Βοήθεια για το Tele2, τιμολόγια, ερωτήσεις

Η ιστορία των φυσικών αριθμών ξεκίνησε στους πρωτόγονους χρόνους.Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι μετρούσαν αντικείμενα. Για παράδειγμα, στο εμπόριο, χρειαζόταν λογαριασμός εμπορευμάτων ή στις κατασκευές, λογαριασμός υλικού. Ναι, ακόμη και στην καθημερινότητα, έπρεπε να μετράω πράγματα, προϊόντα, ζώα. Στην αρχή, οι αριθμοί χρησιμοποιήθηκαν μόνο για μέτρηση στη ζωή, στην πράξη, αλλά αργότερα, με την ανάπτυξη των μαθηματικών, έγιναν μέρος της επιστήμης.

Ακέραιοιείναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε αντικείμενα.

Για παράδειγμα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....

Το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός.

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί, ή ας ονομάσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, συμβολίζονται με το σύμβολο N.

Πίνακας φυσικών αριθμών.

φυσική σειρά.

Φυσικοί αριθμοί γραμμένοι με αύξουσα σειρά σε μορφή σειράς φυσική σειράή σειρά φυσικών αριθμών.

Ιδιότητες της φυσικής σειράς:

• Ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι ένας.
• Στη φυσική σειρά, ο επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. (1, 2, 3,…) Χρησιμοποιούνται τρεις τελείες ή τρεις τελείες εάν είναι αδύνατο να συμπληρωθεί η ακολουθία των αριθμών.
• Η φυσική σειρά δεν έχει μέγιστο αριθμό, είναι άπειρη.

Παράδειγμα #1:
Γράψτε τους 5 πρώτους φυσικούς αριθμούς.
Λύση:
Οι φυσικοί αριθμοί ξεκινούν με ένα.
1, 2, 3, 4, 5

Παράδειγμα #2:
Το μηδέν είναι φυσικός αριθμός;
Απάντηση: όχι.

Παράδειγμα #3:
Ποιος είναι ο πρώτος αριθμός στη φυσική σειρά;
Απάντηση: ο φυσικός αριθμός αρχίζει από ένα.

Παράδειγμα #4:
Ποιος είναι ο τελευταίος αριθμός στη φυσική σειρά; Ποιος είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός;
Απάντηση: Ο φυσικός αριθμός ξεκινά από το ένα. Κάθε επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο, άρα ο τελευταίος αριθμός δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός.

Παράδειγμα #5:
Η μονάδα στη φυσική σειρά έχει προηγούμενο αριθμό;
Απάντηση: όχι, γιατί το ένα είναι ο πρώτος αριθμός στη φυσική σειρά.

Παράδειγμα #6:
Ονομάστε τον επόμενο αριθμό της φυσικής σειράς μετά τους αριθμούς: α) 5, β) 67, γ) 9998.
Απάντηση: α) 6, β) 68, γ) 9999.

Παράδειγμα #7:
Πόσοι αριθμοί βρίσκονται στη φυσική σειρά μεταξύ των αριθμών: α) 1 και 5, β) 14 και 19.
Λύση:
α) 1, 2, 3, 4, 5 - τρεις αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 1 και 5.
β) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - τέσσερις αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 14 και 19.

Παράδειγμα #8:
Ονομάστε τον προηγούμενο αριθμό μετά τον αριθμό 11.
Απάντηση: 10.

Παράδειγμα #9:
Ποιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται για την μέτρηση αντικειμένων;
Απάντηση: φυσικοί αριθμοί.

Το μάθημα "Σημείωση φυσικών αριθμών" είναι το πρώτο μάθημα στο μάθημα των μαθηματικών της πέμπτης τάξης και είναι μια συνέχεια, και σε ορισμένες στιγμές, μια επανάληψη ενός παρόμοιου θέματος που μελετήθηκε στο μάθημα δημοτικό σχολείο. Ως αποτέλεσμα, οι μαθητές συχνά δεν αντιλαμβάνονται το εκπαιδευτικό υλικό πολύ προσεκτικά. Επομένως, για να επιτευχθεί το μέγιστο ενδιαφέρον και η συγκέντρωση της προσοχής, είναι απαραίτητο να εισαχθούν νέες μέθοδοι εξήγησης, για παράδειγμα, χρησιμοποιήστε την παρουσίαση "Σημείωση φυσικών αριθμών".

