Skaitļa vērtība(izrunā "pī") ir matemātiska konstante, kas vienāda ar attiecību

Apzīmē ar grieķu alfabēta burtu "pi". vecais vārds - Ludolfa numurs.

Ar ko ir vienāds ar pi? Vienkāršos gadījumos pietiek zināt pirmās 3 rakstzīmes (3.14). Bet vairāk

sarežģītos gadījumos un kur nepieciešama lielāka precizitāte, ir jāzina vairāk par 3 cipariem.

Kas ir pi? Pirmās 1000 zīmes aiz komata ir:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Normālos apstākļos aptuveno pi vērtību var aprēķināt, sekojot punktiem,

zemāk:

1. Paņemiet apli, vienu reizi aptiniet diegu ap tā malu.
2. Mēs izmērām vītnes garumu.
3. Mēs izmērām apļa diametru.
4. Sadaliet vītnes garumu ar diametra garumu. Mēs saņēmām skaitli pi.

Pi īpašības.

• pi- iracionāls skaitlis, t.i. pi vērtību nevar precīzi izteikt formā

frakcijas m/n, Kur m Un n ir veseli skaitļi. Tas parāda, ka decimāldaļskaitlis

pi nekad nebeidzas, un tas nav periodisks.

• pi ir transcendentāls skaitlis, t.i. tā nevar būt neviena polinoma sakne ar veseliem skaitļiem

koeficienti. 1882. gadā profesors Kēnigsbergs pierādīja transcendenci pi, A

vēlāk Minhenes Lindemana universitātes profesors. Pierādījums ir vienkāršots

Fēlikss Kleins 1894. gadā.

• tā kā Eiklīda ģeometrijā apļa laukums un apļa apkārtmērs ir pi funkcijas,

tad pi transcendences pierādījums pielika punktu strīdam par apļa kvadrātošanu, kas ilga vairāk nekā

2,5 tūkstoši gadu.

• pi ir perioda gredzena elements (tas ir, izskaitļojams un aritmētisks skaitlis).

Bet neviens nezina, vai tas pieder pie periodu gredzena.

Pi formula.

• Fransuā Vjets:

• Volisa formula:

• Leibnica sērija:

• Citas rindas:

Kāds ir skaitlis pi mēs zinām un atceramies no skolas laikiem. Tas ir vienāds ar 3.1415926 un tā tālāk... Vienkāršam cilvēkam pietiek zināt, ka šo skaitli iegūst, dalot apļa apkārtmēru ar tā diametru. Bet daudzi cilvēki zina, ka skaitlis Pi parādās neparedzētās jomās ne tikai matemātikā un ģeometrijā, bet arī fizikā. Nu, ja iedziļināties šī skaitļa būtības detaļās, starp nebeidzamajām skaitļu sērijām var redzēt daudz pārsteigumu. Vai ir iespējams, ka Pī slēpj Visuma dziļākos noslēpumus?

Bezgalīgs skaitlis

Pats skaitlis Pi mūsu pasaulē rodas kā apļa garums, kura diametrs ir vienāds ar vienu. Bet, neskatoties uz to, ka segments, kas vienāds ar Pi, ir diezgan ierobežots, skaitlis Pi sākas ar 3,1415926 un iet līdz bezgalībai skaitļu rindās, kas nekad neatkārtojas. Pirmkārt pārsteidzošs fakts ir tas, ka šo ģeometrijā izmantoto skaitli nevar izteikt kā veselu skaitļu daļu. Citiem vārdiem sakot, jūs nevarat to uzrakstīt kā attiecību starp diviem skaitļiem a/b. Turklāt skaitlis Pi ir pārpasaulīgs. Tas nozīmē, ka nav tāda vienādojuma (polinoma) ar veselu skaitļu koeficientiem, kura risinājums būtu Pi.

To, ka skaitlis Pi ir pārpasaulīgs, 1882. gadā pierādīja vācu matemātiķis fon Lindemans. Tieši šis pierādījums kļuva par atbildi uz jautājumu, vai ar kompasu un lineālu ir iespējams uzzīmēt kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar dotā apļa laukumu. Šī problēma ir pazīstama kā apļa kvadrātveida meklēšana, kas cilvēci ir satraukusi kopš seniem laikiem. Šķita, ka šai problēmai ir vienkāršs risinājums, un tā drīz tiks atklāta. Bet tā bija nesaprotama pi īpašība, kas parādīja, ka apļa kvadrāta problēmai nav risinājuma.

