Σύστημα αριθμών 10. Μετάφραση αριθμών σε δυαδικά, δεκαεξαδικά, δεκαδικά, οκταδικά συστήματα αριθμών. Εργασίες για τον προσδιορισμό τιμών σε διάφορα συστήματα αριθμών και τις βάσεις τους

Μετατροπή σε δεκαδικό σύστημα αριθμών

Ασκηση 1.Ποιος αριθμός στο δεκαδικό σύστημα αριθμών αντιστοιχεί στον αριθμό 24 16;

Λύση.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Απάντηση. 24 16 = 36 10

Εργασία 2.Είναι γνωστό ότι X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Ποιος είναι ο αριθμός Χ σε δεκαδικό συμβολισμό;

Λύση.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Βρείτε τον αριθμό: X = 6 + 4 + 5 = 15

Απάντηση. X = 15 10

Εργασία 3.Υπολογίστε την τιμή του αθροίσματος 10 2 + 45 8 + 10 16 σε δεκαδικό συμβολισμό.

Λύση.

Ας μεταφράσουμε κάθε όρο στο σύστημα δεκαδικών αριθμών:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Το άθροισμα είναι: 2 + 37 + 16 = 55

Μετατροπή σε δυαδικό σύστημα αριθμών

Ασκηση 1.Τι είναι ο αριθμός 37 στο δυαδικό σύστημα αριθμών;

Λύση.

Μπορείτε να μετατρέψετε διαιρώντας με 2 και συνδυάζοντας τα υπόλοιπα με αντίστροφη σειρά.

Ένας άλλος τρόπος είναι να επεκτείνετε τον αριθμό στο άθροισμα των δυνάμεων του δύο, ξεκινώντας από το υψηλότερο, το υπολογισμένο αποτέλεσμα του οποίου είναι μικρότερο από τον δεδομένο αριθμό. Κατά τη μετατροπή, οι δυνάμεις που λείπουν ενός αριθμού πρέπει να αντικατασταθούν με μηδενικά:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Απάντηση. 37 10 = 100101 2 .

Εργασία 2.Πόσα σημαντικά μηδενικά υπάρχουν στη δυαδική παράσταση του δεκαδικού αριθμού 73;

Λύση.

Αποσυνθέτουμε τον αριθμό 73 στο άθροισμα των δυνάμεων των δύο, ξεκινώντας από την υψηλότερη και πολλαπλασιάζοντας τις δυνάμεις που λείπουν με μηδενικά και τις υπάρχουσες επί ένα:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Απάντηση.Υπάρχουν τέσσερα σημαντικά μηδενικά στη δυαδική σημείωση για τον δεκαδικό αριθμό 73.

Εργασία 3.Υπολογίστε το άθροισμα των x και y για x = D2 16 , y = 37 8 . Παρουσιάστε το αποτέλεσμα σε δυαδικό σύστημα αριθμών.

Λύση.

Θυμηθείτε ότι κάθε ψηφίο ενός δεκαεξαδικού αριθμού σχηματίζεται από τέσσερα δυαδικά ψηφία, κάθε ψηφίο ενός οκταδικού αριθμού από τρία:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Ας προσθέσουμε τους αριθμούς:

11010010 11111 -------- 11110001

Απάντηση.Το άθροισμα των αριθμών D2 16 και y = 37 8 , που αντιπροσωπεύονται στο δυαδικό σύστημα, είναι 11110001.

Εργασία 4.Δεδομένος: ένα= D7 16, σι= 331 8 . Ποιος από τους αριθμούς ντο, γραμμένο με δυαδικό συμβολισμό, πληροί την προϋπόθεση ένα< c < b ?

11011001
11011100
11010111
11011000

Λύση.

Ας μεταφράσουμε τους αριθμούς στο δυαδικό σύστημα αριθμών:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Τα πρώτα τέσσερα ψηφία για όλους τους αριθμούς είναι τα ίδια (1101). Επομένως, η σύγκριση απλοποιείται σε σύγκριση των λιγότερο σημαντικών τεσσάρων ψηφίων.

Ο πρώτος αριθμός στη λίστα είναι ο αριθμός σι, επομένως, δεν ταιριάζει.

Ο δεύτερος αριθμός είναι μεγαλύτερος από σι. Ο τρίτος αριθμός είναι ένα.

Μόνο ο τέταρτος αριθμός ταιριάζει: 0111< 1000 < 1001.

Απάντηση.Η τέταρτη επιλογή (11011000) πληροί την προϋπόθεση ένα< c < b .

Εργασίες για τον προσδιορισμό τιμών σε διάφορα συστήματα αριθμών και τις βάσεις τους

Ασκηση 1.Οι χαρακτήρες @, $, &, % κωδικοποιούνται σε διψήφιους διαδοχικούς δυαδικούς αριθμούς. Ο πρώτος χαρακτήρας αντιστοιχεί στον αριθμό 00. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους χαρακτήρες, κωδικοποιήθηκε η ακόλουθη ακολουθία: $% [email προστατευμένο]$. Αποκωδικοποιήστε αυτήν την ακολουθία και μετατρέψτε το αποτέλεσμα σε δεκαεξαδικό.

Λύση.

1. Ας συγκρίνουμε τους δυαδικούς αριθμούς με τους χαρακτήρες που κωδικοποιούν:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Ας μεταφράσουμε τον δυαδικό αριθμό στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών:
0111 1010 0001 = 7A1

Απάντηση. 7A1 16 .

Εργασία 2.Υπάρχουν 100 x οπωροφόρα δέντρα στον κήπο, εκ των οποίων 33 x μηλιές, 22 x αχλαδιές, 16 x δαμάσκηνα, 17 x κερασιές. Ποια είναι η βάση του συστήματος αριθμών (x).

Λύση.

1. Σημειώστε ότι όλοι οι όροι είναι διψήφιοι αριθμοί. Σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών, μπορούν να αναπαρασταθούν ως εξής:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, όπου a και b είναι τα ψηφία των αντίστοιχων ψηφίων του αριθμού.
Για έναν τριψήφιο αριθμό θα ήταν έτσι:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Η κατάσταση του προβλήματος είναι η εξής:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Αντικαταστήστε τους αριθμούς στους τύπους:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2

3. Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Η τετραγωνική ρίζα του D είναι 11.
Οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 ή x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Ένας αρνητικός αριθμός δεν μπορεί να είναι η βάση του συστήματος αριθμών. Άρα το x μπορεί να είναι μόνο ίσο με 9.

Απάντηση.Η επιθυμητή βάση του συστήματος αριθμών είναι το 9.

Εργασία 3.Σε ένα σύστημα αριθμών με κάποια βάση, ο δεκαδικός αριθμός 12 γράφεται ως 110. Βρείτε αυτή τη βάση.

Λύση.

Αρχικά, ας γράψουμε τον αριθμό 110 μέσω του τύπου για τη γραφή αριθμών σε συστήματα θέσεων αριθμών για να βρούμε την τιμή στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, να βρούμε τη βάση με ωμή βία.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Πρέπει να πάρουμε 12. Δοκιμάζουμε 2: 2 2 + 2 = 6. Προσπαθούμε 3: 3 2 + 3 = 12.

Άρα η βάση του αριθμητικού συστήματος είναι το 3.

Απάντηση.Η επιθυμητή βάση του συστήματος αριθμών είναι το 3.

Εργασία 4.Σε ποιο σύστημα αριθμών ο δεκαδικός αριθμός 173 θα παριστάνεται ως 445;

Λύση.
Συμβολίζουμε την άγνωστη βάση με Χ. Γράφουμε την ακόλουθη εξίσωση:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Δεδομένου ότι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με 1, ξαναγράφουμε την εξίσωση (η βάση 10 δεν θα υποδειχθεί).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Φυσικά, μια τέτοια τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το διαχωριστικό, αλλά υπάρχει μια απλούστερη λύση. Αφαιρούμε από το δεξί και το αριστερό μέρος κατά 4. Παίρνουμε
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 ή 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
Από εδώ παίρνουμε 2 * X + 1 \u003d 13 (απορρίπτουμε την αρνητική ρίζα). Ή X = 6.
Απάντηση: 173 10 = 445 6

Εργασίες εύρεσης πολλών βάσεων αριθμητικών συστημάτων

Υπάρχει μια ομάδα εργασιών στις οποίες απαιτείται να παρατίθενται (σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά) όλες οι βάσεις των αριθμητικών συστημάτων στα οποία η αναπαράσταση ενός δεδομένου αριθμού τελειώνει με ένα δεδομένο ψηφίο. Αυτή η εργασία λύνεται πολύ απλά. Πρώτα πρέπει να αφαιρέσετε το δεδομένο ψηφίο από τον αρχικό αριθμό.Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι η πρώτη βάση του συστήματος αριθμών. Και όλες οι άλλες βάσεις μπορούν να είναι μόνο διαιρέτες αυτού του αριθμού. (Αυτή η δήλωση αποδεικνύεται με βάση τον κανόνα για τη μεταφορά αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο - βλέπε σημείο 4). Απλά να το θυμάσαι η βάση του αριθμητικού συστήματος δεν μπορεί να είναι μικρότερη από το δεδομένο ψηφίο!

Παράδειγμα
Αναφέρετε, χωρισμένα με κόμμα, με αύξουσα σειρά, όλες τις βάσεις των αριθμητικών συστημάτων στα οποία η καταχώριση του αριθμού 24 τελειώνει σε 3.

Λύση
24 - 3 \u003d 21 είναι η πρώτη βάση (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
Το 21 διαιρείται με το 3 και το 7. Ο αριθμός 3 δεν είναι κατάλληλος, γιατί Δεν υπάρχει 3 στο σύστημα αριθμών βάσης 3.
Απάντηση: 7, 21

Στο μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών, ανεξαρτήτως σχολείου ή πανεπιστημίου, δίνεται ιδιαίτερη θέση σε μια τέτοια έννοια όπως τα συστήματα αριθμών. Κατά κανόνα, διατίθενται πολλά μαθήματα ή πρακτικές ασκήσεις για αυτό. Ο κύριος στόχος δεν είναι μόνο η εκμάθηση των βασικών εννοιών του θέματος, η μελέτη των τύπων συστημάτων αριθμών, αλλά και η εξοικείωση με τη δυαδική, οκταδική και δεκαεξαδική αριθμητική.

Τι σημαίνει?

Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό της κύριας έννοιας. Όπως σημειώνει το σχολικό βιβλίο «Επιστήμη Υπολογιστών», το αριθμητικό σύστημα είναι μια εγγραφή αριθμών που χρησιμοποιεί ένα ειδικό αλφάβητο ή ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών.

Ανάλογα με το αν η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει από τη θέση του στον αριθμό, διακρίνονται δύο: τα συστήματα αριθμών θέσης και τα μη θέσεις.

Στα συστήματα θέσεων, η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό. Έτσι, αν πάρουμε τον αριθμό 234, τότε ο αριθμός 4 σε αυτό σημαίνει μονάδες, αλλά αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό 243, τότε εδώ θα σημαίνει ήδη δεκάδες, όχι μονάδες.

Σε συστήματα μη θέσης, η τιμή ενός ψηφίου είναι στατική, ανεξάρτητα από τη θέση του στον αριθμό. Το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα είναι το σύστημα stick, όπου κάθε μονάδα υποδεικνύεται με μια παύλα. Ανεξάρτητα από το πού εκχωρείτε το ραβδί, η τιμή του αριθμού θα αλλάξει μόνο κατά ένα.

Συστήματα μη θέσης

Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν:

Ένα ενιαίο σύστημα, που θεωρείται από τα πρώτα. Χρησιμοποιούσε μπαστούνια αντί για αριθμούς. Όσο περισσότεροι ήταν, τόσο μεγαλύτερη ήταν η αξία του αριθμού. Μπορείτε να συναντήσετε ένα παράδειγμα αριθμών γραμμένων με αυτόν τον τρόπο σε ταινίες όπου μιλάμε για ανθρώπους χαμένους στη θάλασσα, κρατούμενους που σημειώνουν κάθε μέρα με τη βοήθεια εγκοπών σε μια πέτρα ή ένα δέντρο.
Roman, στην οποία χρησιμοποιήθηκαν λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς. Χρησιμοποιώντας τα, μπορείτε να γράψετε οποιοδήποτε αριθμό. Ταυτόχρονα, η τιμή του προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά των ψηφίων που αποτελούσαν τον αριθμό. Αν υπήρχε μικρότερος αριθμός στα αριστερά του ψηφίου, τότε το αριστερό ψηφίο αφαιρέθηκε από το δεξί και αν το ψηφίο στα δεξιά ήταν μικρότερο ή ίσο με το ψηφίο στα αριστερά, τότε οι τιμές τους αθροίζονταν πάνω. Για παράδειγμα, ο αριθμός 11 γράφτηκε ως XI και 9 - IX.
Γράμματα, στα οποία οι αριθμοί σημειώθηκαν χρησιμοποιώντας το αλφάβητο μιας συγκεκριμένης γλώσσας. Ένα από αυτά είναι το σλαβικό σύστημα, στο οποίο ορισμένα γράμματα είχαν όχι μόνο φωνητική, αλλά και αριθμητική αξία.
στην οποία χρησιμοποιήθηκαν μόνο δύο χαρακτηρισμοί για καταγραφή - σφήνες και βέλη.
Στην Αίγυπτο, επίσης, χρησιμοποιήθηκαν ειδικά σύμβολα για να δηλώσουν αριθμούς. Όταν γράφετε έναν αριθμό, κάθε χαρακτήρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι περισσότερες από εννέα φορές.

Συστήματα θέσης

Στην επιστήμη των υπολογιστών δίνεται μεγάλη προσοχή στα συστήματα αριθμών θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

δυάδικος;
οκτάεδρος;
δεκαδικός;
δεκαεξαδικό?
sexagesimal, που χρησιμοποιείται κατά τη μέτρηση του χρόνου (για παράδειγμα, σε ένα λεπτό - 60 δευτερόλεπτα, σε μια ώρα - 60 λεπτά).

Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του αλφάβητο για τη γραφή, τους κανόνες μετάφρασης και τις αριθμητικές πράξεις.

Μετρικό σύστημα

Αυτό το σύστημα είναι το πιο οικείο σε εμάς. Χρησιμοποιεί αριθμούς από το 0 έως το 9 για να γράψει αριθμούς. Λέγονται και αραβικά. Ανάλογα με τη θέση του ψηφίου στον αριθμό, μπορεί να υποδηλώνει διαφορετικά ψηφία - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες ή εκατομμύρια. Το χρησιμοποιούμε παντού, γνωρίζουμε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους εκτελούνται αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς.

Δυαδικό σύστημα

Ένα από τα κύρια συστήματα αριθμών στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το δυαδικό σύστημα. Η απλότητά του επιτρέπει στον υπολογιστή να εκτελεί περίπλοκους υπολογισμούς πολλές φορές πιο γρήγορα από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα.

Για την εγγραφή αριθμών, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Ταυτόχρονα, ανάλογα με τη θέση του 0 ή του 1 στον αριθμό, η τιμή του θα αλλάξει.

Αρχικά, με τη βοήθεια υπολογιστών έλαβαν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Ταυτόχρονα, το ένα σήμαινε την παρουσία ενός σήματος που μεταδόθηκε χρησιμοποιώντας τάση και το μηδέν σήμαινε την απουσία του.

Οκταδικό σύστημα

Ένα άλλο πολύ γνωστό σύστημα αριθμών υπολογιστή, που χρησιμοποιεί αριθμούς από το 0 έως το 7. Χρησιμοποιήθηκε κυρίως σε εκείνους τους τομείς γνώσης που σχετίζονται με ψηφιακές συσκευές. Αλλά πρόσφατα χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο συχνά, αφού έχει αντικατασταθεί από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Δυαδικό δεκαδικό

Η αναπαράσταση μεγάλων αριθμών στο δυαδικό σύστημα για ένα άτομο είναι μια αρκετά περίπλοκη διαδικασία. Για να το απλοποιήσουμε, αναπτύχθηκε.Συνήθως χρησιμοποιείται σε ηλεκτρονικά ρολόγια, αριθμομηχανές. Σε αυτό το σύστημα, δεν μετατρέπεται ολόκληρος ο αριθμός από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, αλλά κάθε ψηφίο μεταφράζεται στο αντίστοιχο σύνολο μηδενικών και μονάδων στο δυαδικό σύστημα. Το ίδιο ισχύει και για τη μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό. Κάθε ψηφίο, που αντιπροσωπεύεται ως ένα τετραψήφιο σύνολο μηδενικών και μονάδων, μεταφράζεται σε ένα ψηφίο στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.

Για την εργασία με αριθμούς, σε αυτή την περίπτωση, είναι χρήσιμος ένας πίνακας συστημάτων αριθμών, ο οποίος θα υποδεικνύει την αντιστοιχία μεταξύ των αριθμών και του δυαδικού τους κωδικού.