Το μάθημα ξεκινά με επανάληψη μιας σειράς ψηφίων, καθώς και με την έννοια του φυσικού αριθμού και του δεκαδικού συμβολισμού του. Εξηγείται ότι η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών ονομάζεται φυσικό δίπλα-δίπλακαι δίνεται ένα παράδειγμα των πρώτων είκοσι στοιχείων του. Ιδιαίτερη προσοχή κατά την παρουσίαση δίνεται στην έννοια του αριθμού, ανάλογα με τη θέση του στη σημειογραφία του αριθμού.Για να γίνει αυτό, σκεφτήκαμε να γράψουμε έναν αριθμό με ψηφία. Χρησιμοποιώντας αποτελεσματικά και μη παρεμβατικά κινούμενα σχέδια, φαίνεται στους μαθητές τι σημαίνει ο ίδιος αριθμός, ανάλογα με το πού βρίσκεται: στη θέση των μονάδων, στη θέση των δεκάδων κ.λπ.

Δεν είναι ασυνήθιστο να δούμε ότι, μαζί με το γεγονός ότι ο αριθμός μηδέν χρησιμοποιείται συχνά τόσο στην καθημερινή ζωή όσο και στην πορεία των μαθηματικών, οι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολίες όταν πρέπει να εξηγήσουν τι είδους αριθμός είναι. Για να αυξηθεί η αποτελεσματικότητα της κατανόησης της έννοιας του μηδέν, δίνεται ένα παράδειγμα σκορ σε έναν ποδοσφαιρικό αγώνα. Η προσοχή των μαθητών εστιάζεται επίσης στο γεγονός ότι το 0 δεν ταξινομούνται ως φυσικοί αριθμοί.

Στην παρουσίαση, αναλυτικά, χρησιμοποιώντας παραδείγματα, εξετάζονται οι έννοιες των μονοψήφιων, διψήφιων, τριψήφιων και τετραψήφιων αριθμών. Εξετάζονται ρεκόρ ενός εκατομμυρίου και ενός δισεκατομμυρίου. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στη σωστή ανάγνωση πολυψήφιων αριθμών και στη διαίρεση τους σε τάξεις. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα για τη γραφή ενός πολυψήφιου αριθμού με την κατανομή κλάσεων και ψηφίων, αποδεικνύεται ότι η αριστερή κλάση, σε αντίθεση με όλες τις άλλες, μπορεί να έχει λιγότερα από τρία ψηφία.

Για να μπορέσετε να ελέγξετε το αποτέλεσμα της κατάκτησης νέου υλικού από τους μαθητές, αυτή η ανάπτυξη παρουσίασης περιέχει μια λίστα ερωτήσεων που καλύπτουν πλήρως το υλικό που παρουσιάζεται. Αυτό θα επιτρέψει στον δάσκαλο να ανταποκριθεί όσο το δυνατόν γρηγορότερα στις στιγμές που δεν έγιναν πλήρως κατανοητές από τους μαθητές. ως αποτέλεσμα της μελέτης αυτού του θέματος.

Δεδομένου ότι η παρουσίαση "Δήλωση Φυσικών Αριθμών" παρουσιάζει το θέμα με τον τίτλο σε κατανοητό και προσιτό επίπεδο, η παρουσίαση του εκπαιδευτικού υλικού είναι λογική και συνεπής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί με επιτυχία όχι μόνο κατά την επεξήγηση της τάξης-μαθήματος αυτού του θέματος, αλλά και στην ανεξάρτητη ή εξ αποστάσεως εκπαίδευση από μαθητές.

Ο απλούστερος αριθμός είναι φυσικός αριθμός. Χρησιμοποιούνται σε Καθημερινή ζωήγια καταμέτρηση είδη, δηλ. να υπολογίσει τον αριθμό και τη σειρά τους.

Τι είναι ένας φυσικός αριθμός: φυσικούς αριθμούςονομάστε τους αριθμούς για τους οποίους χρησιμοποιούνται καταμέτρηση ειδών ή για να δηλώσετε τον αύξοντα αριθμό οποιουδήποτε είδους από όλα τα ομοιογενήείδη.

Ακέραιοιείναι αριθμοί που ξεκινούν από το ένα. Σχηματίζονται φυσικά κατά την καταμέτρηση.Για παράδειγμα, 1,2,3,4,5... -πρώτοι φυσικοί αριθμοί.

ο μικρότερος φυσικός αριθμός- ένας. Δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός. Κατά την καταμέτρηση του αριθμού Το μηδέν δεν χρησιμοποιείται, επομένως το μηδέν είναι ένας φυσικός αριθμός.

φυσική σειρά αριθμώνείναι η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών. Γράψε φυσικούς αριθμούς:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Στους φυσικούς αριθμούς, κάθε αριθμός είναι ένας περισσότερος από τον προηγούμενο.

Πόσοι αριθμοί υπάρχουν στη φυσική σειρά; Η φυσική σειρά είναι άπειρη, δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.

Δεκαδικό αφού 10 μονάδες οποιασδήποτε κατηγορίας σχηματίζουν 1 μονάδα υψηλότερης τάξης. θέση έτσι πώς η τιμή ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό, δηλ. από την κατηγορία όπου καταγράφεται.

Τάξεις φυσικών αριθμών.

Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας 10 αραβικούς αριθμούς:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Για την ανάγνωση των φυσικών αριθμών, χωρίζονται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των 3 ψηφίων η καθεμία. 3 πρώτα οι αριθμοί στα δεξιά είναι η κατηγορία των μονάδων, οι επόμενοι 3 είναι η τάξη των χιλιάδων, μετά οι τάξεις των εκατομμυρίων, των δισεκατομμυρίων καικαι τα λοιπά. Κάθε ένα από τα ψηφία της κλάσης ονομάζεται δικό τουαπαλλάσσω.

Σύγκριση φυσικών αριθμών.

Από τους 2 φυσικούς αριθμούς, ο αριθμός που καλείται νωρίτερα στην καταμέτρηση είναι μικρότερος. Για παράδειγμα, αριθμός 7 πιο λιγο 11 (γραμμένο έτσι:7 < 11 ). Όταν ένας αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο, γράφεται ως εξής:386 > 99 .

Πίνακας ψηφίων και τάξεων αριθμών.

Θέση μηδέν

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τον ορισμό των φυσικών αριθμών:

• μέτρηση (αρίθμηση)αντικείμενα ( ο πρώτος, δεύτερος, τρίτος, τέταρτος, πέμπτος…);
• φυσικοί αριθμοί - αριθμοί που προκύπτουν όταν προσδιορισμός ποσότηταςαντικείμενα ( 0 στοιχεία, 1 στοιχείο, 2 είδη, 3 στοιχεία, 4 είδη, 5 είδη…).

Στην πρώτη περίπτωση, η σειρά των φυσικών αριθμών ξεκινά από το ένα, στη δεύτερη - από το μηδέν. Δεν υπάρχει κοινή άποψη για τους περισσότερους μαθηματικούς σχετικά με την προτίμηση της πρώτης ή της δεύτερης προσέγγισης (δηλαδή, εάν θα θεωρηθεί το μηδέν ως φυσικός αριθμός ή όχι). Η συντριπτική πλειοψηφία των ρωσικών πηγών έχει υιοθετήσει παραδοσιακά την πρώτη προσέγγιση. Η δεύτερη προσέγγιση, για παράδειγμα, χρησιμοποιείται στα έργα Νικόλα Μπουρμπάκη, όπου οι φυσικοί αριθμοί ορίζονται ως εξουσία πεπερασμένα σύνολα. Η παρουσία του μηδενός διευκολύνει τη διατύπωση και την απόδειξη πολλών θεωρημάτων στην αριθμητική των φυσικών αριθμών, επομένως η πρώτη προσέγγιση εισάγει τη χρήσιμη έννοια εκτεταμένη φυσική σειρά, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός .

Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο . Διεθνή Πρότυπα ISO 31-11(1992) και ISO 80000-2(2009) καθορίζουν τις ακόλουθες ονομασίες:

Στις ρωσικές πηγές, αυτό το πρότυπο δεν τηρείται ακόμη - σε αυτές το σύμβολο N (\displaystyle \mathbb (N) )δηλώνει φυσικούς αριθμούς χωρίς μηδέν, και η εκτεταμένη φυσική σειρά συμβολίζεται N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))και τα λοιπά.

Αξιώματα που καθιστούν δυνατό τον ορισμό του συνόλου των φυσικών αριθμών

Αξιώματα Peano για φυσικούς αριθμούς

Πολλά N (\displaystyle \mathbb (N) )θα λέγεται το σύνολο των φυσικών αριθμών αν κάποιο στοιχείο είναι σταθερό 1 (μονάδα), λειτουργία S (\displaystyle S)ντο τομέα ορισμού N (\displaystyle \mathbb (N) ), που ονομάζεται συνάρτηση διαδοχής ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), και πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. το στοιχείο ένα ανήκει σε αυτό το σύνολο ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), δηλαδή είναι φυσικός αριθμός.
2. ο αριθμός που ακολουθεί τον φυσικό αριθμό είναι επίσης φυσικός αριθμός (αν , τότε S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )ή, με συντομότερο συμβολισμό, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. κανείς δεν ακολουθεί κανένα φυσικό αριθμό ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nextists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. αν φυσικός αριθμός a (\displaystyle a)αμέσως ακολουθεί ως φυσικός αριθμός b (\displaystyle b), και για τον φυσικό αριθμό c (\displaystyle c), έπειτα b (\displaystyle b)και c (\displaystyle c)είναι ο ίδιος αριθμός (αν S (b) = a (\displaystyle S(b)=a)και S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), έπειτα b = c (\displaystyle b=c));
5. (αξίωμα επαγωγής) εάν υπάρχει πρόταση (δήλωση) P (\displaystyle P)αποδεικνύεται για φυσικό αριθμό n = 1 (\displaystyle n=1) (επαγωγική βάση) και αν από την υπόθεση ότι ισχύει για άλλο φυσικό αριθμό n (\displaystyle n), προκύπτει ότι ισχύει για τα ακόλουθα n (\displaystyle n)φυσικός αριθμός ( υπόθεση επαγωγής), τότε αυτή η πρόταση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (έστω P (n) (\displaystyle P(n))- κάποιο μονό (μοναδικό) κατηγορούμενο, του οποίου η παράμετρος είναι ένας φυσικός αριθμός n (\displaystyle n). Τότε αν P (1) (\displaystyle P(1))και ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Δεξί βέλος P(S(n)))), έπειτα ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Τα παραπάνω αξιώματα αντικατοπτρίζουν τη διαισθητική κατανόηση της φυσικής σειράς και αριθμός γραμμής.

Το θεμελιώδες γεγονός είναι ότι αυτά τα αξιώματα ουσιαστικά καθορίζουν μοναδικά τους φυσικούς αριθμούς (η κατηγορική φύση του συστήματος των αξιωμάτων του Peano). Δηλαδή, μπορεί να αποδειχθεί (βλ. και μια σύντομη απόδειξη) ότι αν (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))και (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))είναι δύο μοντέλα για το σύστημα των αξιωμάτων του Peano, τότε πρέπει να είναι ισομορφική, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμη χαρτογράφηση ( διχασμός) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))τέτοια που f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))και f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))για όλα x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Επομένως, αρκεί να διορθωθεί ως N (\displaystyle \mathbb (N) )οποιοδήποτε συγκεκριμένο μοντέλο του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Μερικές φορές, ειδικά στην ξένη και μεταφρασμένη λογοτεχνία, το πρώτο και το τρίτο αξίωμα του Peano αντικαθιστούν το ένα με το μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, το μηδέν θεωρείται φυσικός αριθμός. Όταν ορίζεται με όρους κλάσεων ισοδύναμων συνόλων, το μηδέν είναι ένας φυσικός αριθμός εξ ορισμού. Θα ήταν αφύσικο να το απορρίψουμε συγκεκριμένα. Επιπλέον, αυτό θα περιέπλεκε σημαντικά την περαιτέρω κατασκευή και εφαρμογή της θεωρίας, αφού στις περισσότερες κατασκευές το μηδέν, όπως και το κενό σύνολο, δεν είναι κάτι μεμονωμένο. Ένα άλλο πλεονέκτημα της θεώρησης του μηδενός ως φυσικού αριθμού είναι ότι N (\displaystyle \mathbb (N) )μορφές μονοειδές. Όπως ήδη αναφέρθηκε, στη ρωσική λογοτεχνία, το μηδέν παραδοσιακά αποκλείεται από τον αριθμό των φυσικών αριθμών.

Θεωρητικός ορισμός συνόλων φυσικών αριθμών (ορισμός Frege-Russell)

Έτσι, εισάγονται και φυσικοί αριθμοί, με βάση την έννοια του συνόλου, σύμφωνα με δύο κανόνες:

Οι αριθμοί που δίνονται με αυτόν τον τρόπο καλούνται τακτικός.

Ας περιγράψουμε τους πρώτους τακτικούς αριθμούς και τους αντίστοιχους φυσικούς τους αριθμούς:

Η τιμή του συνόλου των φυσικών αριθμών

Η τιμή ενός άπειρου συνόλου χαρακτηρίζεται από την έννοια " καρδινάλιο του συνόλου”, που είναι μια γενίκευση του αριθμού των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου σε άπειρα σύνολα. Σε μέγεθος (δηλαδή δύναμη), το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο, αλλά μικρότερο από οποιοδήποτε διάστημα, για παράδειγμα, το διάστημα (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Το σύνολο των φυσικών αριθμών έχει την ίδια καρδινάτητα με το σύνολο των ρητών αριθμών. Ένα σύνολο με την ίδια καρδινάτητα με το σύνολο των φυσικών αριθμών ονομάζεται αριθμήσιμο σύνολο. Έτσι, το σύνολο των μελών οποιουδήποτε ακολουθίεςαριθμητός. Ταυτόχρονα, υπάρχει μια ακολουθία στην οποία κάθε φυσικός αριθμός εμφανίζεται άπειρες φορές, αφού το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί ως μετρήσιμο ένας σύλλογοςμη τέμνοντα αριθμήσιμα σύνολα (για παράδειγμα, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Πράξεις σε φυσικούς αριθμούς

Προς την κλειστές λειτουργίες(πράξεις που δεν εξάγουν αποτέλεσμα από το σύνολο των φυσικών αριθμών) στους φυσικούς αριθμούς περιλαμβάνουν τις ακόλουθες αριθμητικές πράξεις:

Επιπλέον, εξετάζονται δύο ακόμη πράξεις (από τυπική άποψη, δεν είναι πράξεις σε φυσικούς αριθμούς, καθώς δεν ορίζονται για όλαζεύγη αριθμών (άλλοτε υπάρχουν, άλλοτε όχι)):

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού είναι θεμελιώδεις. Συγκεκριμένα, δαχτυλίδι ακέραιοι αριθμοίκαθορίζεται επακριβώς μέσω δυαδικές λειτουργίεςπρόσθεση και πολλαπλασιασμός.

Βασικές ιδιότητες

• ανταλλαξιμότηταπροσθήκες:

• Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού:

• Συνεταιρισμόςπροσθήκες:

• Συσχετισμός πολλαπλασιασμού:

• κατανομήπολλαπλασιασμός ως προς την πρόσθεση:

Αλγεβρική δομή

Η πρόσθεση μετατρέπει το σύνολο των φυσικών αριθμών σε ημιομάδαμε μια μονάδα, ο ρόλος της μονάδας παίζεται από 0 . Ο πολλαπλασιασμός μετατρέπει επίσης το σύνολο των φυσικών αριθμών σε ημιομάδα με μονάδα, ενώ το στοιχείο ταυτότητας είναι 1 . Με τη χρήση κλεισίματαως προς τις πράξεις πρόσθεσης-αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού-διαίρεσης προκύπτουν ομάδες ακεραίων Z (\displaystyle \mathbb (Z) )και ορθολογικούς θετικούς αριθμούς Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*))αντίστοιχα.