10 skaitļu sistēma. Skaitļu tulkošana bināro, heksadecimālo, decimālo, oktālo skaitļu sistēmās. Uzdevumi vērtību noteikšanai dažādās skaitļu sistēmās un to bāzēs
1. vingrinājums. Kurš skaitlis decimālo skaitļu sistēmā atbilst skaitlim 24 16?
Risinājums.
24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36
Atbilde. 24 16 = 36 10
2. uzdevums. Ir zināms, ka X = 12 4 + 4 5 + 101 2 . Kāds ir skaitlis X decimāldaļās?
Risinājums.
12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Atrodiet skaitli: X = 6 + 4 + 5 = 15
Atbilde. X = 15 10
3. uzdevums. Aprēķiniet summas 10 2 + 45 8 + 10 16 vērtību decimāldaļās.
Risinājums.
Tulkosim katru terminu decimālo skaitļu sistēmā:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Summa ir: 2 + 37 + 16 = 55
Konvertēt uz bināro skaitļu sistēmu
1. vingrinājums. Kas ir skaitlis 37 binārajā skaitļu sistēmā?
Risinājums.
Varat konvertēt, dalot ar 2 un apvienojot atlikumus apgrieztā secībā.
Vēl viens veids ir izvērst skaitli divu pakāpju summā, sākot ar lielāko, kura aprēķinātais rezultāts ir mazāks par doto skaitli. Pārveidojot, trūkstošie skaitļa pakāpumi jāaizstāj ar nullēm:
37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101
Atbilde. 37 10 = 100101 2 .
2. uzdevums. Cik nozīmīgo nulles ir decimālskaitļa 73 binārajā attēlojumā?
Risinājums.
Skaitli 73 sadalām pakāpju summā divi, sākot ar lielāko un reizinot trūkstošos ar nullēm, bet esošos ar vienu:
73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001
Atbilde. Decimālskaitļa 73 binārajā apzīmējumā ir četras nozīmīgas nulles.
3. uzdevums. Aprēķiniet x un y summu, ja x = D2 16 , y = 37 8 . Uzrādiet rezultātu binārā skaitļu sistēmā.
Risinājums.
Atgādiniet, ka katru heksadecimālā skaitļa ciparu veido četri bināri cipari, katrs oktālā skaitļa cipars ir trīs:
D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111
Saskaitīsim skaitļus:
11010010 11111 -------- 11110001
Atbilde. Skaitļu D2 16 un y = 37 8 summa, kas attēlota binārajā sistēmā, ir 11110001.
4. uzdevums.Ņemot vērā: a= D7 16 , b= 331 8. Kurš no skaitļiem c, rakstīts ar bināro apzīmējumu, atbilst nosacījumam a< c < b ?
- 11011001
- 11011100
- 11010111
- 11011000
Risinājums.
Tulkosim skaitļus binārajā skaitļu sistēmā:
D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001
Pirmie četri cipari visiem skaitļiem ir vienādi (1101). Tāpēc salīdzinājums ir vienkāršots līdz mazāk nozīmīgo četru ciparu salīdzinājumam.
Pirmais numurs sarakstā ir numurs b, tāpēc neder.
Otrais skaitlis ir lielāks par b. Trešais numurs ir a.
Der tikai ceturtais numurs: 0111< 1000 < 1001.
Atbilde. Ceturtā iespēja (11011000) atbilst nosacījumam a< c < b .
Uzdevumi vērtību noteikšanai dažādās skaitļu sistēmās un to bāzēs
1. vingrinājums. Rakstzīmes @, $, &, % ir kodētas divciparu secīgos bināros skaitļos. Pirmā rakstzīme atbilst skaitlim 00. Izmantojot šīs rakstzīmes, tika kodēta šāda secība: $% [aizsargāts ar e-pastu]$. Atšifrējiet šo secību un pārveidojiet rezultātu par heksadecimālu.
Risinājums.
1. Salīdzināsim bināros skaitļus ar to kodētajām rakstzīmēm:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %
3. Pārtulkosim bināro skaitli heksadecimālo skaitļu sistēmā:
0111 1010 0001 = 7A1
Atbilde. 7A1 16 .
2. uzdevums. Dārzā ir 100 x augļu koki, no kuriem 33 x ir ābeles, 22 x ir bumbieres, 16 x ir plūmes, 17 x ir ķirši. Kas ir skaitļu sistēmas (x) bāze.
Risinājums.
1. Ņemiet vērā, ka visi termini ir divciparu skaitļi. Jebkurā skaitļu sistēmā tos var attēlot šādi:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, kur a un b ir skaitļa atbilstošo ciparu cipari.