Δεκαεξαδικό σύστημα

Πρόσφατα, το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών έχει γίνει όλο και πιο δημοφιλές στον προγραμματισμό και την επιστήμη των υπολογιστών. Χρησιμοποιεί όχι μόνο αριθμούς από το 0 έως το 9, αλλά και έναν αριθμό λατινικών γραμμάτων - A, B, C, D, E, F.

Ταυτόχρονα, κάθε ένα από τα γράμματα έχει τη δική του σημασία, άρα Α=10, Β=11, Γ=12 κ.ο.κ. Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύεται ως ένα σύνολο τεσσάρων χαρακτήρων: 001F.

Μετατροπή αριθμών: από δεκαδικό σε δυαδικό

Η μετάφραση σε συστήματα αριθμών γίνεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η πιο συνηθισμένη μετατροπή είναι από δυαδικό σε δεκαδικό και αντίστροφα.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό, είναι απαραίτητο να τον διαιρέσετε με συνέπεια με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλαδή τον αριθμό δύο. Σε αυτή την περίπτωση, το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης πρέπει να καθοριστεί. Αυτό θα συνεχιστεί έως ότου το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με ένα. Είναι καλύτερο να κάνετε τους υπολογισμούς σε μια στήλη. Στη συνέχεια, τα υπόλοιπα διαίρεσης που προκύπτουν γράφονται στη συμβολοσειρά με αντίστροφη σειρά.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε τον αριθμό 9 σε δυαδικό:

Διαιρούμε το 9, αφού ο αριθμός δεν διαιρείται ομοιόμορφα, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8, το υπόλοιπο θα είναι 9 - 1 = 1.

Αφού διαιρέσουμε το 8 με το 2, παίρνουμε 4. Το ξαναμοιράζουμε, αφού ο αριθμός διαιρείται με δύο - παίρνουμε 4 - 4 = 0 στο υπόλοιπο.

Κάνουμε την ίδια πράξη με το 2. Το υπόλοιπο είναι 0.

Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης, παίρνουμε 1.

Ανεξάρτητα από το τελικό σύστημα αριθμών, η μεταφορά αριθμών από δεκαδικό σε οποιοδήποτε άλλο θα γίνει σύμφωνα με την αρχή της διαίρεσης του αριθμού με τη βάση του συστήματος θέσεων.

Μετατροπή αριθμών: από δυαδικό σε δεκαδικό

Είναι αρκετά εύκολο να μετατρέψετε αριθμούς σε δεκαδικό από δυαδικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τους κανόνες για την αύξηση των αριθμών σε μια δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση, σε δύναμη δύο.

Ο αλγόριθμος μετάφρασης έχει ως εξής: κάθε ψηφίο από τον κωδικό δυαδικού αριθμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί δύο και τα δύο πρώτα θα είναι στην ισχύ του m-1, το δεύτερο - m-2 και ούτω καθεξής, όπου m είναι ο αριθμός των ψηφίων στον κωδικό. Στη συνέχεια, προσθέστε τα αποτελέσματα της πρόσθεσης, παίρνοντας έναν ακέραιο.

Για τους μαθητές, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να εξηγηθεί πιο απλά:

Αρχικά, παίρνουμε και γράφουμε κάθε ψηφίο πολλαπλασιασμένο επί δύο, μετά βάζουμε τη δύναμη του δύο από το τέλος, ξεκινώντας από το μηδέν. Στη συνέχεια, προσθέστε τον αριθμό που προκύπτει.

Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε μαζί σας τον αριθμό 1001 που λήφθηκε νωρίτερα, μετατρέποντάς τον στο δεκαδικό σύστημα και ταυτόχρονα ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών μας.

Θα μοιάζει με αυτό:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Όταν μελετάτε αυτό το θέμα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα με δυνάμεις δύο. Αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για τους υπολογισμούς.

Άλλες επιλογές μετάφρασης

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μετάφραση μπορεί να πραγματοποιηθεί μεταξύ δυαδικού και οκταδικού, δυαδικού και δεκαεξαδικού. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς πίνακες ή να εκτελέσετε την εφαρμογή αριθμομηχανής στον υπολογιστή σας επιλέγοντας την επιλογή «Προγραμματιστής» στην καρτέλα προβολής.

Αριθμητικές πράξεις

Ανεξάρτητα από τη μορφή με την οποία αναπαρίσταται ο αριθμός, είναι δυνατό να πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς που είναι εξοικειωμένοι με αυτόν. Αυτό μπορεί να είναι διαίρεση και πολλαπλασιασμός, αφαίρεση και πρόσθεση στο σύστημα αριθμών που έχετε επιλέξει. Φυσικά, το καθένα από αυτά έχει τους δικούς του κανόνες.

Έτσι για το δυαδικό σύστημα ανέπτυξε τους δικούς του πίνακες για κάθε μία από τις πράξεις. Οι ίδιοι πίνακες χρησιμοποιούνται και σε άλλα συστήματα θέσης.

Δεν είναι απαραίτητο να τα απομνημονεύσετε - απλώς εκτυπώστε και έχετε στο χέρι. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή στον υπολογιστή σας.

Ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το σύστημα αριθμών. Η γνώση αυτού του θέματος, η κατανόηση των αλγορίθμων για τη μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο αποτελεί εγγύηση ότι θα μπορείτε να κατανοήσετε πιο σύνθετα θέματα, όπως ο αλγόριθμος και ο προγραμματισμός, και θα μπορείτε να γράψετε μόνοι σας το πρώτο σας πρόγραμμα.

Εργασίες με θέμα "Αριθμητικά συστήματα"

Παραδείγματα λύσεων

Εργασία αριθμός 1. Πόσα σημαντικά ψηφία υπάρχουν στον βασικό 3 δεκαδικό αριθμό 357;Λύση:Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 35710 στο τριαδικό σύστημα αριθμών:Άρα, 35710 = 1110203. Ο αριθμός 1110203 περιέχει 6 σημαντικά ψηφία.Απάντηση: 6.

Εργασία αριθμός 2. Δίνεται A=A715, B=2518. Ποιος από τους αριθμούς C, γραμμένοι στο δυαδικό σύστημα, πληροί την συνθήκη Α1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Λύση:Ας μετατρέψουμε τους αριθμούς A=A715 και B=2518 στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αντικαθιστώντας κάθε ψηφίο του πρώτου αριθμού με το αντίστοιχο τετράδιο και κάθε ψηφίο του δεύτερου αριθμού με την αντίστοιχη τριάδα: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Συνθήκη α

Εργασία αριθμός 3. Με ποιο ψηφίο τελειώνει ο δεκαδικός αριθμός 123 στη βάση 6;Λύση:Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 12310 στο σύστημα αριθμών με βάση το 6:12310 = 3236. Απάντηση: Η καταχώρηση του αριθμού 12310 στο σύστημα αριθμών με βάση το 6 τελειώνει στον αριθμό 3.Εργασίες για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε αριθμούς που αντιπροσωπεύονται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών

Εργασία αριθμός 4. Να υπολογίσετε το άθροισμα των αριθμών Χ και Υ αν Χ=1101112, Υ=1358. Εκφράστε το αποτέλεσμα σε δυαδική μορφή.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Λύση:Ας μεταφράσουμε τον αριθμό Y=1358 στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αντικαθιστώντας κάθε ψηφίο του με την αντίστοιχη τριάδα: 001 011 1012. Εκτελέστε την πρόσθεση:Απάντηση: 100101002 (επιλογή 2).

Εργασία αριθμός 5. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών 2368, 6C16 και 1110102. Να εκφράσετε την απάντησή σας με δεκαδικό συμβολισμό.Λύση:Ας μεταφράσουμε τους αριθμούς 2368, 6С16 και 1110102 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών:
Ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών: (158+108+58)/3 = 10810.Απάντηση: ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 2368, 6C16 και 1110102 είναι 10810.

Εργασία αριθμός 6. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 2068 + AF16 ; 110010102. Κάντε υπολογισμούς σε σύστημα οκταδικού αριθμού. Μετατρέψτε την απάντησή σας σε δεκαδικό.Λύση:Ας μεταφράσουμε όλους τους αριθμούς στο οκταδικό σύστημα αριθμών:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Ας προσθέσουμε τους αριθμούς:Ας μετατρέψουμε την απάντηση στο δεκαδικό σύστημα:Απάντηση: 51110.

Εργασίες για την εύρεση της βάσης του συστήματος αριθμών

Εργασία αριθμός 7. Υπάρχουν 100 q οπωροφόρα δέντρα στον κήπο: 33 q μηλιά, 22 q αχλαδιές, 16 q δαμάσκηνα και 17 q κεράσια. Βρείτε τη βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο μετρώνται τα δέντρα.Λύση:Υπάρχουν 100q δέντρα στον κήπο: 100q = 33q+22q+16q+17q.Ας αριθμήσουμε τα ψηφία και ας παρουσιάσουμε αυτούς τους αριθμούς σε διευρυμένη μορφή:
Απάντηση: Τα δέντρα μετρώνται στο σύστημα αριθμών βάσης 9.

Εργασία αριθμός 8. Βρείτε τη βάση x του αριθμητικού συστήματος αν γνωρίζετε ότι 2002x = 13010.Λύση:Απάντηση: 4.

Εργασία αριθμός 9. Σε ένα σύστημα αριθμών με κάποια βάση, ο δεκαδικός αριθμός 18 γράφεται ως 30. Καθορίστε αυτή τη βάση.Λύση:Ας πάρουμε τη βάση του αγνώστου αριθμητικού συστήματος ως x και ας γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση:1810 = 30x;Αριθμούμε τα ψηφία και γράφουμε αυτούς τους αριθμούς σε διευρυμένη μορφή:Απάντηση: Ο δεκαδικός αριθμός 18 γράφεται ως 30 στο βασικό 6 αριθμητικό σύστημα.

Ανάθεση υπηρεσίας. Η υπηρεσία έχει σχεδιαστεί για να μεταφράζει αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών στο άλλο online. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε τη βάση του συστήματος από το οποίο θέλετε να μεταφράσετε τον αριθμό. Μπορείτε να εισάγετε και ακέραιους και αριθμούς με κόμμα.

Μπορείτε να εισαγάγετε είτε ακέραιους αριθμούς, όπως 34, είτε κλασματικούς αριθμούς, όπως 637.333. Για τους κλασματικούς αριθμούς, υποδεικνύεται η ακρίβεια της μετάφρασης μετά την υποδιαστολή.

Τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται επίσης με αυτήν την αριθμομηχανή:

Τρόποι αναπαράστασης αριθμών

Δυάδικος (δυαδικοί) αριθμοί - κάθε ψηφίο σημαίνει την τιμή ενός bit (0 ή 1), το πιο σημαντικό bit γράφεται πάντα στα αριστερά, το γράμμα "b" τοποθετείται μετά τον αριθμό. Για ευκολία αντίληψης, τα σημειωματάρια μπορούν να χωριστούν με κενά. Για παράδειγμα, 1010 0101b.
Δεκαεξαδικό (δεκαεξαδικοί) αριθμοί - κάθε τετράδα αντιπροσωπεύεται από έναν χαρακτήρα 0...9, A, B, ..., F. Μια τέτοια αναπαράσταση μπορεί να υποδηλωθεί με διαφορετικούς τρόπους, εδώ μόνο ο χαρακτήρας "h" χρησιμοποιείται μετά τον τελευταίο δεκαεξαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, A5h. Στα κείμενα του προγράμματος, ο ίδιος αριθμός μπορεί να συμβολιστεί και ως 0xA5 και 0A5h, ανάλογα με τη σύνταξη της γλώσσας προγραμματισμού. Ένα μη σημαντικό μηδέν (0) προστίθεται στα αριστερά του πιο σημαντικού δεκαεξαδικού ψηφίου που αντιπροσωπεύεται από ένα γράμμα για τη διάκριση μεταξύ αριθμών και συμβολικών ονομάτων.
Δεκαδικά (δεκαδικοί) αριθμοί - κάθε byte (λέξη, διπλή λέξη) αντιπροσωπεύεται από έναν συνηθισμένο αριθμό και το πρόσημο της δεκαδικής αναπαράστασης (γράμμα "d") συνήθως παραλείπεται. Το byte από τα προηγούμενα παραδείγματα έχει δεκαδική τιμή 165. Σε αντίθεση με τον δυαδικό και δεκαεξαδικό συμβολισμό, το δεκαδικό είναι δύσκολο να προσδιοριστεί νοερά η τιμή κάθε bit, κάτι που μερικές φορές πρέπει να γίνει.
Οκτάεδρος (οκταδικοί) αριθμοί - κάθε τριπλό bit (ο διαχωρισμός ξεκινά από το λιγότερο σημαντικό) γράφεται ως αριθμός 0-7, στο τέλος τίθεται το σύμβολο "o". Ο ίδιος αριθμός θα γραφόταν ως 245ο. Το οκταδικό σύστημα είναι άβολο στο ότι το byte δεν μπορεί να διαιρεθεί εξίσου.

Αλγόριθμος για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Η μετατροπή των ακεραίων δεκαδικών αριθμών σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα αριθμών πραγματοποιείται με διαίρεση του αριθμού με τη βάση του νέου αριθμητικού συστήματος έως ότου το υπόλοιπο αφήσει έναν αριθμό μικρότερο από τη βάση του νέου συστήματος αριθμών. Ο νέος αριθμός γράφεται ως το υπόλοιπο της διαίρεσης, ξεκινώντας από τον τελευταίο.
Η μετατροπή του σωστού δεκαδικού κλάσματος σε άλλο PSS πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας μόνο το κλασματικό μέρος του αριθμού με τη βάση του νέου συστήματος αριθμών έως ότου παραμείνουν όλα τα μηδενικά στο κλασματικό μέρος ή έως ότου επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια μετάφρασης. Ως αποτέλεσμα κάθε λειτουργίας πολλαπλασιασμού, σχηματίζεται ένα ψηφίο του νέου αριθμού, ξεκινώντας από το υψηλότερο.
Η μετάφραση ενός ακατάλληλου κλάσματος πραγματοποιείται σύμφωνα με τον 1ο και τον 2ο κανόνα. Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη γράφονται μαζί, χωρίζονται με κόμμα.

Παράδειγμα #1.

Μετάφραση από 2 έως 8 έως 16 αριθμητικό σύστημα.
Αυτά τα συστήματα είναι πολλαπλάσια των δύο, επομένως, η μετάφραση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον πίνακα αντιστοιχίας (βλ. παρακάτω).

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα δυαδικό σύστημα αριθμών σε έναν οκταδικό (δεκαεξαδικό) αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε τον δυαδικό αριθμό σε ομάδες των τριών (τεσσάρων για δεκαεξαδικό) ψηφία από κόμμα προς τα δεξιά και τα αριστερά, συμπληρώνοντας τις ακραίες ομάδες με μηδενικά αν είναι απαραίτητο. Κάθε ομάδα αντικαθίσταται από το αντίστοιχο οκταδικό ή δεκαεξαδικό ψηφίο.

Παράδειγμα #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
εδώ 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Κατά τη μετατροπή σε δεκαεξαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε μέρη, τέσσερα ψηφία το καθένα, ακολουθώντας τους ίδιους κανόνες.
Παράδειγμα #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
εδώ 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Η μετατροπή των αριθμών από το 2, το 8 και το 16 στο δεκαδικό σύστημα πραγματοποιείται με το σπάσιμο του αριθμού σε ξεχωριστούς και πολλαπλασιάζοντάς τον με τη βάση του συστήματος (από την οποία μεταφράζεται ο αριθμός) αυξημένη στην ισχύ που αντιστοιχεί στον τακτικό του αριθμό στον μεταφρασμένο αριθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, οι αριθμοί αριθμούνται στα αριστερά της υποδιαστολής (ο πρώτος αριθμός έχει τον αριθμό 0) με αύξηση, και στα δεξιά με φθίνουσα (δηλαδή, με αρνητικό πρόσημο). Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται αθροίζονται.

Παράδειγμα #4.
Παράδειγμα μετατροπής από δυαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από οκταδικό σε δεκαδικό αριθμητικό σύστημα. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Παράδειγμα μετατροπής από δεκαεξαδικό σε δεκαδικό σύστημα αριθμών. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Για άλλη μια φορά, επαναλαμβάνουμε τον αλγόριθμο για τη μετάφραση αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο PSS

Από το δεκαδικό σύστημα αριθμών:
- διαιρέστε τον αριθμό με τη βάση του συστήματος αριθμών που μεταφράζεται.
- βρείτε το υπόλοιπο αφού διαιρέσετε το ακέραιο μέρος του αριθμού.
- καταγράψτε όλα τα υπόλοιπα από τη διαίρεση με αντίστροφη σειρά.
Από το δυαδικό σύστημα
- Για να μετατρέψετε στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των γινομένων της βάσης 2 με τον αντίστοιχο βαθμό εκφόρτισης.
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό σε οκταδικό, πρέπει να χωρίσετε τον αριθμό σε τριάδες.
  Για παράδειγμα, 1000110 = 1000 110 = 106 8
- Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δυαδικό σε δεκαεξαδικό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό σε ομάδες των 4 ψηφίων.
  Για παράδειγμα, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Το σύστημα ονομάζεται θέσιο., για το οποίο η σημασία ή το βάρος ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό. Η σχέση μεταξύ συστημάτων εκφράζεται σε έναν πίνακα.
Πίνακας αντιστοιχίας αριθμητικών συστημάτων:

Δυαδικό SS	Δεκαεξαδικό SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	ΕΝΑ
1011	σι
1100	ντο
1101	ρε
1110	μι
1111	φά

Πίνακας για μετατροπή σε οκταδικό αριθμητικό σύστημα

Παράδειγμα #2. Μετατρέψτε τον αριθμό 100,12 από δεκαδικό σε οκταδικό και αντίστροφα. Εξηγήστε τους λόγους των αποκλίσεων.
Λύση.
Στάδιο 1. .

Το υπόλοιπο της διαίρεσης γράφεται με αντίστροφη σειρά. Παίρνουμε τον αριθμό στο 8ο σύστημα αριθμών: 144
100 = 144 8

Για να μεταφράσουμε το κλασματικό μέρος ενός αριθμού, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά το κλασματικό μέρος με τη βάση 8. Ως αποτέλεσμα, κάθε φορά σημειώνουμε το ακέραιο μέρος του γινομένου.
0,12*8 = 0,96 (ολόκληρο μέρος 0 )
0,96*8 = 7,68 (ολόκληρο μέρος 7 )
0,68*8 = 5,44 (ολόκληρο μέρος 5 )
0,44*8 = 3,52 (ολόκληρο μέρος 3 )
Παίρνουμε τον αριθμό στο 8ο σύστημα αριθμών: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Στάδιο 2. Μετατροπή αριθμού από δεκαδικό σε οκταδικό.
Αντίστροφη μετατροπή από οκταδικό σε δεκαδικό.

Για να μεταφράσετε το ακέραιο μέρος, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε το ψηφίο του αριθμού με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Για να μεταφράσετε το κλασματικό μέρος, είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το ψηφίο του αριθμού με τον αντίστοιχο βαθμό ψηφίου
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Η διαφορά 0,0001 (100,12 - 100,1199) οφείλεται σε σφάλμα στρογγυλοποίησης κατά τη μετατροπή σε οκταδικό. Αυτό το σφάλμα μπορεί να μειωθεί εάν πάρουμε μεγαλύτερο αριθμό ψηφίων (για παράδειγμα, όχι 4, αλλά 8).

Πριν ξεκινήσουμε να λύνουμε προβλήματα, πρέπει να κατανοήσουμε μερικά απλά σημεία.

Θεωρήστε τον δεκαδικό αριθμό 875. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού (5) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 875 με το 10. Τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν τον αριθμό 75 - αυτό είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 875 με το 100 Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν για οποιοδήποτε σύστημα αριθμών:

Το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το υπόλοιπο από τη διαίρεση αυτού του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών.

Τα δύο τελευταία ψηφία ενός αριθμού είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού με τη βάση του τετραγωνικού αριθμού συστήματος.

Για παράδειγμα, . Διαιρούμε το 23 με τη βάση του συστήματος 3, παίρνουμε 7 και 2 στο υπόλοιπο (2 είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού στο τριαδικό σύστημα). Διαιρέστε το 23 με το 9 (βάση στο τετράγωνο), παίρνουμε 18 και 5 στο υπόλοιπο (5 = ).

Ας επιστρέψουμε στο συνηθισμένο δεκαδικό σύστημα. Αριθμός = 100000. Το 10 στη δύναμη του k είναι ένα και το k μηδενικά.

Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για οποιοδήποτε σύστημα αριθμών:

Η βάση του αριθμητικού συστήματος στη δύναμη του k σε αυτό το σύστημα αριθμών γράφεται ως μονάδα και k μηδενικά.

Για παράδειγμα, .

1. Αναζητήστε τη βάση του αριθμητικού συστήματος

Παράδειγμα 1

Σε ένα σύστημα αριθμών με κάποια βάση, ο δεκαδικός αριθμός 27 γράφεται ως 30. Καθορίστε αυτή τη βάση.

Λύση:

Δηλώστε την απαιτούμενη βάση x. Τότε .δηλ. x=9.

Παράδειγμα 2

Σε ένα σύστημα αριθμών με κάποια βάση, ο δεκαδικός αριθμός 13 γράφεται ως 111. Καθορίστε αυτή τη βάση.

Λύση:

Δηλώστε την απαιτούμενη βάση x. Επειτα

Λύνουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση, παίρνουμε τις ρίζες 3 και -4. Δεδομένου ότι η βάση του συστήματος αριθμών δεν μπορεί να είναι αρνητική, η απάντηση είναι 3.

Απάντηση: 3

Παράδειγμα 3

Υποδείξτε, χωρισμένα με κόμμα, με αύξουσα σειρά, όλες τις βάσεις των αριθμητικών συστημάτων στα οποία η καταχώριση του αριθμού 29 τελειώνει σε 5.

Λύση:

Αν σε κάποιο σύστημα ο αριθμός 29 τελειώνει σε 5, τότε ο αριθμός μειωμένος κατά 5 (29-5=24) τελειώνει σε 0. Έχουμε ήδη πει ότι ο αριθμός τελειώνει στο 0 όταν διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με τη βάση του συστήματος . Εκείνοι. πρέπει να βρούμε όλους αυτούς τους αριθμούς που είναι διαιρέτες του αριθμού 24. Οι αριθμοί αυτοί είναι: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Σημειώστε ότι στα συστήματα αριθμών με βάση 2, 3, 4 δεν υπάρχει αριθμός 5 (και στο πρόβλημα της διατύπωσης, ο αριθμός 29 τελειώνει σε 5), άρα υπάρχουν συστήματα με βάσεις: 6, 8, 12,

Απάντηση: 6, 8, 12, 24

Παράδειγμα 4

Υποδείξτε, χωρισμένα με κόμματα, με αύξουσα σειρά, όλες τις βάσεις των αριθμητικών συστημάτων στα οποία η καταχώριση του αριθμού 71 τελειώνει σε 13.

Λύση:

Εάν σε κάποιο σύστημα ο αριθμός τελειώνει σε 13, τότε η βάση αυτού του συστήματος είναι τουλάχιστον 4 (αλλιώς δεν υπάρχει αριθμός 3).

Ένας αριθμός μειωμένος κατά 3 (71-3=68) καταλήγει σε 10. Δηλαδή, Το 68 διαιρείται πλήρως με την απαιτούμενη βάση του συστήματος και το πηλίκο αυτού, όταν διαιρείται με τη βάση του συστήματος, δίνει ένα υπόλοιπο 0.

Ας γράψουμε όλους τους ακέραιους διαιρέτες του αριθμού 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 δεν είναι κατάλληλο, γιατί η βάση δεν είναι μικρότερη από 4. Ελέγξτε τους υπόλοιπους διαιρέτες:

68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (υπόλοιπο 1) - κατάλληλο

68:17 = 4; 4:17 = 0 (υπόλοιπο 4) - ακατάλληλο

68:34 = 2; 2:17 = 0 (υπόλοιπο 2) - ακατάλληλο

68:68 = 1; 1:68 = 0 (υπόλοιπο 1) - κατάλληλο

Απάντηση: 4, 68

2. Αναζήτηση αριθμών βάσει συνθηκών

Παράδειγμα 5

Να υποδείξετε, χωρισμένους με κόμμα, με αύξουσα σειρά, όλους τους δεκαδικούς αριθμούς που δεν υπερβαίνουν το 25, η συμβολή των οποίων στο βασικό σύστημα τεσσάρων αριθμών τελειώνει σε 11;

Λύση:

Αρχικά, ας μάθουμε πώς μοιάζει ο αριθμός 25 σε ένα σύστημα αριθμών με βάση το 4.

Εκείνοι. πρέπει να βρούμε όλους τους αριθμούς, όχι μεγαλύτερους από , των οποίων η σημειογραφία τελειώνει με 11. Με τον κανόνα της διαδοχικής μέτρησης σε ένα σύστημα με βάση το 4,
παίρνουμε αριθμούς και . Τα μεταφράζουμε στο δεκαδικό σύστημα αριθμών:

Απάντηση: 5, 21

3. Λύση εξισώσεων

Παράδειγμα 6

Λύστε την εξίσωση:

Γράψτε την απάντηση σε τριμερές σύστημα (η βάση του συστήματος αριθμών στην απάντηση δεν είναι απαραίτητο να γραφτεί).

Λύση:

Ας μετατρέψουμε όλους τους αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα αριθμών:

Η τετραγωνική εξίσωση έχει ρίζες -8 και 6. (γιατί η βάση του συστήματος δεν μπορεί να είναι αρνητική). .

Απάντηση: 20

4. Μετρώντας τον αριθμό των μονάδων (μηδενικά) στη δυαδική σημείωση της τιμής της παράστασης

Για να λύσουμε αυτό το είδος προβλήματος, πρέπει να θυμόμαστε πώς λειτουργεί η πρόσθεση και η αφαίρεση "σε μια στήλη":

Κατά την πρόσθεση, προκύπτει η κατά bit άθροιση των ψηφίων που γράφονται το ένα κάτω από το άλλο, ξεκινώντας από τα λιγότερο σημαντικά ψηφία. Εάν το προκύπτον άθροισμα δύο ψηφίων είναι μεγαλύτερο ή ίσο με τη βάση του συστήματος αριθμών, το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτού του ποσού με τη βάση του συστήματος γράφεται κάτω από τα αθροιστικά ψηφία και το ακέραιο μέρος της διαίρεσης αυτού του ποσού με τη βάση του συστήματος προστίθεται στο άθροισμα των παρακάτω ψηφίων.

Κατά την αφαίρεση, γίνεται μια αφαίρεση bit-by-bit των ψηφίων που γράφονται το ένα κάτω από το άλλο, ξεκινώντας από τα λιγότερο σημαντικά ψηφία. Εάν το πρώτο ψηφίο είναι μικρότερο από το δεύτερο, «δανειζόμαστε» ένα από το διπλανό (μεγαλύτερο) ψηφίο. Η μονάδα που καταλαμβάνεται στο τρέχον ψηφίο είναι ίση με τη βάση του συστήματος αριθμών. Στο δεκαδικό είναι 10, στο δυαδικό είναι 2, στο τριαδικό είναι 3, και ούτω καθεξής.

Παράδειγμα 7

Πόσες μονάδες περιέχονται στη δυαδική σημείωση της τιμής της παράστασης: ;

Λύση:

Ας αναπαραστήσουμε όλους τους αριθμούς της παράστασης ως δυνάμεις δύο:

Στη δυαδική σημειογραφία, τα δύο στη δύναμη του n μοιάζουν με 1 ακολουθούμενα από n μηδενικά. Στη συνέχεια, αθροίζοντας και , παίρνουμε έναν αριθμό που περιέχει 2 μονάδες: