλίκο αυτής της διαίρεσης. Ας το χαρακτηρίσουμε με Χ 1. Πραγματοποιώντας παρόμοιους μετασχηματισμούς, παίρνουμε:

Ως εκ τούτου, ένα 1 είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης Χ 1 ανά q. Συνεχίζοντας τη διαίρεση με το υπόλοιπο, θα λάβουμε μια ακολουθία ψηφίων του επιθυμητού αριθμού. Αριθμός ένασε αυτή την αλυσίδα των διαιρέσεων θα είναι το τελευταίο πηλίκο, τόσο μικρότερο q.

Ας διατυπώσουμε τον κανόνα που προκύπτει: γι'αυτό για να μετατρέψετε έναν ακέραιο δεκαδικό αριθμό σε σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση, χρειάζεστε:

1) εκφράστε τη βάση του νέου συστήματος αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και πραγματοποιήστε όλες τις επόμενες ενέργειες σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής.

2) διαιρέστε διαδοχικά τον δεδομένο αριθμό και τα προκύπτοντα ημιτελή πηλίκα με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών μέχρι να λάβουμε ένα ημιτελές πηλίκο που είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.

3) να φέρετε τα υπόλοιπα που προκύπτουν, τα οποία είναι ψηφία ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, σύμφωνα με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.

4) συνθέστε έναν αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών, γράφοντάς τον ξεκινώντας από το τελευταίο πηλίκο.

Παράδειγμα 1.Μετατρέψτε τον αριθμό 37 10 σε δυαδικό.

Για να ορίσουμε ψηφία σε έναν αριθμό χρησιμοποιούμε συμβολισμό: ένα 5 ένα 4 ένα 3 ένα 2 ένα 1 ένα 0

Από εδώ: 37 10 = l00l0l 2

Παράδειγμα 2.Μετατρέψτε τον δεκαδικό αριθμό 315 σε οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα:

Ακολουθεί: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Θυμηθείτε ότι 11 10 = B 16.

Δεκαδικό κλάσμα Χ < 1 требуется перевести в систему с основанием q: Χ = (0, ένα –1 ένα –2 … ένα–m+1 ένα–m)q. Πρέπει να βρούμε τα σημαντικά ψηφία του αριθμού: ένα –1 ,ένα –2 , …, ένα-Μ. Ας φανταστούμε τον αριθμό σε διευρυμένη μορφή και ας τον πολλαπλασιάσουμε επί q:

Από αυτό είναι σαφές ότι ένα–1 Χανά αριθμό q. Ας υποδηλώσουμε με Χ 1 κλασματικό μέρος του γινομένου και πολλαπλασιάστε το επί q:

Ως εκ τούτου, ένα –2 υπάρχει ένα ολόκληρο μέρος της δουλειάς Χ 1 ανά αριθμό q. Συνεχίζοντας τον πολλαπλασιασμό, θα λάβουμε μια ακολουθία αριθμών. Τώρα ας διατυπώσουμε έναν κανόνα: για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση, χρειάζεστε:

1) πολλαπλασιάστε διαδοχικά τον δεδομένο αριθμό και τα προκύπτοντα κλασματικά μέρη των προϊόντων με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών έως ότου το κλασματικό μέρος του γινομένου γίνει ίσο με μηδέν ή επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια αναπαράστασης του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.

2) να φέρει τα ακέραια μέρη των έργων που προκύπτουν, τα οποία είναι ψηφία του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, σύμφωνα με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.

3) συνθέστε το κλασματικό μέρος του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, ξεκινώντας από το ακέραιο μέρος του πρώτου γινομένου.

Παράδειγμα 3.Μετατρέψτε το δεκαδικό κλάσμα 0,1875 σε δυαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα.

Εδώ η αριστερή στήλη περιέχει το ακέραιο μέρος των αριθμών και η δεξιά στήλη περιέχει το κλασματικό μέρος.

Ως εκ τούτου: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Μετατροπή μικτών αριθμώνπου περιέχει ακέραια και κλασματικά μέρη πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αρχικού αριθμού μεταφράζονται χωριστά χρησιμοποιώντας κατάλληλους αλγόριθμους. Στην τελική καταγραφή ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, το ακέραιο μέρος χωρίζεται από το κλασματικό μέρος με κόμμα (κουκκίδα).

Δυαδικοί υπολογισμοί

Σύμφωνα με την αρχή του John von Neumann, ένας υπολογιστής εκτελεί υπολογισμούς στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Στο πλαίσιο του βασικού μαθήματος, αρκεί να περιοριστούμε στην εξέταση υπολογισμών με δυαδικούς ακέραιους αριθμούς. Για να εκτελέσετε υπολογισμούς με πολυψήφιους αριθμούς, πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες πρόσθεσης και τους κανόνες πολλαπλασιασμού μονοψήφιων αριθμών. Αυτοί είναι οι κανόνες:

Η αρχή της μεταβλητότητας της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού λειτουργεί σε όλα τα συστήματα αριθμών. Οι τεχνικές για την εκτέλεση υπολογισμών με πολυψήφιους αριθμούς στο δυαδικό σύστημα είναι παρόμοιες με το δεκαδικό σύστημα. Με άλλα λόγια, οι διαδικασίες πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού με «στήλη» και διαίρεσης με «γωνία» στο δυαδικό σύστημα εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως στο δεκαδικό σύστημα.

Ας δούμε τους κανόνες για την αφαίρεση και τη διαίρεση δυαδικών αριθμών. Η πράξη της αφαίρεσης είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης. Από τον παραπάνω πίνακα πρόσθεσης ακολουθούν οι κανόνες αφαίρεσης:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα αφαίρεσης πολυψήφιων αριθμών:

Το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να ελεγχθεί προσθέτοντας τη διαφορά με το υπόστρωμα. Το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ένας φθίνων αριθμός.

Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης με το 1 είναι ίσο με το μέρισμα. Η διαίρεση ενός δυαδικού αριθμού με το 10 2 μετακινεί το δεκαδικό ψηφίο μία θέση προς τα αριστερά, παρόμοια με τη διαίρεση ενός δεκαδικού με το δέκα. Για παράδειγμα:

Η διαίρεση με το 100 μετακινεί την υποδιαστολή 2 θέσεις προς τα αριστερά κ.λπ. Στο βασικό μάθημα, δεν χρειάζεται να εξετάσετε πολύπλοκα παραδείγματα διαίρεσης πολυψήφιων δυαδικών αριθμών. Αν και ικανοί μαθητές μπορούν να τα αντιμετωπίσουν, κατανοώντας τις γενικές αρχές.

Η αναπαράσταση πληροφοριών που είναι αποθηκευμένες στη μνήμη του υπολογιστή στην πραγματική τους δυαδική μορφή είναι αρκετά επαχθής λόγω του μεγάλου αριθμού ψηφίων. Αυτό αναφέρεται στην εγγραφή τέτοιων πληροφοριών σε χαρτί ή στην εμφάνισή τους στην οθόνη. Για τους σκοπούς αυτούς, συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται μικτά δυαδικά-οκταδικά ή δυαδικά-δεκαεξαδικά συστήματα.

Υπάρχει μια απλή σχέση μεταξύ δυαδικής και δεκαεξαδικής αναπαράστασης ενός αριθμού. Κατά τη μετατροπή ενός αριθμού από ένα σύστημα σε άλλο, ένα δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε έναν τετραψήφιο δυαδικό κωδικό. Αυτή η αντιστοιχία αντικατοπτρίζεται στον δυαδικό-δεκαεξαδικό πίνακα:

Δυαδικός δεκαεξαδικός πίνακας

Αυτή η σύνδεση βασίζεται στο γεγονός ότι 16 = 2 4 και ο αριθμός των διαφορετικών τετραψήφιων συνδυασμών των αριθμών 0 και 1 είναι 16: από 0000 έως 1111. Επομένως η μετατροπή αριθμών από δεκαεξαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα γίνεται μέσω επίσημης μετατροπής σύμφωνα με δυαδικό δεκαεξαδικό πίνακα.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα μετατροπής δυαδικού 32-bit σε δεκαεξαδικό:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Εάν δοθεί μια δεκαεξαδική αναπαράσταση εσωτερικών πληροφοριών, τότε είναι εύκολο να μετατραπεί σε δυαδικό κώδικα. Το πλεονέκτημα της δεκαεξαδικής αναπαράστασης είναι ότι είναι 4 φορές μικρότερη από τη δυαδική. Συνιστάται οι μαθητές να απομνημονεύουν τον δυαδικό-δεκαεξαδικό πίνακα. Τότε πράγματι για αυτούς η δεκαεξαδική αναπαράσταση θα γίνει ισοδύναμη με τη δυαδική.

Στο δυαδικό οκταδικό σύστημα, κάθε οκταδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε μια τριάδα δυαδικών ψηφίων. Αυτό το σύστημα σάς επιτρέπει να μειώσετε τον δυαδικό κώδικα κατά 3 φορές.

Ρωμαϊκό σύστημα αριθμώνείναι ένα σύστημα μη θέσης. Χρησιμοποιεί γράμματα του λατινικού αλφαβήτου για να γράψει αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, το γράμμα I σημαίνει πάντα ένα, το γράμμα V σημαίνει πέντε, το Χ σημαίνει δέκα, το L σημαίνει πενήντα, το C σημαίνει εκατό, το D σημαίνει πεντακόσια, το M σημαίνει χίλια κ.λπ. Για παράδειγμα, ο αριθμός 264 γράφεται ως CCLXIV. Όταν γράφουμε αριθμούς στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών, η τιμή ενός αριθμού είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ψηφίων που περιλαμβάνονται σε αυτόν. Στην περίπτωση αυτή, τα ψηφία της εγγραφής αριθμών είναι, κατά κανόνα, σε φθίνουσα σειρά των τιμών τους και δεν επιτρέπεται να γράφονται περισσότερα από τρία ίδια ψηφία δίπλα-δίπλα. Όταν ένα ψηφίο με μεγαλύτερη τιμή ακολουθείται από ένα ψηφίο με μικρότερη τιμή, η συμβολή του στην τιμή του αριθμού στο σύνολό του είναι αρνητική. Τυπικά παραδείγματα που επεξηγούν τους γενικούς κανόνες για τη γραφή αριθμών στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δίνονται στον πίνακα.

Πίνακας 2. Γράψιμο αριθμών στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα

Το μειονέκτημα του ρωμαϊκού συστήματος είναι η έλλειψη τυπικών κανόνων για τη γραφή αριθμών και, κατά συνέπεια, αριθμητικές πράξεις με πολυψήφιους αριθμούς. Λόγω της ταλαιπωρίας και της μεγάλης πολυπλοκότητάς του, το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών χρησιμοποιείται επί του παρόντος όπου είναι πραγματικά βολικό: στη βιβλιογραφία (αρίθμηση κεφαλαίων), στο σχεδιασμό εγγράφων (σειρές διαβατηρίων, χρεόγραφα κ.λπ.), για διακοσμητικούς σκοπούς σε ένα καντράν ρολογιού και σε μια σειρά από άλλες περιπτώσεις.

Σύστημα δεκαδικών αριθμών- αυτή τη στιγμή το πιο διάσημο και χρησιμοποιημένο. Η εφεύρεση του δεκαδικού συστήματος αριθμών είναι ένα από τα κύρια επιτεύγματα της ανθρώπινης σκέψης. Χωρίς αυτήν, η σύγχρονη τεχνολογία δύσκολα θα μπορούσε να υπάρξει, πολύ περισσότερο να προκύψει. Ο λόγος για τον οποίο το σύστημα δεκαδικών αριθμών έγινε γενικά αποδεκτό δεν είναι καθόλου μαθηματικός. Οι άνθρωποι συνηθίζουν να μετρούν στο σύστημα δεκαδικών αριθμών επειδή έχουν 10 δάχτυλα στα χέρια τους.

Η αρχαία εικόνα των δεκαδικών ψηφίων (Εικ. 1) δεν είναι τυχαία: κάθε ψηφίο αντιπροσωπεύει έναν αριθμό με τον αριθμό των γωνιών σε αυτό. Για παράδειγμα, 0 - χωρίς γωνίες, 1 - μία γωνία, 2 - δύο γωνίες κ.λπ. Η γραφή των δεκαδικών αριθμών έχει υποστεί σημαντικές αλλαγές. Η μορφή που χρησιμοποιούμε καθιερώθηκε τον 16ο αιώνα.

Το δεκαδικό σύστημα πρωτοεμφανίστηκε στην Ινδία γύρω στον 6ο αιώνα μ.Χ. Η ινδική αρίθμηση χρησιμοποίησε εννέα αριθμητικούς χαρακτήρες και ένα μηδέν για να υποδείξει μια κενή θέση. Στα πρώτα ινδικά χειρόγραφα που έφτασαν σε εμάς, οι αριθμοί γράφονταν με αντίστροφη σειρά - ο πιο σημαντικός αριθμός τοποθετήθηκε στα δεξιά. Σύντομα όμως έγινε κανόνας να τοποθετείται ένας τέτοιος αριθμός στην αριστερή πλευρά. Ιδιαίτερη σημασία δόθηκε στο σύμβολο μηδέν, το οποίο εισήχθη για το σύστημα σημειογραφίας θέσης. Η ινδική αρίθμηση, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα. Στην Ευρώπη, οι ινδουιστικές μέθοδοι δεκαδικής αριθμητικής έγιναν ευρέως διαδεδομένες στις αρχές του 13ου αιώνα. χάρη στο έργο του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι). Οι Ευρωπαίοι δανείστηκαν το ινδικό σύστημα αριθμών από τους Άραβες, αποκαλώντας το αραβικό. Αυτή η ιστορική εσφαλμένη ονομασία συνεχίζεται μέχρι σήμερα.

Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία—0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9—καθώς και τα σύμβολα «+» και «–» για να υποδείξουν το πρόσημο ενός αριθμού και ένα κόμμα ή τελεία για τον διαχωρισμό του ακέραιου και του δεκαδικού μέρους.αριθμοί.

Χρησιμοποιείται σε υπολογιστές δυαδικό σύστημα αριθμών, η βάση του είναι ο αριθμός 2. Για την εγγραφή αριθμών σε αυτό το σύστημα, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Σε αντίθεση με τη δημοφιλή παρανόηση, το δυαδικό σύστημα αριθμών επινοήθηκε όχι από μηχανικούς σχεδιασμού υπολογιστών, αλλά από μαθηματικούς και φιλοσόφους πολύ πριν από την έλευση των υπολογιστών, πίσω στον 17ο αιώνα.ΧΙΧ αιώνα. Η πρώτη δημοσιευμένη συζήτηση για το δυαδικό σύστημα αριθμών είναι από τον Ισπανό ιερέα Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Γενική προσοχή σε αυτό το σύστημα τράβηξε ένα άρθρο του Γερμανού μαθηματικού Gottfried Wilhelm Leibniz, που δημοσιεύτηκε το 1703. Εξήγησε τις δυαδικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Ο Leibniz δεν συνέστησε τη χρήση αυτού του συστήματος για πρακτικούς υπολογισμούς, αλλά τόνισε τη σημασία του για τη θεωρητική έρευνα. Με την πάροδο του χρόνου, το δυαδικό σύστημα αριθμών γίνεται γνωστό και αναπτύσσεται.

Η επιλογή ενός δυαδικού συστήματος για χρήση στην τεχνολογία υπολογιστών εξηγείται από το γεγονός ότι τα ηλεκτρονικά στοιχεία - σκανδάλες που αποτελούν τα τσιπ υπολογιστών - μπορούν να βρίσκονται μόνο σε δύο καταστάσεις λειτουργίας.

Χρησιμοποιώντας το δυαδικό σύστημα κωδικοποίησης, μπορείτε να συλλάβετε οποιαδήποτε δεδομένα και γνώσεις. Αυτό είναι εύκολο να το καταλάβουμε αν θυμηθούμε την αρχή της κωδικοποίησης και μετάδοσης πληροφοριών με χρήση κώδικα Μορς. Ένας τηλεγραφητής, χρησιμοποιώντας μόνο δύο σύμβολα αυτού του αλφαβήτου - τελείες και παύλες, μπορεί να μεταδώσει σχεδόν οποιοδήποτε κείμενο.

Το δυαδικό σύστημα είναι βολικό για έναν υπολογιστή, αλλά άβολο για ένα άτομο: οι αριθμοί είναι μεγάλοι και δύσκολο να γραφτούν και να θυμηθούν. Φυσικά, μπορείτε να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και να τον γράψετε σε αυτήν τη μορφή και, στη συνέχεια, όταν χρειαστεί να τον μετατρέψετε ξανά, αλλά όλες αυτές οι μεταφράσεις απαιτούν ένταση εργασίας. Επομένως, χρησιμοποιούνται αριθμητικά συστήματα που σχετίζονται με το δυαδικό - οκταδική και δεκαεξαδική. Για την εγγραφή αριθμών σε αυτά τα συστήματα, απαιτούνται 8 και 16 ψηφία, αντίστοιχα. Στο δεκαεξαδικό, τα πρώτα 10 ψηφία είναι κοινά και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται κεφαλαία λατινικά γράμματα. Το δεκαεξαδικό ψηφίο Α αντιστοιχεί στον δεκαδικό αριθμό 10, το δεκαεξαδικό Β στον δεκαδικό αριθμό 11, κ.λπ. Η χρήση αυτών των συστημάτων εξηγείται από το γεγονός ότι η μετάβαση στη γραφή ενός αριθμού σε οποιοδήποτε από αυτά τα συστήματα από τη δυαδική του σημειογραφία είναι πολύ απλή. Παρακάτω είναι ένας πίνακας αντιστοιχίας μεταξύ αριθμών γραμμένων σε διαφορετικά συστήματα.

Πίνακας 3. Αντιστοιχία αριθμών γραμμένων σε διαφορετικά συστήματα αριθμών

Η αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να μετατρέπετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Η βάση του αριθμητικού συστήματος δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 2 και μεγαλύτερη από 36 (10 ψηφία και 26 λατινικά γράμματα τελικά). Το μήκος των αριθμών δεν πρέπει να υπερβαίνει τους 30 χαρακτήρες. Για να εισαγάγετε κλασματικούς αριθμούς, χρησιμοποιήστε το σύμβολο. ή, . Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα σε άλλο, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό στο πρώτο πεδίο, τη βάση του αρχικού συστήματος αριθμών στο δεύτερο και τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό στο τρίτο πεδίο, στη συνέχεια κάντε κλικ στο κουμπί "Λήψη εγγραφής".

Αρχικός αριθμός γραμμένο σε 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ο αριθμητικό σύστημα.

Θέλω να γράψω έναν αριθμό 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ο αριθμητικό σύστημα.

Λάβετε είσοδο

Ολοκληρωμένες μεταφράσεις: 3336969

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

• Αριθμομηχανή πίνακα αληθειών. SDNF. SKNF. Πολυώνυμο Zhegalkin

Αριθμητικά συστήματα

Τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε δύο τύπους: θέσεωςΚαι όχι θέσεις. Χρησιμοποιούμε το αραβικό σύστημα, είναι θέσιο, αλλά υπάρχει και το ρωμαϊκό σύστημα - δεν είναι θέσιο. Στα συστήματα θέσεων, η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό καθορίζει μοναδικά την τιμή αυτού του αριθμού. Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό κοιτάζοντας κάποιο αριθμό ως παράδειγμα.

Παράδειγμα 1. Ας πάρουμε τον αριθμό 5921 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας αριθμήσουμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Ο αριθμός 5921 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Ο αριθμός 10 είναι ένα χαρακτηριστικό που καθορίζει το σύστημα αριθμών. Οι τιμές της θέσης ενός δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως δυνάμεις.

Παράδειγμα 2. Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1234.567. Ας τον αριθμήσουμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Ο αριθμός 1234.567 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Ο απλούστερος τρόπος για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο είναι να μετατρέψετε πρώτα τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα που προκύπτει στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, αρκεί να αριθμήσετε τα ψηφία του, ξεκινώντας από το μηδέν (το ψηφίο στα αριστερά της υποδιαστολής) παρόμοια με τα παραδείγματα 1 ή 2. Ας βρούμε το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων του αριθμού από τη βάση του συστήματος αριθμών στη δύναμη της θέσης αυτού του ψηφίου:

1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1001101.1101 2 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Απάντηση: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Μετατρέψτε τον αριθμό E8F.2D 16 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Απάντηση: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού πρέπει να μετατραπούν χωριστά.

Μετατροπή ακέραιου μέρους ενός αριθμού από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Ένα ακέραιο μέρος μετατρέπεται από ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών σε ένα άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος ενός αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών έως ότου ληφθεί ένα ακέραιο υπόλοιπο που είναι μικρότερο από τη βάση του συστήματος αριθμών. Το αποτέλεσμα της μετάφρασης θα είναι μια καταγραφή των υπολοίπων, ξεκινώντας από την τελευταία.

3. Μετατρέψτε τον αριθμό 273 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 273 / 8 = 34 και υπόλοιπο 1. 34 / 8 = 4 και υπόλοιπο 2. 4 είναι μικρότερο από 8, οπότε ο υπολογισμός έχει ολοκληρωθεί. Το ρεκόρ από τα υπόλοιπα θα μοιάζει με αυτό: 421
Εξέταση: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Αυτό σημαίνει ότι η μετάφραση έγινε σωστά.
Απάντηση: 273 10 = 421 8

Ας εξετάσουμε τη μετάφραση κανονικών δεκαδικών κλασμάτων σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Θυμηθείτε ότι ένα σωστό δεκαδικό κλάσμα ονομάζεται πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος. Για να μετατρέψετε έναν τέτοιο αριθμό σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση Ν, πρέπει να πολλαπλασιάσετε διαδοχικά τον αριθμό με το Ν μέχρι το κλασματικό μέρος να μηδενιστεί ή να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Εάν, κατά τον πολλαπλασιασμό, προκύπτει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται περαιτέρω υπόψη, αφού εισάγεται διαδοχικά στο αποτέλεσμα.

4. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,125 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 0,125·2 = 0,25 (0 είναι το ακέραιο μέρος, που θα γίνει το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,25·2 = 0,5 (0 είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,5·2 = 1,0 (1 είναι το τρίτο ψηφίο του αποτελέσματος, και εφόσον το κλασματικό μέρος είναι μηδέν, τότε η μετάφραση ολοκληρώνεται).
Απάντηση: 0.125 10 = 0.001 2

3.1. Βασικές έννοιες αριθμητικών συστημάτων

3.2. Τύποι αριθμητικών συστημάτων

3.3. Κανόνες μετατροπής αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

3.4. Εικονογραφημένο υποστηρικτικό υλικό

3.5. Δοκιμές

3.6. Ερωτήσεις ελέγχου

Διαφορετικοί λαοί σε διαφορετικούς χρόνους χρησιμοποιούσαν διαφορετικά συστήματα αριθμών. Ίχνη αρχαίων συστημάτων μέτρησης βρίσκονται ακόμη και σήμερα στον πολιτισμό πολλών λαών. Η διαίρεση μιας ώρας σε 60 λεπτά και μιας γωνίας σε 360 μοίρες χρονολογείται από την αρχαία Βαβυλώνα. Στην Αρχαία Ρώμη - η παράδοση της καταγραφής των αριθμών I, II, III, κ.λπ. σε ρωμαϊκή σημειογραφία Για τους Αγγλοσάξονες - μετρώντας κατά δεκάδες: υπάρχουν 12 μήνες το χρόνο, 12 ίντσες σε ένα πόδι, η ημέρα είναι χωρίζεται σε 2 περιόδους των 12 ωρών.

Σύμφωνα με σύγχρονα δεδομένα, ανεπτυγμένα συστήματα αρίθμησης εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην αρχαία Αίγυπτο. Για να γράψουν αριθμούς, οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν ιερογλυφικά ένα, δέκα, εκατό, χιλιάδες κ.λπ. Όλοι οι άλλοι αριθμοί γράφτηκαν χρησιμοποιώντας αυτά τα ιερογλυφικά και την πράξη της πρόσθεσης. Τα μειονεκτήματα αυτού του συστήματος είναι η αδυναμία εγγραφής μεγάλων αριθμών και η δυσκίνητη φύση του.

Στο τέλος, το πιο δημοφιλές σύστημα αριθμών αποδείχθηκε ότι ήταν το δεκαδικό σύστημα. Το σύστημα δεκαδικών αριθμών προήλθε από την Ινδία, όπου εμφανίστηκε το αργότερο τον 6ο αιώνα. n. μι. Υπάρχουν μόνο 10 αριθμοί σε αυτό: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, αλλά όχι μόνο ο αριθμός φέρει πληροφορίες, αλλά και τη θέση στην οποία βρίσκεται. Στον αριθμό 444, τρία πανομοιότυπα ψηφία δείχνουν τον αριθμό των μονάδων, τις δεκάδες και τις εκατοντάδες. Αλλά στον αριθμό 400, το πρώτο ψηφίο δείχνει τον αριθμό των εκατοντάδων· δύο 0 από μόνα τους δεν συνεισφέρουν στον αριθμό, αλλά χρειάζονται μόνο για να υποδείξουν τη θέση του αριθμού 4.

3.1. Βασικές έννοιες αριθμητικών συστημάτων

Σημειογραφίαείναι ένα σύνολο κανόνων και τεχνικών για τη γραφή αριθμών χρησιμοποιώντας ένα σύνολο ψηφιακών χαρακτήρων. Ο αριθμός των ψηφίων που απαιτούνται για την εγγραφή ενός αριθμού στο σύστημα ονομάζεται βάση αριθμητικού συστήματος. Η βάση του συστήματος είναι γραμμένη στη δεξιά πλευρά του αριθμού στον δείκτη: ;;κ.λπ.

Υπάρχουν δύο τύποι συστημάτων αριθμών:

θέσεως, όταν η τιμή κάθε ψηφίου ενός αριθμού καθορίζεται από τη θέση του στη σημειογραφία του αριθμού.

μη θέσεις, όταν η τιμή ενός ψηφίου σε έναν αριθμό δεν εξαρτάται από τη θέση του στη σημειογραφία του αριθμού.