Trīsciparu skaitlim tas būtu šādi:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c
2. Problēmas stāvoklis ir šāds:
33x + 22x + 16x + 17x = 100x
Aizstāj skaitļus formulās:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x2
3. Atrisiniet kvadrātvienādojumu:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. D kvadrātsakne ir 11.
Kvadrātvienādojuma saknes:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 vai x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9
4. Negatīvs skaitlis nevar būt skaitļu sistēmas pamats. Tātad x var būt vienāds tikai ar 9.
Atbilde. Vēlamā skaitļu sistēmas bāze ir 9.
3. uzdevums. Skaitļu sistēmā ar kādu bāzi decimālskaitli 12 raksta kā 110. Atrodiet šo bāzi.
Risinājums.
Vispirms ierakstīsim skaitli 110, izmantojot formulu skaitļu rakstīšanai pozicionālajās skaitļu sistēmās, lai atrastu vērtību decimālo skaitļu sistēmā, un pēc tam ar brutālu spēku atrodam bāzi.
110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x
Mums jāsaņem 12. Mēģinām 2: 2 2 + 2 = 6. Mēģinām 3: 3 2 + 3 = 12.
Tātad skaitļu sistēmas bāze ir 3.
Atbilde. Vēlamā skaitļu sistēmas bāze ir 3.
4. uzdevums. Kādā skaitļu sistēmā decimālskaitlis 173 tiktu attēlots kā 445?
Risinājums.
Mēs apzīmējam nezināmo bāzi ar X. Mēs rakstām šādu vienādojumu:
173 10 \u003d 4 * X 2 + 4 * X 1 + 5 * X 0
Ņemot vērā, ka jebkurš pozitīvs skaitlis pret nulles pakāpi ir vienāds ar 1, mēs pārrakstām vienādojumu (bāze 10 netiks norādīta).
173 = 4 * X 2 + 4 * X + 5
Protams, šādu kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu, taču ir arī vienkāršāks risinājums. No labās un kreisās daļas atņem ar 4. Iegūstam
169 \u003d 4 * X 2 + 4 * X + 1 vai 13 2 \u003d (2 * X + 1) 2
No šejienes mēs iegūstam 2 * X + 1 \u003d 13 (mēs atmetam negatīvo sakni). Vai X = 6.
Atbilde: 173 10 = 445 6
Uzdevumi vairāku skaitļu sistēmu bāzu atrašanai
Ir uzdevumu grupa, kurā ir jāuzskaita (augošā vai dilstošā secībā) visas skaitļu sistēmu bāzes, kurās dotā skaitļa attēlojums beidzas ar noteiktu ciparu. Šis uzdevums tiek atrisināts pavisam vienkārši. Vispirms jums ir jāatņem dotais cipars no sākotnējā skaitļa. Iegūtais skaitlis būs skaitļu sistēmas pirmā bāze. Un visas pārējās bāzes var būt tikai šī skaitļa dalītāji. (Šis apgalvojums ir pierādīts, pamatojoties uz noteikumu par skaitļu pārnešanu no vienas skaitļu sistēmas uz citu - sk. 4. punktu). Vienkārši atcerieties to skaitļu sistēmas bāze nevar būt mazāka par doto ciparu!
Piemērs
Norādiet, atdalot ar komatiem, augošā secībā visas to skaitļu sistēmu bāzes, kurās skaitļa 24 ievade beidzas ar 3.
Risinājums
24 - 3 \u003d 21 ir pirmā bāze (13 21 \u003d 13 * 21 1 + 3 * 21 0 \u003d 24).
21 dalās ar 3 un 7. Skaitlis 3 nav piemērots, jo Pamata 3 skaitļu sistēmā 3 nav.
Atbilde: 7, 21
Datorzinātņu kursā, neatkarīgi no skolas vai augstskolas, īpaša vieta ir tādam jēdzienam kā skaitļu sistēmas. Parasti tam tiek atvēlētas vairākas nodarbības vai praktiskie vingrinājumi. Galvenais mērķis ir ne tikai apgūt tēmas pamatjēdzienus, izpētīt skaitļu sistēmu veidus, bet arī iepazīties ar bināro, oktālo un heksadecimālo aritmētiku.
Ko tas nozīmē?
Sāksim ar galvenā jēdziena definīciju. Kā atzīmēts mācību grāmatā "Datorzinātne", skaitļu sistēma ir skaitļu ieraksts, kas izmanto īpašu alfabētu vai noteiktu skaitļu kopu.
Atkarībā no tā, vai cipara vērtība mainās no tā pozīcijas skaitļā, izšķir divas: pozicionālās un nepozicionālās skaitļu sistēmas.
Pozicionālajās sistēmās cipara vērtība mainās līdz ar tā atrašanās vietu ciparā. Tātad, ja ņemam skaitli 234, tad tajā esošais skaitlis 4 nozīmē vienības, bet, ja ņemam vērā skaitli 243, tad šeit tas jau nozīmēs desmitus, nevis vienības.