Vismaz četrarpus tūkstošgades cilvēce ir mēģinājusi iegūt arvien precīzāku pi vērtību. Piemēram, Bībelē 1. Ķēniņu grāmatā (7:23) skaitlis pi tiek pieņemts vienāds ar 3.

Ievērojama precizitāte, Pi vērtību var atrast Gīzas piramīdās: piramīdu perimetra un augstuma attiecība ir 22/7. Šī daļa dod aptuvenu Pi vērtību, kas vienāda ar 3,142 ... Ja vien, protams, ēģiptieši šādu attiecību nenosaka nejauši. To pašu vērtību jau attiecībā uz skaitļa Pi aprēķinu III gadsimtā pirms mūsu ēras saņēma lielais Arhimēds.

Ahmesa papirusā, senās ēģiptiešu matemātikas mācību grāmatā, kas datēta ar 1650. gadu pirms mūsu ēras, Pi ir aprēķināts kā 3,160493827.

Senindiešu tekstos ap 9. gadsimtu pirms mūsu ēras visprecīzākā vērtība tika izteikta ar skaitli 339/108, kas vienāds ar 3,1388 ...

Gandrīz divus tūkstošus gadu pēc Arhimēda cilvēki ir mēģinājuši atrast veidus, kā aprēķināt pi. Viņu vidū bija gan slaveni, gan nezināmi matemātiķi. Piemēram, romiešu arhitekts Marks Vitruvijs Pollio, ēģiptiešu astronoms Klaudijs Ptolemajs, ķīniešu matemātiķis Liu Hui, indiešu gudrais Ariabhata, viduslaiku matemātiķis Leonardo no Pizas, pazīstams kā Fibonači, arābu zinātnieks Al-Khwarizmi, no kura vārda radies vārds. parādījās "algoritms". Viņi visi un daudzi citi cilvēki meklēja visprecīzākās metodes Pi aprēķināšanai, taču līdz 15. gadsimtam aprēķinu sarežģītības dēļ nekad nesaņēma vairāk par 10 cipariem aiz komata.

Visbeidzot, 1400. gadā indiešu matemātiķis Madhava no Sangamagramas aprēķināja Pi ar precizitāti līdz 13 cipariem (lai gan viņš joprojām kļūdījās pēdējos divos).

Zīmju skaits

17. gadsimtā Leibnics un Ņūtons atklāja bezgalīgi mazu lielumu analīzi, kas ļāva aprēķināt pi progresīvāk - izmantojot pakāpes rindas un integrāļus. Pats Ņūtons aprēķināja 16 zīmes aiz komata, taču savās grāmatās to neminēja – tas kļuva zināms pēc viņa nāves. Ņūtons apgalvoja, ka Pi aprēķinājis tikai aiz garlaicības.

Apmēram tajā pašā laikā arī citi mazāk zināmi matemātiķi piecēlās, piedāvājot jaunas formulas skaitļa Pi aprēķināšanai, izmantojot trigonometriskās funkcijas.

Piemēram, šeit ir formula, kuru Pi aprēķināja astronomijas skolotājs Džons Machins 1706. gadā: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Izmantojot analīzes metodes, Machins no šīs formulas atvasināja skaitli Pi ar simts zīmēm aiz komata.

Starp citu, tajā pašā 1706. gadā cipars Pi saņēma oficiālu apzīmējumu grieķu burta formā: to izmantoja Viljams Džonss savā darbā par matemātiku, ņemot pirmo burtu grieķu vārdam “perifērija”, kas nozīmē "aplis". 1707. gadā dzimušais izcilais Leonhards Eilers popularizēja šo apzīmējumu, ko tagad zina ikviens skolēns.

Pirms datoru laikmeta matemātiķi rūpējās par pēc iespējas vairāk zīmju aprēķināšanu. Šajā sakarā dažkārt bija kuriozi. Amatieris matemātiķis V. Šenkss ​​1875. gadā aprēķināja 707 pi ciparus. Šīs septiņsimt zīmes tika iemūžinātas uz Parīzes Atklājumu pils sienas 1937. gadā. Tomēr deviņus gadus vēlāk vērīgi matemātiķi atklāja, ka pareizi tika aprēķinātas tikai pirmās 527 rakstzīmes. Lai izlabotu kļūdu, muzejam bija jārēķinās ar pieklājīgiem izdevumiem – tagad visi skaitļi ir pareizi.

Kad parādījās datori, Pi ciparu skaitu sāka aprēķināt pilnīgi neiedomājamā secībā.

Viens no pirmajiem 1946. gadā radītajiem elektroniskajiem datoriem ENIAC, kas bija milzīgs un radīja tik daudz siltuma, ka telpa sasilusi līdz 50 grādiem pēc Celsija, aprēķināja pirmos 2037 Pi ciparus. Šis aprēķins automašīnai aizņēma 70 stundas.

Datoriem pilnveidojoties, mūsu zināšanas par pi kļuva arvien tālāk bezgalībā. 1958. gadā tika aprēķināti 10 tūkstoši skaitļa ciparu. 1987. gadā japāņi aprēķināja 10 013 395 rakstzīmes. 2011. gadā japāņu pētnieks Šigeru Hondo pārsniedza 10 triljonu robežu.

Kur vēl jūs varat atrast Pi?

Tāpēc bieži vien mūsu zināšanas par skaitli Pi paliek skolas līmenī, un mēs noteikti zinām, ka šis skaitlis ir neaizstājams, pirmkārt, ģeometrijā.

Papildus apļa garuma un laukuma formulām skaitlis Pi tiek izmantots elipsi, sfēru, konusu, cilindru, elipsoīdu un tā tālāk formulās: kaut kur formulas ir vienkāršas un viegli iegaumējamas, un kaut kur tie satur ļoti sarežģītus integrāļus.

Tad mēs varam sastapt skaitli Pi matemātiskās formulās, kur, no pirmā acu uzmetiena, ģeometrija nav redzama. Piemēram, 1/(1-x^2) nenoteiktais integrālis ir Pi.

Pi bieži izmanto sēriju analīzē. Piemēram, šeit ir vienkārša sērija, kas saplūst ar pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Starp sērijām pi visnegaidītāk parādās labi zināmajā Rīmaņa zeta funkcijā. Īsumā par to pastāstīt nevarēs, teiksim tikai to, ka kādreiz skaitlis Pi palīdzēs atrast formulu pirmskaitļu aprēķināšanai.

Un tas ir absolūti pārsteidzoši: Pi parādās divās no skaistākajām "karaliskajām" matemātikas formulām - Stirlinga formulā (kas palīdz atrast aptuveno faktoriāla un gamma funkcijas vērtību) un Eilera formulā (kas attiecas uz tik daudzām piecas matemātiskās konstantes).

Tomēr visnegaidītākais atklājums gaidīja matemātiķus varbūtības teorijā. Pī ir arī tur.

Piemēram, varbūtība, ka divi skaitļi ir relatīvi pirmskaitļi, ir 6/PI^2.

Pī parādās Bufona 18. gadsimta adatas mešanas problēmā: kāda ir varbūtība, ka adata, kas uzmesta uz papīra lapas ar rakstu, šķērsos kādu no līnijām. Ja adatas garums ir L, un attālums starp līnijām ir L, un r > L, tad mēs varam aptuveni aprēķināt Pi vērtību, izmantojot varbūtības formulu 2L/rPI. Iedomājieties - mēs varam iegūt Pi no nejaušiem notikumiem. Un, starp citu, Pi ir klāt parastajā varbūtības sadalījumā, parādās slavenās Gausa līknes vienādojumā. Vai tas nozīmē, ka pi ir vēl svarīgāks nekā tikai apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru?

Pī varam satikt arī fizikā. Pi parādās Kulona likumā, kas apraksta divu lādiņu mijiedarbības spēku, Keplera trešajā likumā, kas parāda planētas ap Sauli apgriezienu periodu, un pat notiek ūdeņraža atoma elektronu orbitāļu izkārtojumā. Un atkal neticamākais ir tas, ka Pi skaitlis ir paslēpts Heizenberga nenoteiktības principa formulā, kas ir kvantu fizikas pamatlikums.

Pi noslēpumi

Kārļa Sagana romānā "Kontakts", kura pamatā ir tāda paša nosaukuma filma, citplanētieši varonei paziņo, ka starp Pī zīmēm ir kāds slepens vēstījums no Dieva. No noteiktas pozīcijas skaitļi skaitļā pārstāj būt nejauši un apzīmē kodu, kurā ir ierakstīti visi Visuma noslēpumi.

Šis romāns patiesībā atspoguļoja mīklu, kas nodarbina matemātiķu prātus visā planētā: vai skaitlis Pi ir parasts skaitlis, kurā cipari ir izkliedēti ar tādu pašu frekvenci, vai arī ar šo skaitli kaut kas nav kārtībā. Un, lai gan zinātnieki mēdz izvēlēties pirmo variantu (bet nevar to pierādīt), Pi izskatās ļoti noslēpumaini. Kāds japānis reiz aprēķināja, cik reižu pi pirmajos triljonos ciparu ir sastopami skaitļi no 0 līdz 9. Un es redzēju, ka skaitļi 2, 4 un 8 ir biežāk nekā pārējie. Tas var būt viens no mājieniem, ka Pi nav gluži normāls, un skaitļi tajā patiešām nav nejauši.

Atcerēsimies visu iepriekš lasīto un pajautāsim sev, kāds vēl iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis ir tik izplatīts reālajā pasaulē?

Un ir vēl citas dīvainības. Piemēram, Pi pirmo divdesmit ciparu summa ir 20, un pirmo 144 ciparu summa ir vienāda ar "zvēra skaitli" 666.

Galvenais varonis Amerikāņu seriāls Aizdomās turamais, profesors Finčs stāstīja studentiem, ka pi bezgalības dēļ tajā var rasties jebkura skaitļu kombinācija, sākot no jūsu dzimšanas datuma cipariem līdz sarežģītākiem skaitļiem. Piemēram, 762. pozīcijā ir sešu deviņu secība. Šo pozīciju sauc par Feinmena punktu slavenā fiziķa vārdā, kurš pamanīja šo interesanto kombināciju.

Mēs arī zinām, ka skaitlis Pi satur secību 0123456789, bet tas atrodas uz 17 387 594 880. cipara.

Tas viss nozīmē, ka skaitļa Pi bezgalībā var atrast ne tikai interesantas skaitļu kombinācijas, bet arī iekodētu "Kara un miera" tekstu, Bībeli un pat galvenais noslēpums Visums, ja tāds pastāv.

Starp citu, par Bībeli. Pazīstamais matemātikas popularizētājs Mārtins Gārdners 1966. gadā paziņoja, ka skaitļa Pi (tolaik vēl nebija zināms) miljonā zīme būs skaitlis 5. Viņš savus aprēķinus skaidroja ar to, ka Bībeles angļu valodas versijā g. 3. grāmata, 14. nodaļa, 16 -m pants (3-14-16) septītajā vārdā ir pieci burti. Miljona skaitlis tika saņemts astoņus gadus vēlāk. Tas bija piektais numurs.

Vai pēc tam ir vērts apgalvot, ka skaitlis pi ir nejaušs?

Matemātiķi visā pasaulē katru gadu 14. martā apēd kūkas gabalu – galu galā šī ir Pi diena, visslavenākais iracionālais skaitlis. Šis datums ir tieši saistīts ar numuru, kura pirmie cipari ir 3,14. Pi ir apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru. Tā kā tas ir neracionāls, to nav iespējams uzrakstīt kā daļu. Tas ir bezgala garš skaitlis. Tas tika atklāts pirms tūkstošiem gadu un kopš tā laika ir pastāvīgi pētīts, bet vai Pi ir palikuši kādi noslēpumi? No seniem pirmsākumiem līdz neskaidrai nākotnei šeit ir daži no interesantākajiem faktiem par pi.

Pī iegaumēšana

Rekords skaitļu iegaumēšanā aiz komata pieder Rajvēram Mīnam no Indijas, kuram izdevās atcerēties 70 000 ciparu – viņš rekordu uzstādīja 2015. gada 21. martā. Pirms tam rekordists bija Čao Lu no Ķīnas, kuram izdevās iegaumēt 67 890 ciparus – šis rekords tika uzstādīts 2005. gadā. Neoficiālais rekordists ir Akira Haraguči, kurš 2005. gadā video ierakstīja savu 100 000 ciparu atkārtojumu un nesen ievietoja video, kurā viņam izdodas atcerēties 117 000 ciparu. Oficiāls rekords kļūtu tikai tad, ja šis video tiktu ierakstīts Ginesa rekordu grāmatas pārstāvja klātbūtnē, un bez apstiprinājuma tas paliek tikai iespaidīgs fakts, taču nav uzskatāms par sasniegumu. Matemātikas entuziastiem patīk iegaumēt skaitli Pi. Daudzi izmanto dažādus mnemonikas paņēmienus, piemēram, dzeju, kur burtu skaits katrā vārdā ir vienāds ar pi. Katrai valodai ir savi šādu frāžu varianti, kas palīdz atcerēties gan dažus pirmos ciparus, gan veselu simtu.

Ir Pi valoda

Literatūras fascinēti matemātiķi izgudroja dialektu, kurā burtu skaits visos vārdos atbilst Pi cipariem precīzā secībā. Rakstnieks Maiks Kīts pat uzrakstīja grāmatu Not a Wake, kas pilnībā ir uzrakstīta Pi valodā. Šādas radošuma entuziasti savus darbus raksta pilnībā atbilstoši burtu skaitam un ciparu nozīmei. Tam nav praktiska pielietojuma, taču tā ir diezgan izplatīta un labi zināma parādība entuziasma zinātnieku aprindās.

Eksponenciālā izaugsme

Pi ir bezgalīgs skaitlis, tāpēc cilvēki pēc definīcijas nekad nevarēs izdomāt precīzus šī skaitļa skaitļus. Tomēr ciparu skaits aiz komata ir ievērojami palielinājies kopš Pi pirmās lietošanas reizes. Pat babilonieši to izmantoja, bet viņiem pietika ar daļu no trim un vienu astoto daļu. Ķīnieši un radītāji Vecā Derība un bija pilnībā ierobežots līdz trim. Līdz 1665. gadam sers Īzaks Ņūtons bija aprēķinājis 16 pi ciparus. Līdz 1719. gadam franču matemātiķis Toms Fante de Lagnijs bija aprēķinājis 127 ciparus. Datoru parādīšanās ir radikāli uzlabojusi cilvēka zināšanas par Pi. No 1949. līdz 1967. gadam numurs cilvēkam zināms skaitļi strauji pieauga no 2037 līdz 500 000. Ne tik sen Šveices zinātnieks Pīters Truebs spēja aprēķināt 2,24 triljonus Pi ciparu! Tas aizņēma 105 dienas. Protams, tas nav ierobežojums. Visticamāk, attīstoties tehnoloģijām, izdosies noteikt vēl precīzāku skaitli – tā kā Pi ir bezgalīgs, precizitātei vienkārši nav robežu, un to var ierobežot tikai datortehnoloģiju tehniskās īpašības.

Pi aprēķināšana ar roku

Ja vēlaties pats atrast ciparu, varat izmantot vecmodīgu tehniku ​​- jums būs nepieciešams lineāls, burka un aukla, var izmantot arī transportieri un zīmuli. Burkas izmantošanas mīnuss ir tāds, ka tai ir jābūt apaļai, un precizitāti noteiks tas, cik labi cilvēks var aptīt virvi. Ir iespējams uzzīmēt apli ar transportieri, taču tas prasa arī prasmes un precizitāti, jo nevienmērīgs aplis var nopietni izkropļot jūsu mērījumus. Precīzāka metode ietver ģeometrijas izmantošanu. Sadaliet apli daudzos segmentos, piemēram, picas šķēlēs, un pēc tam aprēķiniet taisnas līnijas garumu, kas katru segmentu pārvērstu vienādsānu trīsstūrī. Malu summa dos aptuvenu pi skaitu. Jo vairāk segmentu izmantosit, jo precīzāks būs skaitlis. Protams, savos aprēķinos nevarēsiet pietuvoties datora rezultātiem, tomēr šie vienkāršie eksperimenti ļauj sīkāk izprast, kas vispār ir Pi un kā tas tiek izmantots matemātikā.

Pī atklāšana

Senie babilonieši par skaitļa Pi esamību zināja jau pirms četriem tūkstošiem gadu. Babilonijas planšetdatoros Pi aprēķina kā 3,125, un Ēģiptes matemātiskajā papirusā ir skaitlis 3,1605. Bībelē skaitlis Pi ir norādīts novecojušā garumā - olektis, un grieķu matemātiķis Arhimēds izmantoja Pitagora teorēmu, lai aprakstītu Pi, trijstūra malu garuma ģeometrisko attiecību un laukumu. figūras apļu iekšpusē un ārpusē. Tādējādi var droši teikt, ka Pi ir viens no senākajiem matemātiskajiem jēdzieniem, lai gan precīzs šī skaitļa nosaukums parādījās salīdzinoši nesen.

Jauns skatījums uz Pi

Pat pirms pi bija saistīts ar apļiem, matemātiķiem jau bija daudz veidu, kā pat nosaukt šo skaitli. Piemēram, vecās matemātikas mācību grāmatās var atrast frāzi latīņu valodā, ko var aptuveni tulkot kā "daudzums, kas parāda garumu, ja diametrs tiek reizināts ar to". Iracionālais skaitlis kļuva slavens, kad Šveices zinātnieks Leonhards Eilers to izmantoja savā darbā par trigonometriju 1737. gadā. Tomēr grieķu simbols pi joprojām netika izmantots - tas notika tikai mazāk pazīstamā matemātiķa Viljama Džounsa grāmatā. Viņš to izmantoja jau 1706. gadā, taču tas ilgi tika atstāts novārtā. Laika gaitā zinātnieki pieņēma šo nosaukumu, un tagad šī ir slavenākā vārda versija, lai gan agrāk to sauca arī par Ludolfa numuru.

Vai pi ir normāli?

Skaitlis pi noteikti ir dīvains, bet kā tas atbilst parastajiem matemātikas likumiem? Zinātnieki jau ir atrisinājuši daudzus jautājumus, kas saistīti ar šo neracionālo skaitli, taču daži noslēpumi paliek. Piemēram, nav zināms, cik bieži tiek izmantoti visi cipari - skaitļi no 0 līdz 9 jāizmanto vienādās proporcijās. Taču statistiku var izsekot pirmajiem triljoniem ciparu, taču, ņemot vērā to, ka skaitlis ir bezgalīgs, neko droši pierādīt nav iespējams. Ir arī citas problēmas, kuras zinātnieki joprojām izvairās. Pilnīgi iespējams, ka tālākai attīstībai zinātne palīdzēs tos izgaismot, taču pagaidām tas paliek ārpus cilvēka prāta darbības jomas.

Pi izklausās dievīgi

Zinātnieki nevar atbildēt uz dažiem jautājumiem par skaitli Pi, tomēr ar katru gadu viņi arvien labāk izprot tā būtību. Jau astoņpadsmitajā gadsimtā tika pierādīts šī skaitļa iracionalitāte. Turklāt ir pierādīts, ka skaitlis ir pārpasaulīgs. Tas nozīmē, ka nav noteiktas formulas, kas ļautu aprēķināt pi, izmantojot racionālos skaitļus.

Neapmierinātība ar Pi

Daudzi matemātiķi vienkārši ir iemīlējušies Pī, bet ir tādi, kas uzskata, ka šiem skaitļiem nav īpašas nozīmes. Turklāt viņi apgalvo, ka skaitli Tau, kas ir divreiz lielāks par Pi, ir ērtāk izmantot kā neracionālu. Tau parāda saistību starp apkārtmēru un rādiusu, kas, pēc dažu domām, ir loģiskāka aprēķina metode. Taču viennozīmīgi neko noteikt šajā jautājumā nav iespējams, un vienam un otram ciparam vienmēr būs piekritēji, abām metodēm ir tiesības uz dzīvību, tāpēc vienkārši interesants fakts, un tas nav iemesls domāt, ka nevajadzētu izmantot skaitli Pi.

π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Vai neatradāt? Tad paskaties.

Kopumā tas var būt ne tikai tālruņa numurs, bet jebkura informācija, kas kodēta, izmantojot numurus. Piemēram, ja mēs attēlojam visus Aleksandra Sergejeviča Puškina darbus digitālā formā, tad tie tika saglabāti ciparā Pi pat pirms viņš tos uzrakstīja, pat pirms viņa dzimšanas. Principā tās joprojām tur glabājas. Starp citu, matemātiķu lāsti iekšā π ir arī klāt, un ne tikai matemātiķi. Vārdu sakot, Pī ir viss, pat domas, kas apciemos tavu gaišo galvu rīt, parīt, pēc gada vai varbūt pēc diviem. Tam ir ļoti grūti noticēt, taču pat tad, ja izliksimies, ka tam ticam, būs vēl grūtāk iegūt informāciju no turienes un to atšifrēt. Tātad, tā vietā, lai iedziļināties šajos skaitļos, varētu būt vieglāk pieiet pie meitenes, kas jums patīk, un palūgt viņai numuru? .. Bet tiem, kas nemeklē vienkāršus ceļus, labi, vai vienkārši interesē, kas ir skaitlis Pi, Piedāvāju vairākus aprēķinu veidus. Paļaujieties uz veselību.

Kāda ir Pi vērtība? Tās aprēķināšanas metodes:

1. Eksperimentālā metode. Ja pi ir apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru, tad, iespējams, pirmais un acīmredzamākais veids, kā atrast mūsu noslēpumaino konstanti, būtu manuāli veikt visus mērījumus un aprēķināt pi, izmantojot formulu π=l/d. Kur l ir apļa apkārtmērs un d ir tā diametrs. Viss ir ļoti vienkārši, jums vienkārši jāapbruņojas ar vītni, lai noteiktu apkārtmēru, lineālu, lai atrastu diametru un, patiesībā, paša vītnes garumu, un, labi, kalkulatoru, ja jums ir problēmas ar sadalīšanu kolonnā. Katliņš vai gurķu burka var darboties kā izmērīts paraugs, tas nav svarīgi, galvenais? lai pamats būtu aplis.

Aplūkotā aprēķina metode ir visvienkāršākā, taču diemžēl tai ir divi būtiski trūkumi, kas ietekmē iegūtā Pi skaitļa precizitāti. Pirmkārt, mērinstrumentu kļūda (mūsu gadījumā tas ir lineāls ar vītni), otrkārt, nav garantijas, ka mūsu izmērītajam aplim būs pareiza forma. Tāpēc nav pārsteidzoši, ka matemātika mums ir devusi daudzas citas metodes π aprēķināšanai, kur nav nepieciešams veikt precīzus mērījumus.

2. Leibnica sērija. Ir vairākas bezgalīgas sērijas, kas ļauj precīzi aprēķināt pi skaitu līdz lielam skaitam zīmju aiz komata. Viena no vienkāršākajām sērijām ir Leibnica sērija. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Tas ir vienkārši: mēs ņemam daļskaitļus ar 4 skaitītājā (tas ir augšpusē) un vienu skaitli no nepāra skaitļu secības saucējā (tas ir apakšā), secīgi saskaitām un atņemam tos vienu ar otru un iegūstiet skaitli Pi. Jo vairāk mūsu vienkāršo darbību atkārtojumu vai atkārtojumu, jo precīzāk rezultāts. Vienkāršs, bet neefektīvs, starp citu, ir nepieciešami 500 000 iterāciju, lai iegūtu precīzu Pi vērtību līdz desmit zīmēm aiz komata. Tas ir, mums būs jādala nelaimīgais četrinieks pat 500 000 reižu, un papildus tam mums būs jāatņem un jāsaskaita iegūtie rezultāti 500 000 reižu. Vai vēlaties izmēģināt?

3. Sērija Nilakanta. Vai nākamajam nav laika knibināt ar Leibnicu? Ir alternatīva. Nilakanta sērija, lai arī tā ir nedaudz sarežģītāka, ļauj ātrāk iegūt vēlamo rezultātu. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14)... Es domāju, ka, ja paskatās uz doto sērijas sākuma fragmentu, viss kļūst skaidrs, un komentāri ir lieki. Šajā jautājumā mēs ejam tālāk.

4. Montekarlo metode Diezgan interesanta pi aprēķināšanas metode ir Montekarlo metode. Tik ekstravagantu vārdu viņš ieguva par godu tāda paša nosaukuma pilsētai Monako valstībā. Un iemesls tam ir nejaušs. Nē, tas netika nosaukts nejauši, vienkārši metode ir balstīta uz nejaušiem skaitļiem, un kas var būt nejaušāks par skaitļiem, kas izkrīt Montekarlo kazino ruletēs? Pi aprēķins nav vienīgais šīs metodes pielietojums, jo piecdesmitajos gados to izmantoja ūdeņraža bumbas aprēķinos. Bet neatkāpsimies.

Ņemsim kvadrātu, kura mala ir vienāda ar 2r, un ierakstiet tajā apli ar rādiusu r. Tagad, ja jūs nejauši ievietojat punktus kvadrātā, tad varbūtība P tas, ka punkts iekļaujas aplī, ir apļa un kvadrāta laukumu attiecība. P \u003d S cr / S q \u003d πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Tagad no šejienes mēs izsakām skaitli Pi π=4P. Atliek tikai iegūt eksperimentālos datus un atrast varbūtību P kā trāpījumu attiecību aplī N kr trāpīt laukumā N kv.. IN vispārējs skats aprēķina formula izskatīsies šādi: π=4N cr/N kv.

Vēlos atzīmēt, ka šīs metodes ieviešanai nav nepieciešams doties uz kazino, pietiek ar jebkuru vairāk vai mazāk pieklājīgu programmēšanas valodu. Nu, rezultātu precizitāte būs atkarīga no uzstādīto punktu skaita, attiecīgi, jo vairāk, jo precīzāk. Novēlu veiksmi 😉

Tau numurs (secinājuma vietā).

Cilvēki, kuri ir tālu no matemātikas, visticamāk, nezina, bet tā notika, ka skaitlim Pi ir brālis, kas ir divreiz lielāks par to. Tas ir skaitlis Tau(τ), un, ja Pi ir apkārtmēra attiecība pret diametru, tad Tau ir šī garuma attiecība pret rādiusu. Un šodien daži matemātiķi ierosina atteikties no skaitļa Pi un aizstāt to ar Tau, jo tas daudzējādā ziņā ir ērtāk. Bet pagaidām tie ir tikai priekšlikumi, un, kā teica Ļevs Davidovičs Landau: "Jauna teorija sāk dominēt, kad vecās piekritēji izmirst."

14. marts tiek pasludināts par skaitļa "Pi" dienu, jo šajā datumā ir šīs konstantes pirmie trīs cipari.

Trigonometrisko funkciju vērtību tabula

Piezīme. Šajā trigonometrisko funkciju vērtību tabulā kvadrātsaknes apzīmēšanai tiek izmantota zīme √. Daļas apzīmēšanai - simbols "/".

Skatīt arī noderīgi materiāli:

Priekš trigonometriskās funkcijas vērtības noteikšana, atrodiet to līnijas krustpunktā, kas norāda trigonometrisko funkciju. Piemēram, 30 grādu sinuss - mēs meklējam kolonnu ar virsrakstu sin (sinuss) un atrodam šīs tabulas kolonnas krustpunktu ar līniju "30 grādi", to krustpunktā mēs nolasām rezultātu - viens otrais. Līdzīgi mēs atrodam kosinuss 60 grādi, sinusa 60 grādi (kārtējo reizi grēka (sinusa) kolonnas un 60 grādu rindas krustpunktā atrodam vērtību sin 60 = √3/2) utt. Tādā pašā veidā tiek atrastas citu "populāru" leņķu sinusu, kosinusu un tangenšu vērtības.

Pi sinuss, pi kosinuss, pi tangenss un citi leņķi radiānos

Zemāk esošā kosinusu, sinusu un pieskares tabula ir piemērota arī tādu trigonometrisko funkciju vērtību atrašanai, kuru arguments ir dots radiānos. Lai to izdarītu, izmantojiet otro leņķa vērtību kolonnu. Pateicoties tam, jūs varat konvertēt populāro leņķu vērtību no grādiem uz radiāniem. Piemēram, pirmajā rindā atradīsim 60 grādu leņķi un zem tā nolasīsim tā vērtību radiānos. 60 grādi ir vienādi ar π/3 radiāniem.

Skaitlis pi viennozīmīgi izsaka apļa apkārtmēra atkarību no leņķa pakāpes mēra. Tātad pi radiāni ir vienādi ar 180 grādiem.

Jebkuru skaitli, kas izteikts pi (radiānā), var viegli pārvērst grādos, aizstājot skaitli pi (π) ar 180.

Piemēri:
1. sine pi.
sin π = grēks 180 = 0
tādējādi pi sinuss ir tāds pats kā 180 grādu sinuss un ir vienāds ar nulli.

2. kosinuss pi.
cos π = cos 180 = -1
tādējādi pi kosinuss ir tāds pats kā 180 grādu kosinuss un ir vienāds ar mīnus viens.

3. Pieskares pi
tg π = tg 180 = 0
tādējādi pi tangenss ir tāds pats kā 180 grādu tangenss un ir vienāds ar nulli.

Sinusa, kosinusa, pieskares vērtību tabula leņķiem no 0 līdz 360 grādiem (biežas vērtības)

Ja trigonometrisko funkciju vērtību tabulā funkcijas vērtības vietā ir norādīta domuzīme (tangence (tg) 90 grādi, kotangenss (ctg) 180 grādi), tad noteiktai pakāpes mēra vērtībai leņķis, funkcijai nav noteiktas vērtības. Ja domuzīmes nav, šūna ir tukša, tāpēc mēs vēl neesam ievadījuši vēlamo vērtību. Mūs interesē, pēc kādiem pieprasījumiem lietotāji pie mums nāk, un papildinām tabulu ar jaunām vērtībām, neskatoties uz to, ka ar pašreizējiem datiem par visbiežāk sastopamo leņķa vērtību kosinusu, sinusu un tangenšu vērtībām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu problēmas.

Trigonometrisko funkciju sin, cos, tg vērtību tabula populārākajiem leņķiem
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grādi
(skaitliskās vērtības "saskaņā ar Bradis tabulām")