Prezentācija "Naturālo skaitļu apzīmēšana". Naturālo skaitļu apzīmējums Kā naturālajā rindā veidojas jebkurš skaitlis

Dabisko skaitļu vēsture aizsākās primitīvos laikos. Kopš seniem laikiem cilvēki ir skaitījuši priekšmetus. Piemēram, tirdzniecībā bija nepieciešams preču konts vai būvniecībā materiālu konts. Jā, arī ikdienā bija jāskaita lietas, produkti, mājlopi. Sākumā skaitļus izmantoja tikai skaitīšanai dzīvē, praksē, bet vēlāk, matemātikai attīstoties, tie kļuva par zinātnes sastāvdaļu.

Veseli skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot objektus.

Piemēram: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....

Nulle nav naturāls skaitlis.

Visus naturālos skaitļus jeb sauksim naturālo skaitļu kopu apzīmē ar simbolu N.

Naturālo skaitļu tabula.

dabiskā rinda.

Dabiski skaitļi, kas ierakstīti rindas formā augošā secībā dabiska sērija vai naturālu skaitļu sērijas.

Dabiskās sērijas īpašības:

Mazākais dabiskais skaitlis ir viens.
Dabiskajā sērijā nākamais skaitlis ir lielāks par iepriekšējo. (1, 2, 3, …) Trīs vai trīs punkti tiek izmantoti, ja nav iespējams pabeigt skaitļu secību.
Dabiskajai sērijai nav maksimālā skaita, tā ir bezgalīga.

1. piemērs:
Uzraksti pirmos 5 naturālos skaitļus.
Risinājums:
Dabiskie skaitļi sākas ar vienu.
1, 2, 3, 4, 5

2. piemērs:
Vai nulle ir naturāls skaitlis?
Atbilde: nē.

3. piemērs:
Kāds ir pirmais skaitlis dabiskajā sērijā?
Atbilde: naturālais skaitlis sākas ar vienu.

4. piemērs:
Kāds ir pēdējais skaitlis dabiskajā sērijā? Kāds ir lielākais naturālais skaitlis?
Atbilde: Dabiskais skaitlis sākas ar vienu. Katrs nākamais skaitlis pa vienam ir lielāks par iepriekšējo, tāpēc pēdējais skaitlis neeksistē. Lielāko skaitļu nav.

5. piemērs:
Vai vienībai naturālajā sērijā ir iepriekšējais numurs?
Atbilde: nē, jo viens ir pirmais numurs dabiskajā sērijā.

6. piemērs:
Nosauciet nākamo skaitli naturālajā rindā aiz skaitļiem: a) 5, b) 67, c) 9998.
Atbilde: a) 6, b) 68, c) 9999.

7. piemērs:
Cik skaitļu ir naturālajā rindā starp skaitļiem: a) 1 un 5, b) 14 un 19.
Risinājums:
a) 1, 2, 3, 4, 5 — trīs skaitļi atrodas starp skaitļiem 1 un 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 — četri skaitļi atrodas starp skaitļiem 14 un 19.

8. piemērs:
Nosauciet iepriekšējo skaitli aiz skaitļa 11.
Atbilde: 10.

9. piemērs:
Kādus skaitļus izmanto objektu skaitīšanai?
Atbilde: naturālie skaitļi.

Stunda "Naturālo skaitļu pierakstīšana" ir pirmā stunda piektās klases matemātikas kursā un ir turpinājums, dažos brīžos arī atkārtojums līdzīgai tēmai, kas tika apgūta kursā. pamatskola. Rezultātā skolēni nereti mācību materiālu uztver ne pārāk uzmanīgi. Tāpēc, lai panāktu maksimālu interesi un uzmanības koncentrāciju, nepieciešams ieviest jaunas skaidrošanas metodes, piemēram, izmantot prezentāciju "Dabisko skaitļu apzīmēšana".

Nodarbība sākas ar ciparu sērijas atkārtošanu, kā arī naturālā skaitļa jēdzienu un tā decimālo apzīmējumu. Ir paskaidrots, ka tiek izsaukta visu naturālo skaitļu secība dabiski blakus un dots pirmo divdesmit tās elementu piemērs. Īpaša uzmanība prezentācijas laikā tiek pievērsta skaitļa nozīmei atkarībā no tā vieta skaitļa apzīmējumā. Lai to izdarītu, mēs apsvērām skaitļa rakstīšanu pēc cipariem. Izmantojot efektīvu un neuzbāzīgu animāciju, skolēniem tiek parādīts, ko nozīmē viens un tas pats skaitlis atkarībā no tā, kur tas atrodas: vienību vietā, desmitnieku vietā utt.

Nereti novērojams, ka līdz ar to, ka skaitlis nulle bieži tiek lietots gan ikdienā, gan matemātikas mācībās, skolēniem rodas grūtības izskaidrot, kas tas par skaitli. Lai palielinātu nulles jēdziena izpratnes efektivitāti, ir sniegts futbola spēles rezultāta piemērs. Studentu uzmanība ir vērsta arī uz to, ka 0 nav klasificēti kā naturāli skaitļi.

Prezentācijā detalizēti, izmantojot piemērus, apskatīti viencipara, divciparu, trīsciparu un četrciparu skaitļu jēdzieni. Tiek uzskatīti ieraksti par vienu miljonu un vienu miljardu. Īpaša uzmanība tiek pievērsta daudzciparu skaitļu pareizai nolasīšanai un sadalīšanai klasēs. Izmantojot tabulu daudzciparu skaitļa rakstīšanai ar klašu un ciparu sadalījumu, tiek parādīts, ka kreisajā klasē, atšķirībā no visām pārējām, var būt mazāk par trim cipariem.

Lai varētu pārbaudīt studentu jaunā materiāla apguves rezultātus, šajā prezentācijas izstrādē ir iekļauts jautājumu saraksts, kas pilnībā aptver prezentēto materiālu. Tas ļaus skolotājam pēc iespējas ātrāk reaģēt uz brīžiem, kurus skolēni līdz galam nesaprata. šīs tēmas izpētes rezultātā.

Tā kā prezentācijā "Dabisko skaitļu apzīmējums" nosauktā tēma tiek pasniegta saprotamā un pieejamā līmenī, izglītojošā materiāla izklāsts ir loģisks un konsekvents, to var veiksmīgi izmantot ne tikai šīs tēmas nodarbības skaidrojuma laikā, bet arī skolēnu pašmācībā vai tālmācībā.

Vienkāršākais skaitlis ir dabiskais skaitlis. Tie tiek izmantoti Ikdiena skaitīšanai preces, t.i. lai aprēķinātu to skaitu un secību.

Kas ir naturāls skaitlis: naturālie skaitļi nosauciet ciparus, kas tiek izmantoti skaitot preces vai norādīt sērijas numuru jebkurai vienībai no visām viendabīgām preces.

Veseli skaitļiir skaitļi, kas sākas no viena. Skaitot tie veidojas dabiski.Piemēram, 1,2,3,4,5... -pirmie naturālie skaitļi.

mazākais naturālais skaitlis- viens. Nav lielākā naturālā skaitļa. Skaitot skaitot nulle netiek izmantota, tāpēc nulle ir naturāls skaitlis.

dabiskas skaitļu sērijas ir visu naturālo skaitļu secība. Uzrakstiet naturālus skaitļus:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Naturālajos skaitļos katrs skaitlis ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais.

Cik skaitļu ir naturālajā rindā? Dabiskā virkne ir bezgalīga, nav lielākā naturālā skaitļa.

Decimālzīme, jo 10 vienības no jebkuras kategorijas veido 1 augstākās kārtas vienību. pozicionāls tātad kā cipara vērtība ir atkarīga no tā vietas skaitlī, t.i. no kategorijas, kurā tas ierakstīts.

Naturālo skaitļu klases.

Jebkuru naturālu skaitli var uzrakstīt, izmantojot 10 arābu ciparus:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Lai nolasītu naturālos skaitļus, tie ir sadalīti, sākot no labās puses, grupās pa 3 cipariem katrā. 3 vispirms skaitļi labajā pusē ir vienību klase, nākamie 3 ir tūkstošu klase, tad miljonu, miljardu unutt. Katrs no klases cipariem tiek saukts par savuizlāde.

Naturālo skaitļu salīdzinājums.

No 2 naturālajiem skaitļiem skaitlis, kas tiek izsaukts skaitīšanas sākumā, ir mazāks. Piemēram, numurs 7 mazāk 11 (rakstīts šādi:7 < 11 ). Ja viens skaitlis ir lielāks par otro, tas tiek rakstīts šādi:386 > 99 .

Ciparu un skaitļu klašu tabula.


1.šķiras vienība	1. vienības cipars 2. vieta desmit 3. ranga simti
2. šķiras tūkst	1. cipara tūkstošos 2. cipars desmitiem tūkstošu 3. rangs simtiem tūkstošu
3. klases miljoni	1. cipars vienības miljons 2. cipars desmitiem miljonu 3. cipars simtiem miljonu
4. klase miljardi	1. cipara vienības miljards 2. cipars desmitiem miljardu 3. cipars simtiem miljardu

Skaitļi no 5. klases un jaunāki attiecas uz lieli cipari. 5. klases vienības - triljoni, 6 klase - kvadriljoni, 7. klase - kvintiljoni, 8. klase - sekstiljoni, 9. klase - eptiljoni.

Naturālo skaitļu pamatīpašības.

Pievienošanas komutativitāte . a + b = b + a
Reizināšanas komutativitāte. ab=ba
Papildinājuma asociativitāte. (a + b) + c = a + (b + c)
Reizināšanas asociativitāte.
Reizināšanas sadalījums attiecībā uz saskaitīšanu:

Darbības ar naturāliem skaitļiem.

4. Naturālo skaitļu dalīšana ir reizināšanai apgriezta darbība.

Ja b ∙ c \u003d a, tad

Dalīšanas formulas:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(a∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(a∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Skaitliskās izteiksmes un skaitliskās vienādības.

Apzīmējums, kurā skaitļi ir savienoti ar darbības zīmēm, ir skaitliskā izteiksme.

Piemēram, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Ieraksti, kuros vienādības zīme savieno 2 ciparu izteiksmes, ir skaitliskās vienādības. Vienlīdzībai ir kreisā un labā puse.

Aritmētisko darbību izpildes secība.

Skaitļu saskaitīšana un atņemšana ir pirmās pakāpes darbības, savukārt reizināšana un dalīšana ir otrās pakāpes darbības.

Ja skaitliskā izteiksme sastāv tikai no vienas pakāpes darbībām, tad tās tiek veiktas secīgi no kreisās puses uz labo.

Ja izteiksmes sastāv tikai no pirmās un otrās pakāpes darbībām, tad vispirms tiek veiktas darbības otrā pakāpe, un pēc tam - pirmās pakāpes darbības.

Ja izteiksmē ir iekavas, vispirms tiek veiktas iekavās norādītās darbības.

Piemēram, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Nulles vieta

Ir divas pieejas naturālo skaitļu definīcijai:

skaitīšana (numerācija) preces ( pirmais, otrais, trešais, ceturtais, piektais…);
naturālie skaitļi - skaitļi, kas rodas, kad daudzuma apzīmējums preces ( 0 preces, 1 prece, 2 preces, 3 preces, 4 preces, 5 preces…).

Pirmajā gadījumā naturālo skaitļu virkne sākas no viena, otrajā - no nulles. Vairumam matemātiķu nav vienota viedokļa par pirmās vai otrās pieejas izvēli (tas ir, vai nulli uzskatīt par naturālu skaitli vai nē). Lielākā daļa krievu avotu tradicionāli ir pieņēmuši pirmo pieeju. Darbos tiek izmantota, piemēram, otrā pieeja Nikolass Burbaki, kur naturālie skaitļi ir definēti kā jauda ierobežotas kopas. Nulles klātbūtne atvieglo daudzu teorēmu formulēšanu un pierādīšanu naturālo skaitļu aritmētikā, tāpēc pirmā pieeja ievieš noderīgo jēdzienu. pagarināta dabiskā sērija, ieskaitot nulli.

Visu naturālo skaitļu kopa parasti tiek apzīmēta ar simbolu . Starptautiskie standarti ISO 31-11(1992) un ISO 80000-2(2009) nosaka šādus apzīmējumus:

Krievu avotos šis standarts vēl nav ievērots - tajos simbols N (\displaystyle \mathbb (N) ) apzīmē naturālus skaitļus bez nulles, un tiek apzīmēta paplašinātā naturālā rinda N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) utt.

Aksiomas, kas ļauj definēt naturālo skaitļu kopu

Peano aksiomas naturāliem skaitļiem

Daudz N (\displaystyle \mathbb (N) ) tiks saukta par naturālo skaitļu kopu, ja kāds elements ir fiksēts 1 (vienība), funkcija S (\displaystyle S) c definīcijas joma N (\displaystyle \mathbb (N) ), ko sauc par pēctecības funkciju ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), un ir izpildīti šādi nosacījumi:

elements viens pieder šai kopai ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N))), tas ir, ir naturāls skaitlis;
skaitlis, kas seko naturālajam skaitlim, arī ir naturāls skaitlis (ja , tad S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) vai, īsākā apzīmējumā, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
viens neseko nevienam naturālajam skaitlim ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
ja naturālais skaitlis a (\displaystyle a) uzreiz seko kā naturāls skaitlis b (\displaystyle b), un naturālajam skaitlim c (\displaystyle c), tad b (\displaystyle b) un c (\displaystyle c) ir vienāds numurs (ja S(b) = a (\displeja stils S(b)=a) un S (c) = a (\displeja stils S(c) = a), tad b = c (\displaystyle b=c));
(indukcijas aksioma), ja kāds teikums (paziņojums) P (\displaystyle P) pierādīts naturālam skaitlim n = 1 (\displeja stils n = 1) (indukcijas bāze) un ja no pieņēmuma, ka tā ir patiesa citam naturālam skaitlim n (\displaystyle n), no tā izriet, ka tas attiecas uz tālāk norādīto n (\displaystyle n) dabiskais skaitlis ( indukcijas hipotēze), tad šis apgalvojums ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem (pieņemsim P (n) (\displaystyle P(n))- daži vientuļi (vienkārši) predikāts, kura parametrs ir naturāls skaitlis n (\displaystyle n). Tad ja P (1) (\displaystyle P(1)) un ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\labā bultiņa P(S(n)))), tad ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Iepriekš minētās aksiomas atspoguļo mūsu intuitīvo izpratni par dabiskajām sērijām un skaitļa līnija.

Galvenais fakts ir tāds, ka šīs aksiomas būtībā unikāli nosaka naturālos skaitļus (Pīno aksiomu sistēmas kategoriskumu). Proti, var pierādīt (skat. un arī īsu pierādījumu), ka ja (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) un (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) ir divi Peano aksiomu sistēmas modeļi, tad tiem jābūt izomorfs, tas ir, ir invertējama kartēšana ( bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )) tāds, ka f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) un f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) visiem x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Tāpēc pietiek labot kā N (\displaystyle \mathbb (N) ) jebkurš konkrēts naturālo skaitļu kopas modelis.

Dažkārt, īpaši ārzemju un tulkotajā literatūrā, Pīno pirmā un trešā aksioma aizstāj vienu ar nulli. Šajā gadījumā nulle tiek uzskatīta par naturālu skaitli. Ja definē kā ekvivalentu kopu klases, nulle pēc definīcijas ir naturāls skaitlis. Būtu pretdabiski to īpaši izmest. Turklāt tas ievērojami sarežģītu teorijas turpmāko konstruēšanu un pielietojumu, jo lielākajā daļā konstrukciju nulle, tāpat kā tukšā kopa, nav kaut kas izolēts. Vēl viena priekšrocība, uzskatot nulli par naturālu skaitli, ir tā N (\displaystyle \mathbb (N) ) veidlapas monoīds. Kā jau minēts, krievu literatūrā nulle tradicionāli tiek izslēgta no naturālo skaitļu skaita.

Naturālo skaitļu kopu teorētiskā definīcija (Frēdža-Rasela definīcija)

Tādējādi, pamatojoties uz kopas jēdzienu, tiek ieviesti arī naturālie skaitļi saskaņā ar diviem noteikumiem:

Šādi dotos skaitļus sauc kārtas.

Aprakstīsim dažus pirmos kārtas skaitļus un tiem atbilstošos naturālos skaitļus:

Naturālo skaitļu kopas vērtība

Bezgalīgas kopas vērtību raksturo jēdziens " komplekta kardinalitāte”, kas ir galīgas kopas elementu skaita vispārinājums uz bezgalīgām kopām. Pēc lieluma (t.i., jaudas) naturālo skaitļu kopa ir lielāka par jebkuru galīgu kopu, bet mazāka par jebkuru intervālu, piemēram, intervālu (0, 1) (\displaystyle (0,1)). Naturālo skaitļu kopai ir tāda pati kardinalitāte kā racionālo skaitļu kopai. Tiek izsaukta tāda pati kardinalitāte kā naturālo skaitļu kopai saskaitāms komplekts. Tādējādi dalībnieku kopums jebkura sekvences saskaitāms. Tajā pašā laikā pastāv secība, kurā katrs naturālais skaitlis parādās bezgalīgi daudz reižu, jo naturālo skaitļu kopu var attēlot kā saskaitāmu asociācija nekrustojas saskaitāmas kopas (piemēram, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Darbības ar naturāliem skaitļiem

Uz slēgtas operācijas(operācijas, kas neizvada rezultātu no naturālu skaitļu kopas) ar naturāliem skaitļiem ietver šādas aritmētiskās darbības:

Turklāt tiek apskatītas vēl divas darbības (no formālā viedokļa tās nav darbības ar naturāliem skaitļiem, jo tās nav definētas visi skaitļu pāri (dažreiz tie pastāv, dažreiz nav)):

Jāņem vērā, ka saskaitīšanas un reizināšanas operācijas ir fundamentālas. It īpaši, gredzens veseli skaitļi nosaka precīzi caur binārās operācijas saskaitīšanu un reizināšanu.

Pamatīpašības

komutativitāte papildinājumi:

a + b = b + a (\displeja stils a+b=b+a).

Reizināšanas komutativitāte:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

Asociativitāte papildinājumi:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displeja stils (a+b)+c=a+(b+c)).

Reizināšanas asociativitāte:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displeja stils (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

izplatība reizināšana attiecībā pret saskaitīšanu:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Algebriskā struktūra

Saskaitīšana pārvērš naturālo skaitļu kopu par pusgrupa ar vienību vienības lomu spēlē 0 . Reizināšana arī pārveido naturālo skaitļu kopu pusgrupā ar vienību, bet identitātes elements ir 1 . Izmantojot slēgšanas attiecībā uz saskaitīšanas-atņemšanas un reizināšanas-dalīšanas operācijām tiek iegūtas veselu skaitļu grupas Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) un racionāli pozitīvi skaitļi Q+∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) attiecīgi.

Palīdzība par Tele2, tarifi, jautājumi