Nepozicionālās sistēmās cipara vērtība ir statiska neatkarīgi no tā pozīcijas skaitļā. Visspilgtākais piemērs ir nūju sistēma, kur katra vienība ir norādīta ar domuzīmi. Neatkarīgi no tā, kur jūs piešķirat zizli, skaitļa vērtība mainīsies tikai par vienu.
Nepozicionālās sistēmas
Nepozicionālās skaitļu sistēmas ietver:
- Vienota sistēma, kas tiek uzskatīta par vienu no pirmajām. Ciparu vietā tika izmantotas nūjas. Jo vairāk to bija, jo lielāka bija skaitļa vērtība. Šādi rakstītu skaitļu piemēru var sastapt filmās, kur runa ir par jūrā pazudušajiem cilvēkiem, ieslodzītajiem, kuri katru dienu atzīmē ar iecirtumu palīdzību akmenī vai kokā.
- romiešu valoda, kurā ciparu vietā tika izmantoti latīņu burti. Izmantojot tos, jūs varat uzrakstīt jebkuru numuru. Tajā pašā laikā tā vērtība tika noteikta, izmantojot skaitļu veidojošo ciparu summu un starpību. Ja pa kreisi no cipara bija mazāks skaitlis, tad kreisais cipars tika atņemts no labā, un, ja labajā pusē esošais cipars bija mazāks vai vienāds ar ciparu pa kreisi, tad to vērtības tika summētas. uz augšu. Piemēram, skaitlis 11 tika rakstīts kā XI, bet 9 - IX.
- Burti, kuros skaitļi tika apzīmēti, izmantojot noteiktas valodas alfabētu. Viena no tām ir slāvu sistēma, kurā vairākiem burtiem bija ne tikai fonētiska, bet arī skaitliska vērtība.
- kurā ierakstīšanai izmantoti tikai divi apzīmējumi - ķīļi un bultas.
- Arī Ēģiptē ciparu apzīmēšanai izmantoja īpašus simbolus. Rakstot ciparu, katru rakstzīmi varēja izmantot ne vairāk kā deviņas reizes.
Pozicionālās sistēmas
Datorzinātnē liela uzmanība tiek pievērsta pozicionālo skaitļu sistēmām. Tie ietver:
- binārs;
- oktāls;
- decimālzīme;
- heksadecimāls;
- Sexagesimal, ko izmanto, skaitot laiku (piemēram, minūtē - 60 sekundes, stundā - 60 minūtes).
Katrai no tām ir savs rakstīšanas alfabēts, tulkošanas noteikumi un aritmētiskās darbības.
Decimālsistēma
Šī sistēma mums ir vispazīstamākā. Ciparu rakstīšanai tiek izmantoti skaitļi no 0 līdz 9. Tos sauc arī par arābu valodu. Atkarībā no cipara atrašanās vietas ciparā tas var apzīmēt dažādus ciparus – vienības, desmitus, simtus, tūkstošus vai miljonus. Mēs to lietojam visur, zinām pamatnoteikumus, pēc kuriem tiek veiktas aritmētiskās darbības ar skaitļiem.
Binārā sistēma
Viena no galvenajām datorzinātņu skaitļu sistēmām ir binārā. Tā vienkāršība ļauj datoram veikt apgrūtinošus aprēķinus vairākas reizes ātrāk nekā decimālajā sistēmā.
Lai rakstītu ciparus, tiek izmantoti tikai divi cipari - 0 un 1. Tajā pašā laikā atkarībā no 0 vai 1 pozīcijas ciparā tā vērtība mainīsies.
Sākotnēji tieši ar datoru palīdzību viņi saņēma visu nepieciešamo informāciju. Tajā pašā laikā viens nozīmēja signāla klātbūtni, kas pārraidīts, izmantojot spriegumu, un nulle nozīmēja tā neesamību.
Oktālā sistēma
Vēl viena plaši pazīstama datoru skaitļu sistēma, kurā tiek izmantoti skaitļi no 0 līdz 7. To izmantoja galvenokārt tajās zināšanu jomās, kas ir saistītas ar digitālajām ierīcēm. Bet pēdējā laikā to lieto daudz retāk, jo to aizstāja heksadecimālo skaitļu sistēma.
Binārā decimāldaļa
Lielu skaitļu attēlošana binārajā sistēmā cilvēkam ir diezgan sarežģīts process. Lai to vienkāršotu, tas tika izstrādāts.Parasti tiek izmantots elektroniskajos pulksteņos, kalkulatoros. Šajā sistēmā nevis viss skaitlis tiek pārvērsts no decimālās sistēmas binārajā sistēmā, bet katrs cipars tiek pārtulkots atbilstošajā nulles un vieninieku kopā binārajā sistēmā. Tas pats attiecas uz konvertēšanu no binārā uz decimālo. Katrs cipars, kas attēlots kā četru ciparu nulles un vieninieku kopa, tiek pārtulkots ciparā decimālo skaitļu sistēmā. Principā nav nekā sarežģīta.
Lai strādātu ar skaitļiem, šajā gadījumā ir noderīga skaitļu sistēmu tabula, kurā būs norādīta atbilstība starp skaitļiem un to bināro kodu.
Heksadecimālā sistēma
Pēdējā laikā heksadecimālā skaitļu sistēma ir kļuvusi arvien populārāka programmēšanā un datorzinātnēs. Tas izmanto ne tikai ciparus no 0 līdz 9, bet arī vairākus latīņu burtus - A, B, C, D, E, F.
Tajā pašā laikā katram no burtiem ir sava nozīme, tātad A=10, B=11, C=12 un tā tālāk. Katrs cipars ir attēlots kā četru rakstzīmju kopa: 001F.
Skaitļu konvertēšana: no decimāldaļas uz bināru
Tulkošana skaitļu sistēmās notiek saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Visizplatītākā konvertēšana ir no binārā uz decimālo un otrādi.
Lai pārvērstu skaitli no decimālskaitļa uz bināru, tas ir konsekventi jādala ar skaitļu sistēmas bāzi, tas ir, skaitli divi. Šajā gadījumā katras nodaļas atlikusī daļa ir jānosaka. Tas turpināsies, līdz atlikušais sadalījums ir mazāks vai vienāds ar vienu. Vislabāk ir veikt aprēķinus kolonnā. Pēc tam iegūtie dalīšanas atlikumi tiek ierakstīti virknē apgrieztā secībā.
Piemēram, pārveidosim skaitli 9 par bināru:
Mēs sadalām 9, jo skaitlis nav vienmērīgi dalāms, tad mēs ņemam skaitli 8, atlikums būs 9 - 1 = 1.
Pēc 8 dalīšanas ar 2, mēs iegūstam 4. Mēs to sadalām vēlreiz, jo skaitlis tiek dalīts ar divi - mēs iegūstam 4 - 4 = 0 atlikušajā daļā.
Mēs veicam to pašu darbību ar 2. Atlikums ir 0.
Sadalīšanas rezultātā mēs iegūstam 1.
Neatkarīgi no galīgās skaitļu sistēmas, skaitļu pārsūtīšana no decimāldaļas uz jebkuru citu notiks saskaņā ar skaitļa dalīšanas principu, pamatojoties uz pozicionālo sistēmu.
Skaitļu konvertēšana: no binārā uz decimālo
Ir diezgan viegli pārvērst skaitļus decimāldaļās no binārā. Lai to izdarītu, pietiek zināt noteikumus skaitļu palielināšanai līdz jaudai. Šajā gadījumā līdz diviem.
Tulkošanas algoritms ir šāds: katrs cipars no binārā skaitļa koda jāreizina ar divi, un pirmie divi būs ar pakāpju m-1, otrie - m-2 un tā tālāk, kur m ir skaitlis cipariem kodā. Pēc tam pievienojiet saskaitīšanas rezultātus, iegūstot veselu skaitli.
Skolēniem šo algoritmu var izskaidrot vienkāršāk:
Sākumā mēs ņemam un pierakstām katru ciparu, kas reizināts ar divi, pēc tam mēs noliekam divu jaudu no beigām, sākot no nulles. Pēc tam saskaitiet iegūto skaitli.
Piemēram, analizēsim kopā ar jums iepriekš iegūto skaitli 1001, pārvēršot to decimālajā sistēmā, un tajā pašā laikā pārbaudīsim mūsu aprēķinu pareizību.
Tas izskatīsies šādi:
1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.
Studējot šo tēmu, ir ērti izmantot tabulu ar divu jaudu. Tas ievērojami samazinās aprēķiniem nepieciešamo laiku.
Citas tulkošanas iespējas
Dažos gadījumos tulkošanu var veikt starp bināro un oktālo, bināro un heksadecimālo. Šādā gadījumā varat izmantot īpašas tabulas vai palaist kalkulatora lietojumprogrammu datorā, skata cilnē atlasot opciju “Programmētājs”.
Aritmētiskās darbības
Neatkarīgi no formas, kādā skaitlis ir attēlots, ir iespējams veikt mums zināmus aprēķinus. Tas var būt dalīšana un reizināšana, atņemšana un saskaitīšana jūsu izvēlētajā skaitļu sistēmā. Protams, katram no tiem ir savi noteikumi.
Tāpēc binārajai sistēmai katrai operācijai ir izstrādātas savas tabulas. Tās pašas tabulas tiek izmantotas citās pozicionēšanas sistēmās.
Nav nepieciešams tos iegaumēt - vienkārši izdrukājiet un paņemiet pie rokas. Varat arī izmantot datorā esošo kalkulatoru.
Viena no svarīgākajām tēmām datorzinātnē ir skaitļu sistēma. Zinot šo tēmu, izpratne par algoritmiem skaitļu tulkošanai no vienas sistēmas uz otru ir garantija, ka jūs spēsiet saprast sarežģītākas tēmas, piemēram, algoritmizāciju un programmēšanu, un varēsiet patstāvīgi uzrakstīt savu pirmo programmu.
Uzdevumi par tēmu "Ciparu sistēmas"
Risinājumu piemēri
Uzdevums numurs 1. Cik zīmīgo ciparu ir 3. decimālskaitlī 357?Risinājums:Pārtulkosim skaitli 35710 trīskāršā skaitļu sistēmā:Tātad, 35710 = 1110203. Skaitlis 1110203 satur 6 zīmīgos ciparus.Atbilde: 6.
2. uzdevums. Dots A=A715, B=2518. Kurš no binārajā sistēmā ierakstītajiem skaitļiem C atbilst nosacījumam A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Risinājums:Pārveidosim skaitļus A=A715 un B=2518 binārajā skaitļu sistēmā, katru pirmā skaitļa ciparu aizstājot ar atbilstošo tetradi, bet otrā skaitļa katru ciparu ar atbilstošo triādi: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Stāvoklis a
Uzdevums numurs 3.
Ar kādu ciparu decimālskaitlis 123 beidzas ar 6. bāzi?Risinājums:Pārtulkosim skaitli 12310 skaitļu sistēmā ar 6. bāzi:
12310 = 3236.
Atbilde: skaitļa 12310 ievadīšana skaitļu sistēmā ar 6. bāzi beidzas ar skaitli 3.Uzdevumi aritmētisko darbību veikšanai ar skaitļiem, kas attēloti dažādās skaitļu sistēmās
Uzdevums numurs 4.
Aprēķiniet skaitļu X un Y summu, ja X=1101112, Y=1358. Izsakiet rezultātu binārā formā.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002
Risinājums:Pārtulkosim skaitli Y=1358 binārajā skaitļu sistēmā, katru tā ciparu aizstājot ar atbilstošo triādi: 001 011 1012. Veicam saskaitīšanu:
Atbilde: 100101002 (2. iespēja).
Uzdevums numurs 5.
Atrodiet skaitļu 2368, 6C16 un 1110102 vidējo aritmētisko. Izsakiet atbildi decimāldaļās.Risinājums:Pārtulkosim skaitļus 2368, 6С16 un 1110102 decimālo skaitļu sistēmā:
Aprēķināsim skaitļu vidējo aritmētisko: (158+108+58)/3 = 10810.Atbilde: skaitļu 2368, 6C16 un 1110102 vidējais aritmētiskais ir 10810.
Uzdevums numurs 6.
Aprēķināt izteiksmes 2068 + AF16 vērtību? 110010102. Veikt aprēķinus oktālo skaitļu sistēmā. Pārvērtiet savu atbildi uz decimāldaļu.Risinājums:Tulkosim visus skaitļus oktālo skaitļu sistēmā:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Saskaitīsim skaitļus:
Pārvērsīsim atbildi uz decimālo sistēmu:Atbilde: 51110.
Uzdevumi skaitļu sistēmas bāzes atrašanai
Uzdevums numurs 7.
Dārzā aug 100q augļu koki: 33q ābele, 22q bumbiere, 16q plūme un 17q ķirsis. Atrodiet skaitļu sistēmas bāzi, kurā koki tiek skaitīti.Risinājums:Dārzā ir 100q koki: 100q = 33q+22q+16q+17q.Numurēsim ciparus un parādīsim šos skaitļus izvērstā veidā:
Atbilde: Koki tiek skaitīti 9 bāzes skaitļu sistēmā.
Uzdevums numurs 8.
Atrodiet skaitļu sistēmas bāzi x, ja zināt, ka 2002x = 13010.Risinājums:
Atbilde: 4.
Uzdevums numurs 9.
Skaitļu sistēmā ar kādu bāzi decimālskaitli 18 raksta kā 30. Norādiet šo bāzi.Risinājums:Ņemsim nezināmās skaitļu sistēmas bāzi kā x un uzrakstīsim šādu vienādojumu:1810 = 30x;Mēs numurējam ciparus un rakstām šos skaitļus izvērstā veidā:
Atbilde: decimālskaitlis 18 tiek rakstīts kā 30 6. bāzes skaitļu sistēmā.
Varat ievadīt veselus skaitļus, piemēram, 34, vai daļskaitļus, piemēram, 637,333. Daļskaitļiem ir norādīta tulkojuma precizitāte aiz komata.
Ar šo kalkulatoru tiek izmantoti arī šādi elementi:
Veidi, kā attēlot skaitļus
Binārs (binārie) skaitļi - katrs cipars nozīmē viena bita vērtību (0 vai 1), nozīmīgākais bits vienmēr tiek rakstīts kreisajā pusē, burts “b” tiek likts aiz cipara. Lai atvieglotu uztveri, piezīmju grāmatiņas var atdalīt ar atstarpēm. Piemēram, 1010 0101b.Heksadecimāls (heksadecimālie) skaitļi - katra tetrada tiek attēlota ar vienu rakstzīmi 0...9, A, B, ..., F. Šādu attēlojumu var apzīmēt dažādi, šeit pēc pēdējās tiek lietota tikai rakstzīme "h". heksadecimālais cipars. Piemēram, A5h. Programmu tekstos vienu un to pašu skaitli var apzīmēt gan kā 0xA5, gan 0A5h atkarībā no programmēšanas valodas sintakses. Pa kreisi no nozīmīgākā heksadecimālā cipara, kas attēlots ar burtu, tiek pievienota nenozīmīga nulle (0), lai atšķirtu ciparus un simboliskus nosaukumus.
Decimālzīmes (decimālskaitļi) - katrs baits (vārds, dubultvārds) tiek attēlots ar parastu skaitli, un decimāldaļskaitļa zīme (burts "d") parasti tiek izlaista. Iepriekšējo piemēru baita decimālvērtība ir 165. Atšķirībā no binārā un heksadecimālā pieraksta, decimāldaļās ir grūti garīgi noteikt katra bita vērtību, kas dažreiz ir jādara.
Octal (oktālie) skaitļi - katrs bitu trīskāršs (atdalīšana sākas no mazāknozīmīgākā) tiek uzrakstīts kā skaitlis 0-7, beigās tiek likta zīme "o". Tas pats skaitlis būtu rakstīts kā 245o. Oktālā sistēma ir neērta, jo baitu nevar sadalīt vienādi.
Algoritms skaitļu pārveidošanai no vienas skaitļu sistēmas citā
Veselu decimālo skaitļu pārvēršana uz jebkuru citu skaitļu sistēmu tiek veikta, dalot skaitli ar jaunās skaitļu sistēmas bāzi, līdz atlikums atstāj skaitli, kas ir mazāks par jaunās skaitļu sistēmas bāzi. Jaunais numurs tiek rakstīts kā sadalījuma atlikums, sākot ar pēdējo.Pareizās decimāldaļdaļas pārvēršana citā PSS tiek veikta, reizinot tikai skaitļa daļdaļu ar jaunās skaitļu sistēmas bāzi, līdz daļdaļā paliek visas nulles vai līdz tiek sasniegta norādītā tulkošanas precizitāte. Katras reizināšanas darbības rezultātā veidojas viens jaunā skaitļa cipars, sākot no lielākā.
Nepareizas daļskaitļa tulkošana tiek veikta saskaņā ar 1. un 2. noteikumu. Veselo skaitļu un daļskaitļu daļas raksta kopā, atdalot ar komatu.
1. piemērs. 
Tulkošana no 2 līdz 8 līdz 16 skaitļu sistēma.
Šīs sistēmas ir divas reizes, tāpēc tulkošana tiek veikta, izmantojot atbilstības tabulu (skatīt zemāk).
Lai pārvērstu skaitli no binārās skaitļu sistēmas par oktālo (heksadecimālo) skaitli, ir nepieciešams binārais skaitlis sadalīt grupās pa trim (heksadecimāliem četriem) cipariem no komata pa labi un pa kreisi, galējās grupas papildinot ar nullēm. ja nepieciešams. Katra grupa tiek aizstāta ar atbilstošo oktālo vai heksadecimālo ciparu.
2. piemērs. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
šeit 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Pārveidojot uz heksadecimālu, jums ir jāsadala skaitlis daļās, katrā pa četriem cipariem, ievērojot tos pašus noteikumus.
3. piemērs. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
šeit 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Skaitļu pārvēršana no 2, 8 un 16 uz decimālo sistēmu tiek veikta, sadalot skaitli atsevišķos un reizinot to ar sistēmas bāzi (no kuras tiek tulkots skaitlis), kas palielināta līdz pakāpei, kas atbilst tā kārtas skaitlim. tulkotajā numurā. Šajā gadījumā skaitļi tiek numurēti pa kreisi no komata (pirmajam skaitlim ir skaitlis 0), palielinoties, un pa labi ar samazināšanos (ti, ar negatīvu zīmi). Iegūtie rezultāti tiek summēti.
4. piemērs.
Piemērs konvertēšanai no binārās uz decimālo skaitļu sistēmu.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Piemērs pārvēršanai no oktālās uz decimālo skaitļu sistēmu. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Piemērs konvertēšanai no heksadecimālās uz decimālo skaitļu sistēmu. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Vēlreiz atkārtojam algoritmu skaitļu tulkošanai no vienas skaitļu sistēmas uz citu PSS
- No decimālskaitļu sistēmas:
- dala skaitli ar tulkojamās skaitļu sistēmas bāzi;
- pēc skaitļa veselās daļas dalīšanas atrod atlikušo daļu;
- pierakstiet visus atlikumus no dalīšanas apgrieztā secībā;
- No binārās sistēmas
- Lai konvertētu uz decimālo skaitļu sistēmu, jāatrod 2. bāzes reizinājumu summa ar atbilstošo izlādes pakāpi;
- Lai skaitli pārvērstu par oktālu, skaitlis jāsadala trijās.
Piemēram, 1000110 = 1000 110 = 106 8 - Lai pārvērstu skaitli no bināra uz heksadecimālu, skaitlis jāsadala 4 ciparu grupās.
Piemēram, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Ciparu sistēmu atbilstības tabula:
| Binārais SS | Heksadecimālais SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tabula konvertēšanai uz oktālo skaitļu sistēmu
2. piemērs. Pārvērtiet skaitli 100.12 no decimāldaļas uz oktālu un otrādi. Paskaidrojiet neatbilstību iemeslus.
Risinājums.
1. posms. .
Atlikušo daļu raksta apgrieztā secībā. Mēs iegūstam skaitli 8. skaitļu sistēmā: 144
100 = 144 8
Lai tulkotu skaitļa daļējo daļu, mēs secīgi reizinām daļskaitli ar bāzi 8. Rezultātā katru reizi pierakstām reizinājuma veselo skaitļu daļu.
0,12*8 = 0,96 (visa daļa 0
)
0,96*8 = 7,68 (visa daļa 7
)
0,68*8 = 5,44 (visa daļa 5
)
0,44*8 = 3,52 (visa daļa 3
)
Mēs iegūstam numuru 8. skaitļu sistēmā: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
2. posms. Skaitļa pārvēršana no decimāldaļas uz oktālu.
Apgrieztā konvertēšana no astotnieka uz decimāldaļu.
Lai tulkotu veselo skaitļu daļu, skaitļa cipars jāreizina ar atbilstošo cipara pakāpi.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Lai tulkotu daļdaļu, skaitļa cipars ir jāsadala ar atbilstošo cipara pakāpi
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Atšķirība 0,0001 (100,12 - 100,1199) rodas noapaļošanas kļūdas dēļ, pārvēršot par oktālu. Šo kļūdu var samazināt, ja ņemam lielāku ciparu skaitu (piemēram, nevis 4, bet 8).
Pirms sākam risināt problēmas, mums ir jāsaprot daži vienkārši punkti.
Apsveriet decimālo skaitli 875. Skaitļa (5) pēdējais cipars ir skaitļa 875 dalījuma ar 10 atlikums. Pēdējie divi cipari veido skaitli 75 - tas ir skaitļa 875 dalījuma ar 100 atlikums. . Līdzīgi apgalvojumi attiecas uz jebkuru skaitļu sistēmu:
Skaitļa pēdējais cipars ir šī skaitļa dalīšanas atlikums ar skaitļu sistēmas bāzi.
Skaitļa pēdējie divi cipari ir skaitļa dalīšanas atlikums ar skaitļu sistēmas kvadrātā bāzi.
Piemēram, . Mēs sadalām 23 ar 3. sistēmas bāzi, atlikušajā daļā iegūstam 7 un 2 (2 ir skaitļa pēdējais cipars trīskāršajā sistēmā). Sadaliet 23 ar 9 (bāze kvadrātā), mēs iegūstam 18 un 5 atlikušajā daļā (5 = ).
Atgriezīsimies pie parastās decimāldaļas. Skaitlis = 100 000. 10 līdz k pakāpei ir viens un k nulle.
Līdzīgs apgalvojums attiecas uz jebkuru skaitļu sistēmu:
Skaitļu sistēmas bāze līdz k pakāpei šajā skaitļu sistēmā tiek rakstīta kā vienība un k nulles.
Piemēram, .
1. Meklēt skaitļu sistēmas bāzi
1. piemērs
Skaitļu sistēmā ar kādu bāzi decimālskaitli 27 raksta kā 30. Norādiet šo bāzi.
Risinājums:
Apzīmē nepieciešamo bāzi x. Tad .t.i. x=9.
2. piemērs
Skaitļu sistēmā ar kādu bāzi decimālskaitli 13 raksta kā 111. Norādiet šo bāzi.
Risinājums:
Apzīmē nepieciešamo bāzi x. Tad
Atrisinām kvadrātvienādojumu, iegūstam saknes 3 un -4. Tā kā skaitļu sistēmas bāze nevar būt negatīva, atbilde ir 3.
Atbilde: 3
3. piemērs
Norādiet, atdalot ar komatiem, augošā secībā visus skaitļu sistēmu pamatus, kuros skaitļa 29 ieraksts beidzas ar 5.
Risinājums:
Ja kādā sistēmā skaitlis 29 beidzas ar 5, tad skaitlis, kas samazināts par 5 (29-5=24), beidzas ar 0. Jau teicām, ka skaitlis beidzas ar 0, kad tas bez atlikuma dalās ar sistēmas bāzi . Tie. jāatrod visi tādi skaitļi, kas ir skaitļa 24 dalītāji. Šie skaitļi ir: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ņemiet vērā, ka skaitļu sistēmās ar bāzi 2, 3, 4 skaitļu nav 5 (un formulēšanas uzdevumā skaitlis 29 beidzas ar 5), tāpēc ir sistēmas ar bāzēm: 6, 8, 12,
Atbilde: 6, 8, 12, 24
4. piemērs
Norādiet, atdalot ar komatiem, augošā secībā visus skaitļu sistēmu pamatus, kuros skaitļa 71 ieraksts beidzas ar 13.
Risinājums:
Ja kādā sistēmā skaitlis beidzas ar 13, tad šīs sistēmas bāze ir vismaz 4 (pretējā gadījumā skaitļa 3 nav).
Skaitlis, kas samazināts par 3 (71-3=68), beidzas ar 10. Tas ir, 68 ir pilnībā dalāms ar nepieciešamo sistēmas bāzi, un tās koeficients, dalīts ar sistēmas bāzi, dod atlikumu 0.
Izrakstīsim visus skaitļa 68 veselo skaitļu dalītājus: 2, 4, 17, 34, 68.
2 nav piemērots, jo bāze nav mazāka par 4. Pārbaudiet pārējos dalītājus:
68:4 = 17; 17:4 \u003d 4 (atpūta 1) - piemērots
68:17 = 4; 4:17 = 0 (pārējais 4) - nav piemērots
68:34 = 2; 2:17 = 0 (atpūta 2) - nav piemērots
68:68 = 1; 1:68 = 0 (atpūta 1) - piemērots
Atbilde: 4, 68
2. Meklēt skaitļus pēc nosacījumiem
5. piemērs
Norādīt, atdalot ar komatu, augošā secībā visus decimālskaitļus, kas nepārsniedz 25, kuru apzīmējums četru pamatskaitļu sistēmā beidzas ar 11?
Risinājums:
Vispirms noskaidrosim, kā skaitlis 25 izskatās skaitļu sistēmā ar bāzi 4.
Tie. jāatrod visi skaitļi, kas nav lielāki par , kuru apzīmējums beidzas ar 11. Saskaņā ar secīgās skaitīšanas noteikumu sistēmā ar bāzi 4,
iegūstam skaitļus un . Mēs tos tulkojam decimālo skaitļu sistēmā:
Atbilde: 5, 21
3. Vienādojumu atrisināšana
6. piemērs
Atrisiniet vienādojumu:
Pierakstiet atbildi trīskāršā sistēmā (skaitļu sistēmas bāze atbildē nav jāraksta).
Risinājums:
Pārveidosim visus skaitļus decimālo skaitļu sistēmā:
Kvadrātvienādojumam ir saknes -8 un 6. (jo sistēmas bāze nevar būt negatīva). .
Atbilde: 20
4. Vieninieku (nuļļu) skaitīšana izteiksmes vērtības binārajā apzīmējumā
Lai atrisinātu šāda veida problēmas, mums jāatceras, kā darbojas saskaitīšana un atņemšana "kolonnā":
Saskaitot, notiek viens zem otra rakstīto ciparu bitu summēšana, sākot no vismazāk nozīmīgajiem cipariem. Ja iegūtā divu ciparu summa ir lielāka vai vienāda ar skaitļu sistēmas bāzi, šīs summas dalīšanas ar sistēmas bāzi atlikumu raksta zem summētajiem skaitļiem, bet veselo daļu, dalot šo summu ar bāzi. sistēmas vērtība tiek pievienota šādu ciparu summai.
Atņemot, notiek ciparu, kas rakstīti viens zem otra, atņemšana pa bitiem, sākot no vismazāk nozīmīgajiem cipariem. Ja pirmais cipars ir mazāks par otro, mēs “aizņemamies” vienu no blakus esošā (lielākā) cipara. Pašreizējā ciparā aizņemtā vienība ir vienāda ar skaitļu sistēmas bāzi. Decimāldaļās tas ir 10, bināros tas ir 2, trīsskaitļos tas ir 3 un tā tālāk.
7. piemērs
Cik vienību ir ietvertas izteiksmes vērtības binārajā apzīmējumā: ?
Risinājums:
Visus izteiksmes skaitļus attēlosim kā divu pakāpju:
Binārajā apzīmējumā divi ar pakāpju n izskatās kā 1, kam seko n nulles. Tad summējot un , mēs iegūstam skaitli, kas satur 2 vienības:
Tagad no iegūtā skaitļa atņemiet 10000. Saskaņā ar atņemšanas noteikumiem mēs aizņemamies no nākamā cipara.
Tagad iegūtajam skaitlim pievienojiet 1:
Redzam, ka rezultātā ir 2013+1+1=2015 vienības.