Παράδειγμα συστήματος αριθμών χωρίς θέση είναι το ρωμαϊκό: οι αριθμοί IX, IV, XV κ.λπ.

Ένα παράδειγμα συστήματος αριθμών θέσης είναι το δεκαδικό σύστημα που χρησιμοποιείται καθημερινά.

Οποιοσδήποτε ακέραιος στο σύστημα θέσης μπορεί να γραφτεί σε πολυωνυμική μορφή:

όπου S είναι η βάση του συστήματος αριθμών.

Ψηφία ενός αριθμού γραμμένου σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών.

n είναι ο αριθμός των ψηφίων του αριθμού.

Παράδειγμα.Αριθμός θα γραφεί σε πολυωνυμική μορφή ως εξής :

3.2. Τύποι αριθμητικών συστημάτων

Ρωμαϊκό σύστημα αριθμώνείναι ένα σύστημα μη θέσης. Χρησιμοποιεί γράμματα του λατινικού αλφαβήτου για να γράψει αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, το γράμμα I σημαίνει πάντα ένα, το γράμμα V σημαίνει πέντε, το Χ σημαίνει δέκα, το L σημαίνει πενήντα, το C σημαίνει εκατό, το D σημαίνει πεντακόσια, το M σημαίνει χίλια κ.λπ. Για παράδειγμα, ο αριθμός 264 γράφεται ως CCLXIV. Όταν γράφουμε αριθμούς στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών, η τιμή ενός αριθμού είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ψηφίων που περιλαμβάνονται σε αυτόν. Στην περίπτωση αυτή, τα ψηφία της εγγραφής αριθμών είναι, κατά κανόνα, σε φθίνουσα σειρά των τιμών τους και δεν επιτρέπεται να γράφονται περισσότερα από τρία ίδια ψηφία δίπλα-δίπλα. Όταν ένα ψηφίο με μεγαλύτερη τιμή ακολουθείται από ένα ψηφίο με μικρότερη τιμή, η συμβολή του στην τιμή του αριθμού στο σύνολό του είναι αρνητική. Τυπικά παραδείγματα που επεξηγούν τους γενικούς κανόνες για τη γραφή αριθμών στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών δίνονται στον πίνακα.

Πίνακας 2. Γράψιμο αριθμών στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα

Το μειονέκτημα του ρωμαϊκού συστήματος είναι η έλλειψη τυπικών κανόνων για τη γραφή αριθμών και, κατά συνέπεια, αριθμητικές πράξεις με πολυψήφιους αριθμούς. Λόγω της ταλαιπωρίας και της μεγάλης πολυπλοκότητάς του, το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών χρησιμοποιείται επί του παρόντος όπου είναι πραγματικά βολικό: στη βιβλιογραφία (αρίθμηση κεφαλαίων), στο σχεδιασμό εγγράφων (σειρές διαβατηρίων, χρεόγραφα κ.λπ.), για διακοσμητικούς σκοπούς σε ένα καντράν ρολογιού και σε μια σειρά από άλλες περιπτώσεις.

Σύστημα δεκαδικών αριθμών- αυτή τη στιγμή το πιο διάσημο και χρησιμοποιημένο. Η εφεύρεση του δεκαδικού συστήματος αριθμών είναι ένα από τα κύρια επιτεύγματα της ανθρώπινης σκέψης. Χωρίς αυτήν, η σύγχρονη τεχνολογία δύσκολα θα μπορούσε να υπάρξει, πολύ περισσότερο να προκύψει. Ο λόγος για τον οποίο το σύστημα δεκαδικών αριθμών έγινε γενικά αποδεκτό δεν είναι καθόλου μαθηματικός. Οι άνθρωποι συνηθίζουν να μετρούν στο σύστημα δεκαδικών αριθμών επειδή έχουν 10 δάχτυλα στα χέρια τους.

Η αρχαία εικόνα των δεκαδικών ψηφίων (Εικ. 1) δεν είναι τυχαία: κάθε ψηφίο αντιπροσωπεύει έναν αριθμό με τον αριθμό των γωνιών σε αυτό. Για παράδειγμα, 0 - χωρίς γωνίες, 1 - μία γωνία, 2 - δύο γωνίες κ.λπ. Η γραφή των δεκαδικών αριθμών έχει υποστεί σημαντικές αλλαγές. Η μορφή που χρησιμοποιούμε καθιερώθηκε τον 16ο αιώνα.

Το δεκαδικό σύστημα πρωτοεμφανίστηκε στην Ινδία γύρω στον 6ο αιώνα μ.Χ. Η ινδική αρίθμηση χρησιμοποίησε εννέα αριθμητικούς χαρακτήρες και ένα μηδέν για να υποδείξει μια κενή θέση. Στα πρώτα ινδικά χειρόγραφα που έφτασαν σε εμάς, οι αριθμοί γράφονταν με αντίστροφη σειρά - ο πιο σημαντικός αριθμός τοποθετήθηκε στα δεξιά. Σύντομα όμως έγινε κανόνας να τοποθετείται ένας τέτοιος αριθμός στην αριστερή πλευρά. Ιδιαίτερη σημασία δόθηκε στο σύμβολο μηδέν, το οποίο εισήχθη για το σύστημα σημειογραφίας θέσης. Η ινδική αρίθμηση, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα. Στην Ευρώπη, οι ινδουιστικές μέθοδοι δεκαδικής αριθμητικής έγιναν ευρέως διαδεδομένες στις αρχές του 13ου αιώνα. χάρη στο έργο του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι). Οι Ευρωπαίοι δανείστηκαν το ινδικό σύστημα αριθμών από τους Άραβες, αποκαλώντας το αραβικό. Αυτή η ιστορική εσφαλμένη ονομασία συνεχίζεται μέχρι σήμερα.

Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία—0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9—καθώς και τα σύμβολα «+» και «–» για να υποδείξουν το πρόσημο ενός αριθμού και ένα κόμμα ή τελεία για τον διαχωρισμό του ακέραιου και του δεκαδικού μέρους.αριθμοί.

Χρησιμοποιείται σε υπολογιστές δυαδικό σύστημα αριθμών, η βάση του είναι ο αριθμός 2. Για την εγγραφή αριθμών σε αυτό το σύστημα, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Σε αντίθεση με τη δημοφιλή παρανόηση, το δυαδικό σύστημα αριθμών επινοήθηκε όχι από μηχανικούς σχεδιασμού υπολογιστών, αλλά από μαθηματικούς και φιλοσόφους πολύ πριν από την έλευση των υπολογιστών, πίσω στον 17ο αιώνα.ΧΙΧ αιώνα. Η πρώτη δημοσιευμένη συζήτηση για το δυαδικό σύστημα αριθμών είναι από τον Ισπανό ιερέα Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Γενική προσοχή σε αυτό το σύστημα τράβηξε ένα άρθρο του Γερμανού μαθηματικού Gottfried Wilhelm Leibniz, που δημοσιεύτηκε το 1703. Εξήγησε τις δυαδικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Ο Leibniz δεν συνέστησε τη χρήση αυτού του συστήματος για πρακτικούς υπολογισμούς, αλλά τόνισε τη σημασία του για τη θεωρητική έρευνα. Με την πάροδο του χρόνου, το δυαδικό σύστημα αριθμών γίνεται γνωστό και αναπτύσσεται.

Η επιλογή ενός δυαδικού συστήματος για χρήση στην τεχνολογία υπολογιστών εξηγείται από το γεγονός ότι τα ηλεκτρονικά στοιχεία - σκανδάλες που αποτελούν τα τσιπ υπολογιστών - μπορούν να βρίσκονται μόνο σε δύο καταστάσεις λειτουργίας.

Χρησιμοποιώντας το δυαδικό σύστημα κωδικοποίησης, μπορείτε να συλλάβετε οποιαδήποτε δεδομένα και γνώσεις. Αυτό είναι εύκολο να το καταλάβουμε αν θυμηθούμε την αρχή της κωδικοποίησης και μετάδοσης πληροφοριών με χρήση κώδικα Μορς. Ένας τηλεγραφητής, χρησιμοποιώντας μόνο δύο σύμβολα αυτού του αλφαβήτου - τελείες και παύλες, μπορεί να μεταδώσει σχεδόν οποιοδήποτε κείμενο.

Το δυαδικό σύστημα είναι βολικό για έναν υπολογιστή, αλλά άβολο για ένα άτομο: οι αριθμοί είναι μεγάλοι και δύσκολο να γραφτούν και να θυμηθούν. Φυσικά, μπορείτε να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και να τον γράψετε σε αυτήν τη μορφή και, στη συνέχεια, όταν χρειαστεί να τον μετατρέψετε ξανά, αλλά όλες αυτές οι μεταφράσεις απαιτούν ένταση εργασίας. Επομένως, χρησιμοποιούνται αριθμητικά συστήματα που σχετίζονται με το δυαδικό - οκταδική και δεκαεξαδική. Για την εγγραφή αριθμών σε αυτά τα συστήματα, απαιτούνται 8 και 16 ψηφία, αντίστοιχα. Στο δεκαεξαδικό, τα πρώτα 10 ψηφία είναι κοινά και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται κεφαλαία λατινικά γράμματα. Το δεκαεξαδικό ψηφίο Α αντιστοιχεί στον δεκαδικό αριθμό 10, το δεκαεξαδικό Β στον δεκαδικό αριθμό 11, κ.λπ. Η χρήση αυτών των συστημάτων εξηγείται από το γεγονός ότι η μετάβαση στη γραφή ενός αριθμού σε οποιοδήποτε από αυτά τα συστήματα από τη δυαδική του σημειογραφία είναι πολύ απλή. Παρακάτω είναι ένας πίνακας αντιστοιχίας μεταξύ αριθμών γραμμένων σε διαφορετικά συστήματα.

Πίνακας 3. Αντιστοιχία αριθμών γραμμένων σε διαφορετικά συστήματα αριθμών

Στις ψηφιακές συσκευές έχετε να αντιμετωπίσετε διαφορετικά είδη πληροφοριών. Πρόκειται για καθαρές δυαδικές πληροφορίες, όπως εάν η συσκευή είναι ενεργοποιημένη ή απενεργοποιημένη, εάν η συσκευή λειτουργεί ή όχι. Οι πληροφορίες μπορούν να παρουσιαστούν με τη μορφή κειμένων και στη συνέχεια τα γράμματα του αλφαβήτου πρέπει να κωδικοποιηθούν χρησιμοποιώντας επίπεδα δυαδικού σήματος. Αρκετά συχνά οι πληροφορίες μπορεί να είναι με τη μορφή αριθμών. Οι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν σε διαφορετικά συστήματα αριθμών. Η μορφή με την οποία γράφονται οι αριθμοί σε αυτούς διαφέρει σημαντικά μεταξύ τους, επομένως, πριν προχωρήσουμε στα χαρακτηριστικά της αναπαράστασης αριθμών στην ψηφιακή τεχνολογία, θα εξετάσουμε την καταγραφή τους σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Αριθμητικά συστήματα

Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό του συστήματος αριθμών. Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο κανόνων για την εγγραφή αριθμών σε ψηφιακά σύμβολα. Τα συστήματα αριθμών μπορεί να είναι θέσεις και μη θέσεις. Επί του παρόντος, τόσο τα συστήματα αριθμών θέσης όσο και τα μη θέσεις χρησιμοποιούνται ευρέως τόσο στην τεχνολογία όσο και στην καθημερινή ζωή. Ας εξετάσουμε πρώτα παραδείγματα συστημάτων αριθμών χωρίς θέση.

Η ρωμαϊκή μορφή γραφής αριθμών αναφέρεται συνήθως ως κλασικό παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση. Ωστόσο, αυτό δεν είναι το μόνο μη θέσιο σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται αυτήν τη στιγμή.

Τώρα, όπως και στην αρχαιότητα, τα λεγόμενα «ραβδάκια» χρησιμοποιούνται για την καταγραφή αριθμών. Αυτή η μορφή γραφής αριθμών είναι η πιο κατανοητή και απαιτεί μόνο έναν χαρακτήρα για να γράψει έναν αριθμό. Ο αριθμός σχηματίζεται από το άθροισμα αυτών των «ραβδιών». Ωστόσο, όταν γράφετε μεγάλους αριθμούς, προκύπτουν ενοχλήσεις. Ο αριθμός είναι ογκώδης και δυσανάγνωστος.

Στην επόμενη έκδοση του συστήματος αριθμών χωρίς θέση, άρχισαν να χρησιμοποιούνται αρκετά σύμβολα (ψηφία). Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύει διαφορετικό αριθμό μονάδων. Ο τελικός αριθμός, όπως και στην προηγούμενη έκδοση, σχηματίζεται από το άθροισμα των ψηφίων. Η πιο εντυπωσιακή επιλογή για τη χρήση ενός τέτοιου συστήματος αριθμών είναι οι νομισματικές σχέσεις. Τους συναντάμε καθημερινά. Δεν περνάει ποτέ από το μυαλό κανένας εδώ ότι το ποσό που πληρώνουμε για τα παντοπωλεία μπορεί να εξαρτάται από τη σειρά με την οποία τακτοποιούμε τα κέρματα στο τραπέζι! Η ονομαστική αξία ενός νομίσματος ή ενός τραπεζογραμματίου δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία αφαιρέθηκε από το πορτοφόλι. Αυτό είναι ένα κλασικό παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση.

Ωστόσο, όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός που πρέπει να αναπαρασταθεί σε ένα τέτοιο σύστημα αριθμών, τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των ψηφίων που απαιτούνται για αυτό. Τα συστήματα αριθμών θέσης εφευρέθηκαν σχετικά πρόσφατα για να εξοικονομήσουν τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή αριθμών.

Η σημασία ενός ψηφίου σε ένα σύστημα αριθμών θέσης εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό που γράφεται. Στο σύστημα αριθμών θέσης, εμφανίζονται δύο πολύ σημαντικές έννοιες - η βάση του συστήματος αριθμών και το βάρος του ψηφίου. Το γεγονός είναι ότι στο σύστημα αριθμών θέσης, ένας αριθμός αντιπροσωπεύεται ως τύπος επέκτασης:

A p =a n p n +a n-1 p n-1 +...+a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 +... +a -k p -k

όπου p είναι η βάση του αριθμητικού συστήματος
p i - βάρος μονάδας δεδομένου ψηφίου
a i - ψηφία επιτρέπονται σε αυτό το σύστημα αριθμών.

Επιπλέον, ο αριθμός των ψηφίων στο σύστημα αριθμών εξαρτάται από τη βάση. Ο αριθμός των ψηφίων είναι ίσος με τη βάση του συστήματος αριθμών. Το δυαδικό έχει δύο ψηφία, το δεκαδικό έχει δέκα και το δεκαεξαδικό έχει δεκαέξι. Ένας αριθμός σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών θέσης γράφεται ως ακολουθία ψηφίων:

A=a n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 ,a -1 a -2 ...a -k ,

όπου ai είναι τα ψηφία ενός δεδομένου αριθμητικού συστήματος και ο αριθμός που αντιστοιχεί στις μονάδες καθορίζεται από τη θέση της υποδιαστολής (ή υποδιαστολής στις αγγλόφωνες χώρες). Κάθε ψηφίο που χρησιμοποιείται για τη σύνταξη ενός αριθμού ονομάζεται ψηφίο.

Ποια συστήματα αριθμών χρησιμοποιούνται σήμερα; Η πρώτη απάντηση που περιμένω είναι το σύστημα δεκαδικών αριθμών. Τι άλλο? Ναι, μην εκπλαγείτε! Χρησιμοποιούμε ευρέως άλλα συστήματα αριθμών! Απλά κοιτάξτε το αριστερό σας χέρι. Εκεί θα δούμε ένα ρολόι. Πόσα λεπτά χωράνε σε μια ώρα; Εξήντα! Πόσα δευτερόλεπτα χωράνε σε ένα λεπτό; Εξήντα! Υπάρχουν σημάδια του σεξουαλικού αριθμητικού συστήματος. Αυτή είναι μια κληρονομιά του αρχαίου βαβυλωνιακού συστήματος αριθμών, το οποίο, μαζί με μια πυξίδα και ένα ρολόι, οι Ευρωπαίοι δανείστηκαν από τους Άραβες.

Κάποια άλλα παραδείγματα; Ναι, όσο θέλεις! Η κάρτα πυξίδας χωρίζεται σε οκτώ σημεία. Γιατί όχι το οκταδικό σύστημα αριθμών; Πριν από πόσο καιρό η Ρωσία εγκατέλειψε μισό καπίκι (ένα τέταρτο καπίκι) ή γρόσια (μισό καπίκι); Και η επόμενη αξία του νομίσματος είναι δύο καπίκια! Γιατί όχι το δυαδικό σύστημα αριθμών;

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στα συστήματα αριθμών που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στην ψηφιακή τεχνολογία.

Σύστημα δεκαδικών αριθμών

Η βάση αυτού του αριθμητικού συστήματος p είναι ίση με δέκα. Αυτό το σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί δέκα ψηφία. Επί του παρόντος, τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν αυτούς τους αριθμούς είναι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών γράφεται ως το άθροισμα των μονάδων, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες , και ούτω καθεξής. Δηλαδή, τα βάρη των διπλανών ψηφίων διαφέρουν κατά δέκα. Οι αριθμοί μικρότεροι του ενός γράφονται με τον ίδιο τρόπο. Στην περίπτωση αυτή, τα ψηφία του αριθμού θα ονομάζονται δέκατα, εκατοστά ή χιλιοστά της μονάδας.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Για να δείξουμε ότι το παράδειγμα χρησιμοποιεί το δεκαδικό σύστημα αριθμών, χρησιμοποιούμε το ευρετήριο 10. Εάν, εκτός από τη δεκαδική μορφή γραφής αριθμών, δεν προορίζεται να χρησιμοποιηθεί καμία άλλη μορφή εγγραφής, τότε το ευρετήριο συνήθως δεν χρησιμοποιείται:

A 10 =247,56 10 =2*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +5*10 -1 +6*10 -2 = 200 10 +40 10 +7 10 +0,5 10 +0 ,06 10

Εδώ το πιο σημαντικό ψηφίο του αριθμού θα ονομάζεται εκατοντάδες. Στο παραπάνω παράδειγμα, εκατοντάδες αντιστοιχούν στον αριθμό 2. Το επόμενο ψηφίο θα ονομάζεται δεκάδες. Στο παραπάνω παράδειγμα, ο αριθμός 4 αντιστοιχεί σε δεκάδες. Το επόμενο ψηφίο θα ονομάζεται ένα. Στο παραπάνω παράδειγμα, οι μονάδες αντιστοιχούν στον αριθμό 7. Τα δέκατα αντιστοιχούν στον αριθμό 5 και τα εκατοστά - 6.

Δυαδικό σύστημα αριθμών

Η βάση αυτού του αριθμητικού συστήματος p είναι ίση με δύο. Αυτό το σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Για να μην εφευρεθούν νέα σύμβολα για να δηλώσουν αριθμούς, χρησιμοποιήθηκαν τα σύμβολα των δεκαδικών ψηφίων 0 και 1 στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Για να μην συγχέεται το σύστημα αριθμών κατά τη γραφή ενός αριθμού, χρησιμοποιείται ο δείκτης 2. Εάν, στο Εκτός από τη δυαδική μορφή της γραφής αριθμών, δεν προορίζεται να χρησιμοποιηθεί καμία άλλη μορφή, τότε αυτό το ευρετήριο μπορεί να παραλειφθεί.

Ένας αριθμός σε αυτό το σύστημα αριθμών γράφεται ως το άθροισμα των μονάδων, δύο, τεσσάρων, οκτώ και ούτω καθεξής. Δηλαδή, τα βάρη των διπλανών ψηφίων διαφέρουν κατά δύο φορές. Οι αριθμοί μικρότεροι του ενός γράφονται με τον ίδιο τρόπο. Σε αυτήν την περίπτωση, τα ψηφία του αριθμού θα ονομάζονται μισά, τέταρτα ή όγδοα της μονάδας.

Ας δούμε ένα παράδειγμα γραφής δυαδικού αριθμού:

A 2 =101110.101 2 = 1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 +0*2 -2 + 1* 2 -3 = 32 10 +8 10 +4 10 +2 10 +0,5 10 +0,125 10 =46,625 10

Όταν γράφαμε στη δεύτερη γραμμή ένα παράδειγμα δεκαδικών ισοδυνάμων δυαδικών ψηφίων, δεν γράψαμε δυνάμεις δύο που πολλαπλασιάζονται με το μηδέν, καθώς αυτό θα οδηγούσε μόνο σε ακαταστασία του τύπου και, ως εκ τούτου, θα καθιστούσε δύσκολη την κατανόηση του υλικού .

Ένα μειονέκτημα του δυαδικού συστήματος αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ο μεγάλος αριθμός ψηφίων που απαιτούνται για την εγγραφή αριθμών. Ένα πλεονέκτημα αυτού του συστήματος αριθμών είναι η ευκολία εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων, οι οποίες θα συζητηθούν αργότερα.

Οκταδικό σύστημα αριθμών

Η βάση αυτού του αριθμητικού συστήματος p είναι ίση με οκτώ. Το οκταδικό σύστημα αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συντομότερος τρόπος για να γράψετε δυαδικούς αριθμούς, αφού ο αριθμός οκτώ είναι δύναμη του δύο. Αυτό το σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί οκτώ ψηφία. Για να μην εφευρεθούν νέα σύμβολα για να δηλώσουν αριθμούς, στο οκταδικό σύστημα αριθμών χρησιμοποιήθηκαν τα δεκαδικά σύμβολα 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7. Για να μην συγχέεται το σύστημα αριθμών, ο δείκτης 8 Εκτός από την οκταδική μορφή της γραφής των αριθμών, δεν αναμένεται να χρησιμοποιηθεί άλλη μορφή σημειογραφίας, τότε αυτό το ευρετήριο μπορεί να παραλειφθεί.

Ένας αριθμός σε αυτό το σύστημα αριθμών γράφεται ως άθροισμα μονάδων, οκτώ, εξήντα τεσσάρων και ούτω καθεξής. Δηλαδή, τα βάρη των διπλανών ψηφίων διαφέρουν κατά συντελεστή οκτώ. Οι αριθμοί μικρότεροι του ενός γράφονται με τον ίδιο τρόπο. Στην περίπτωση αυτή, τα ψηφία του αριθμού θα ονομάζονται όγδοα, εξήντα τέσσερα και ούτω καθεξής, κλάσματα του ενός.

Ας δούμε ένα παράδειγμα γραφής οκταδικού αριθμού:

A 8 =125,46 8 =1*8 2 +2*8 1 +5*8 0 +4*8 -1 +6*8 -2 = 64 10 +16 10 +5 10 +4 10 /8 10 + 6 10 /64 10 = 85,59375 10

Η δεύτερη γραμμή του παραπάνω παραδείγματος μετατρέπει στην πραγματικότητα έναν αριθμό γραμμένο σε οκταδική μορφή στη δεκαδική αναπαράσταση του ίδιου αριθμού. Δηλαδή, εξετάσαμε πραγματικά έναν από τους τρόπους μετατροπής αριθμών από μια μορφή αναπαράστασης σε άλλη.

Εφόσον ο τύπος χρησιμοποιεί απλά κλάσματα, είναι πιθανό η ακριβής μετάφραση από τη μια μορφή αναπαράστασης στην άλλη να είναι αδύνατη. Σε αυτήν την περίπτωση, περιορίζονται σε έναν καθορισμένο αριθμό κλασματικών ψηφίων.

Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών

Η βάση αυτού του αριθμητικού συστήματος p είναι ίση με δεκαέξι. Αυτό το σύστημα αριθμών μπορεί να θεωρηθεί μια άλλη επιλογή για τη σύνταξη ενός δυαδικού αριθμού. Αυτό το σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί δεκαέξι ψηφία. Εδώ λείπουν ήδη δέκα ψηφία, οπότε πρέπει να βρούμε τα έξι ψηφία που λείπουν.

Για να ορίσετε αυτούς τους αριθμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα πρώτα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Όταν γράφετε έναν δεκαεξαδικό αριθμό, δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιούνται κεφαλαία ή πεζά γράμματα ως αριθμοί. Οι χαρακτήρες που χρησιμοποιούνται στο δεκαεξαδικό σύστημα είναι 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Εφόσον εμφανίζονται νέοι αριθμοί εδώ, παρουσιάζουμε έναν πίνακα της αντιστοιχίας αυτών των αριθμών με τις δεκαδικές τιμές.

Πίνακας 6.Πίνακας δεκαεξαδικών ψηφίων έως δεκαδικών τιμών

Ένας αριθμός σε αυτό το σύστημα αριθμών γράφεται ως το άθροισμα των μονάδων, οι αριθμοί δεκαέξι, διακόσιοι πενήντα έξι κ.ο.κ. Δηλαδή, τα βάρη των διπλανών ψηφίων διαφέρουν κατά συντελεστή δεκαέξι. Οι αριθμοί μικρότεροι του ενός γράφονται με τον ίδιο τρόπο. Σε αυτήν την περίπτωση, τα ψηφία του αριθμού θα ονομάζονται δέκατα έκτα, διακόσια πενήντα έκτα και ούτω καθεξής, κλάσματα του ενός.

Ας δούμε ένα παράδειγμα γραφής δεκαεξαδικού αριθμού:

A 16 =2AF,C4 16 =2*16 2 +10*16 1 +15*16 0 +12*16 -1 +4*16 -2 = 512 10 +160 10 +15 10 +12 10 /16 10 + 4 10 /254 10 = 687,765625 10

Από τα παραδείγματα γραφής αριθμών σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, είναι προφανές ότι για να γράψετε τον ίδιο αριθμό με την ίδια ακρίβεια σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, απαιτείται διαφορετικός αριθμός ψηφίων. Όσο μεγαλύτερη είναι η βάση του συστήματος αριθμών, τόσο λιγότερα ψηφία απαιτούνται για την εγγραφή του ίδιου αριθμού.

Βιβλιογραφία:

Διαβάστε μαζί με το άρθρο «Αριθμητικά συστήματα»: