Παλίνδρομα και «μετατοπίσεις» μεταξύ πρώτων αριθμών. Ξεκινήστε στην Επιστήμη Τι είναι ένας παλίνδρομος αριθμός

Το κείμενο της εργασίας τοποθετείται χωρίς εικόνες και τύπους.
Η πλήρης έκδοση της εργασίας είναι διαθέσιμη στην καρτέλα "Αρχεία εργασιών" σε μορφή PDF

Εισαγωγή

Η συνάφεια αυτού του θέματος έγκειται στο γεγονός ότι η χρήση μη τυποποιημένων τεχνικών στον σχηματισμό υπολογιστικών δεξιοτήτων συμβάλλει στην εξοικονόμηση χρόνου στην τάξη, στην επιτυχή επιτυχία της εξέτασης τόσο στην 9η όσο και στην 11η τάξη στα μαθηματικά.

Οι αριθμοί palindromes και repunits αποτελούν ένα από τα πιο ενδιαφέροντα υποσύνολα του συνόλου φυσικούς αριθμούς. Κατέχουν ασυνήθιστη ιστορία, καταπληκτικές ιδιότητες.

Διεξήχθη μια μελέτη μεταξύ των τάξεων 7, 8, 9, 11 και αποδείχθηκε ότι πολλοί τύποι είχαν ακούσει για αυτούς τους αριθμούς, αλλά μόνο λίγοι γνώριζαν λεπτομερείς πληροφορίες. Πολλοί από τους μαθητές που ερωτήθηκαν θα ήθελαν να μάθουν περισσότερα για αυτούς τους αριθμούς.

Επί του παρόντος, στη μετάβαση σε νέα πρότυπα, οι στόχοι της βασικής και της δευτεροβάθμιας (πλήρης) εκπαίδευσης αλλάζουν. Ένα από τα κύρια καθήκοντα που αντιμετωπίζουμε εμείς, οι εκπαιδευτικοί, στο πλαίσιο του εκσυγχρονισμού της εκπαίδευσης είναι να εξοπλίσουμε τους μαθητές με συνειδητές, στέρεες γνώσεις, αναπτύσσοντας την ανεξάρτητη σκέψη τους. Στο πλαίσιο της ανάπτυξης νέων τεχνολογιών, έχει αυξηθεί η ζήτηση για άτομα με μη τυποποιημένη σκέψη, που είναι σε θέση να θέτουν και να επιλύουν νέα προβλήματα. Ως εκ τούτου, στην πρακτική της εργασίας ενός σύγχρονου σχολείου, η ερευνητική δραστηριότητα των μαθητών ως εκπαιδευτική τεχνολογία που στοχεύει στην εξοικείωση των μαθητών με ενεργές μορφές απόκτησης γνώσης γίνεται πιο διαδεδομένη. Οι ερευνητικές δραστηριότητες είναι:

ένα ισχυρό εργαλείο για να αιχμαλωτίσει τη νέα γενιά στον πιο παραγωγικό δρόμο ανάπτυξης και βελτίωσης.

μία από τις μεθόδους αυξανόμενου ενδιαφέροντος και, κατά συνέπεια, της ποιότητας της εκπαιδευτικής διαδικασίας.

Στόχος:εξοικειωθείτε με τους αριθμούς παλίνδρομες και αναπήδηση και εντοπίστε την αποτελεσματικότητα της χρήσης τους για τη διδασκαλία των σύγχρονων μαθητών. Σχεδόν όλες οι μαθηματικές έννοιες, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, βασίζονται στην έννοια του αριθμού και το τελικό αποτέλεσμα οποιασδήποτε μαθηματικής θεωρίας, κατά κανόνα, εκφράζεται στη γλώσσα των αριθμών. Πολλοί από αυτούς, ειδικά οι φυσικοί αριθμοί, ομαδοποιούνται σε ξεχωριστές δομές (συσσωματώματα) σύμφωνα με το ένα ή το άλλο χαρακτηριστικό και ιδιότητα και έχουν τα δικά τους ονόματα.

Καθήκοντα:

Αποκάλυψη του ιστορικού του λογαριασμού.

Εξετάστε ορισμένες μεθόδους προφορικών υπολογισμών και δείξτε τα πλεονεκτήματα της χρήσης τους με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Λογοτεχνία για το θέμα.

Λάβετε υπόψη τις ιδιότητες και τις τιμωρίες.

Ρυθμίστε μεταξύ και repunits?

Μάθετε αν οι αριθμοί παίζουν ρόλο στην αλλαγή αυτών που μας ενδιαφέρουν.

Υπόθεση:εάν η χρήση μη τυπικών τεχνικών, τότε η ταχύτητα των υπολογισμών και ο αριθμός μειώνεται.

Οι πρώτοι είναι μέρος των αριθμών, όλοι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούνται από αυτούς.

Εξερευνώντας τους πρώτους αριθμούς, αποκτήστε εκπληκτικά σύνολα με τους εξαιρετικούς τους.

Θέμα- πολλά απλά.

Αντικείμενο μελέτης- παλίνδρομες και ανταπαντήσεις.

έρευνα:

προβληματισμός

όλες οι μαθηματικές έννοιες, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, βασίζονται στην έννοια και το τελικό οποιουδήποτε μαθηματικού, κατά κανόνα, εκφράζεται σε αριθμούς.

Εργασία για τη μελέτη των αριθμών: παλινδρόμων και δημιουργία σύνδεσης με αυτούς.

θεωρητικός

1 Παλίνδρομοι

Το παλίνδρομο έχει δύο χιλιετίες. Το όνομα ορίζεται - quadropaline. Παλίνδρομο - φράκταλ, κρύσταλλοι και ύλη. Η ικανότητα βρίσκεται στο ανθρώπινο βάθος, στο επίπεδο. Τα μόρια DNA είναι παλινδρομικά στοιχεία. Η ίδια είναι ένα παράδειγμα, πιο συγκεκριμένα, μια συγκεκριμένη κατακόρυφη συμμετρία.

τόσο καταπληκτικά, που είναι τα ίδια από αριστερά και δεξιά προς τα αριστερά. Διάβασα το βιβλίο του Konstantinovich "Pinocchio", και επέστησα την προσοχή σε αυτό: Και το τριαντάφυλλο έπεσε στον Αζόρ. της ζητήθηκε να γράψει στον αδαή Πινόκιο Μαλβίνα.

Ονομάζονται αμοιβαία παλίνδρομοι,που σε μετάφραση από σημαίνει «τρέχω, επιστρέφω». Το παλίνδρομο είναι ένα από τα παλαιότερα λογοτεχνικά πειράματα. Ευρωπαϊκά παλίνδρομα σε Έλληνα ποιητή (300 π.Χ.).

Ελληνικό παλίνδρομο, στη γραμματοσειρά της βυζαντινής Σοφίας στην Κωνσταντινούπολη: ανομήματα μχ όιν (Πλύσιμο καθώς και το σώμα). Υπάρχει ήδη ένας χαρακτήρας συνωμοσίας εδώ - η επιγραφή που γράφεται πρέπει να είναι ξόρκι από κακές δυνάμεις, όχι από αυτές στην ιερή γραμματοσειρά.

Ιδού οι παλινδρομικές: η Αργεντινή γνέφει. Πέθανε και ειρήνη σ' αυτόν. σκαρφαλώνω θα είμαι στη βελανιδιά. Μίσα. Αυτή είναι η δύναμη του τύπου. Τρώτε άπλυτοι λιγότερο! μερικές παντόφλες; "Αμολάω!" - Η σούπα του Μαξίμ. - "Άσε, σούπα!" Δεν κλαίω - κλαίω. Και η μούσα χαίρεται χωρίς μυαλό και μυαλό. σώσε το τόξο. Εσύ, αγαπητέ μου, πήγαινε: υπάρχει ένα ορυχείο δίπλα στον δρόμο, πίσω από τον κήπο, και πίσω του η πόλη. πηγαίνετε όταν πλυθείτε. Είναι στην κόλαση. Ουάου, το βλέπω ζωντανό. γνέφει ένας μαύρος. και ειρήνη σ' αυτόν. Πηγαίνω στο μπάνιο. Θα. Mish γάλα. Αυτός είναι ο τύπος των καπιταλιστών. Τρως λιγότερο! Ανακαλύπτω? "Αμολάω!" - ένα μπολ σούπα. - "Άσε, μύγες!" Δεν κλαίω - είμαι σίγουρος. Και χαίρομαι χωρίς μυαλό και μυαλό. Μαγειρική, κρεμμύδι. Εσύ, αγαπητέ μου, πηγαίνεις έξαλλος: στο ορυχείο, πίσω από το δρόμο, και πίσω του η πόλη στο? πηγαίνετε όταν πλυθείτε. Είναι στην κόλαση εδώ και πολύ καιρό. Ουάου, ζωντανός.

μου μια ερωτηση. Αναρωτιέμαι αν υπάρχουν παλίνδρομοι; Και είναι δυνατόν να μεταφερθεί η ίδια ιδέα - η ιδέα μιας αμοιβαίας ανάγνωσης - στα μαθηματικά. (Ελληνικά) -, ομοιότητα στην τοποθεσία. Ένα αντικείμενο ονομάζεται συμμετρικό, το οποίο με κάποιο τρόπο, παίρνοντας το ίδιο αποτέλεσμα, από την αρχή. Πολλά άγρια ζώα, ένα φύλλο, μια πεταλούδα ενώνονται με αυτό που είναι. Αν είναι διανοητικά κατά μήκος της ισοπαλίας, τότε τα μισά τους. Και αν το βάλετε κατά μήκος του σχεδιασμένου, τότε το μισό που αντανακλάται σε αυτό θα το συμπληρώσει. Επομένως, αυτό ονομάζεται καθρέφτης. , κατά μήκος του οποίου ο καθρέφτης είναι ο άξονας συμμετρίας. ο καθένας μας βλέπει τον δικό του στον καθρέφτη πολλές φορές. Συνήθως δεν ξαφνιαζόμαστε, δεν κάνουμε ερωτήσεις, δεν κάνουμε. Και μόνο οι φιλόσοφοι δεν χάνουν την έκπληξή τους.

Τι αλλάζει όταν αντανακλάται στον καθρέφτη; Είμαστε πειράματα με καθρέφτες. βάλτε στο πλάι του γράμματος Α, τότε στον καθρέφτη το γράμμα είναι πιο σφιχτό. Αλλά αν είναι καθρέφτης, η αντανάκλαση δεν μοιάζει πλέον με Α - είναι Α ανάποδα. Αλλά αν ο καθρέφτης είναι κάτω από το Β, η αντανάκλαση είναι επίσης. Αλλά βάζοντάς το στο πλάι, έχουμε το Β μπροστά.

Το γράμμα Α είναι κάθετο και το γράμμα Β είναι οριζόντιο. , ανακαλύψαμε ότι ο καθρέφτης αλλάζει, αριστερά - . Αποδεικνύεται ότι ανάμεσά τους υπάρχουν παλίνδρομοι. αριθμοί - παλίνδρομοι σε δεν ανήλθαν. Προσπάθησα να φτιάξω αριθμούς για αυτά - παλίνδρομα.

Στα διψήφια παλίνδρομα, οι μονάδες συμπίπτουν με δεκάδες.

Σε αριθμούς - παλίνδρομες εκατοντάδες συμπίπτουν με τον αριθμό.

Σε τετραψήφιους αριθμούς - ο αριθμός των μονάδων συμπίπτει με τις μονάδες και ο αριθμός με τον αριθμό των δεκάδων κ.λπ.

οι τύποι απαιτούσαν μεγαλύτερο. Κάτω από τύπους - παλίνδρομα, μια έκφραση που αποτελείται από ή τη διαφορά αριθμών, η οποία δεν είναι αποτέλεσμα ανάγνωσης από τα δεξιά προς τα αριστερά.

προσθέστε τους αριθμούς - , τότε το άθροισμα δεν είναι.

Για παράδειγμα: 22 + 66 = 66 + 22.

Σε γενικές γραμμές, αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

1. Βρείτε όλα τα διψήφια ζεύγη έτσι ώστε το αποτέλεσμά τους να μην αλλάξει ως αποτέλεσμα του αθροίσματος στα δεξιά, για παράδειγμα, 42 + 35 = 53 + 24.

ισότητα:

Ας αναπαραστήσουμε τους αριθμούς με τη μορφή όρων bit:

(10 1 + y 1) + (10x 2 + y 2) = (10 2 + x 2) + (10 y 1 + x 1)

10 x 1+ στο 1 + 10x 2 + y 2 \u003d 10y 2 + x 2 + 10y 1 + x 1. με το x μεταφέρουμε στην αριστερή ισότητα και με το y - στα δεξιά:

10x 1 - x 1 + 10x 2 - x 2 \u003d 10y 1 - y 1 + 10y 2 - y 2.

διανεμητικό:

9 x 1 + 9 x 2 = 9 y 1 + 9 y 2

9(x 1 + x 2) = 9 (y 1 + y 2)

x 1 + x 2 \u003d y 1 + y 2.

Δηλαδή, για να λυθεί το πρόβλημα, το άθροισμα των ψηφίων πρέπει να είναι ίσο με τα δεύτερα ψηφία τους.

τα ποσά μπορεί να είναι:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 κ.λπ.

Εργασία 2. όλα τα ζεύγη των διψήφιων αριθμών, το αποτέλεσμα της αφαίρεσής τους δεν είναι αποτέλεσμα ανάγνωσης από τα δεξιά.

Αναπαράσταση των δικών μας ως άθροισμα όρων και εκτέλεση μετασχηματισμών για να λύσουμε τους δικούς μας. Τέτοιοι αριθμοί έχουν ίσα ψηφία.

(10 1 + y 1) - (10x 2 + y 2) = (10 y 2 + x 2) - (10 1 + x 1)

10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 \u003d 10y 2 + x 2 - 10y 1 - x 1

10x1 + x1 + y1 + 10y 1 = 10y2 + y2 + 10x2 + x2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11 (x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

μπορούν να γίνουν διαφορές:

41 - 32 = 23 - 14

46 - 28 = 82 - 64

52 -16 = 61 - 25 κ.λπ.

Στον πολλαπλασιασμό έχουμε: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... - όταν το γινόμενο των πρώτων αριθμών N 1 και N 2 είναι ίσο με το δεύτερο τους (x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2) .

Τέλος, για τη διαίρεση, παραδείγματα είναι:

Στην περίπτωση του γινόμενου του ψηφίου N 1 με το δεύτερο ψηφίο το N 2 είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων ψηφίων τους, δηλ. x 1 ∙ y 2 = x 2 ∙ y 1 .

Αποδεικνύω για το προϊόν. Να τι έχω.

N 1 \u003d \u003d 10x 1 + y 1N3 \u003d \u003d 10y 2 + x 2

N 2 = = 10x 2 + y 2 N4 = = 10y 1 + x 1

N 1 ∙ N 2 \u003d ∙ \u003d (10x 1 + y 1) ∙ (10 2 + y 2)

N 3 ∙ N 4 \u003d ∙ \u003d (10y 2 + x 2) ∙ (10y 1 + x 1)

100 1 ∙x 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x 2 + y 1 ∙y 2 = 100y 1 ∙y 2 + 10x 1 ∙y 2 + 10y 1 ∙x ∙x 2

99x 1 ∙x 2 \u003d 99y 1 ∙y 2; Χ 1 ∙x 2 = y 1 ∙ ε 2 , που πρέπει να αποδειχθεί.

Με τη βοήθεια ενός αριθμού - ενός παλίνδρομου και μπορείτε να λύσετε για διαιρετότητα, που είναι συχνά σε μαθηματικές ολυμπιάδες. Εδώ είναι μερικά από αυτά:

Πρόβλημα Αποδείξτε ότι αφαιρείτε έναν αριθμό από έναν τριψήφιο αριθμό, με τα ίδια ψηφία, αλλά με τη σειρά, η διαφορά διαιρείται με το 9.

Εκείνοι. αυτό το κομμάτι για 9.

Παρεμπιπτόντως, μια γενιά ήταν τυχερή, κανένας δεν έχει τουλάχιστον ένα χρόνο, και ακόμη περισσότερο δύο - 1991 και 2002 - η προηγούμενη ήταν το 1881- και η επόμενη - το 2112. Στην εργασία, θίξαμε ένα μαθηματικό φαινόμενο -ιδιαίτερα, στα παλίνδρομά του.

Στο δικό μου, θεώρησα αριθμούς -, τύπους - παλίνδρομα και για τη διαφορά και για το πηλίκο διψήφιο και μπόρεσα να τους αποδείξω. Η γνώση των νόμων και της ομορφιάς είναι επίσης δύσκολη, και είμαστε στην αρχή της.

Η χρήση παλίνδρομων αριθμών και τύπων παλίνδρομου για την επίλυση της διαιρετότητας των αριθμών συναντάται συχνά στα μαθηματικά. Εδώ είναι ένα από αυτά:

. Να αποδείξετε ότι από έναν τριψήφιο αριθμό, ο αριθμός που γράφεται με τα ίδια ψηφία, αλλά αντίστροφα, η διαφορά θα διαιρείται με το 9.

. ,εκείνοι. αυτό το κομμάτι για 9.

Τα αριθμητικά παλίνδρομα είναι αριθμοί που διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο αριστερά και δεξιά. Με άλλα λόγια, με συμμετρία (τη διάταξη των αριθμών), ο αριθμός των χαρακτήρων μπορεί να είναι και ζυγός και.

Για παράδειγμα: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 κ.λπ.

Ένα παλίνδρομο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αποτέλεσμα άλλων αριθμών. Για ας χρησιμοποιήσουμε τα γνωστά.

Αλγόριθμος λήψης:

Πάρτε έναν διψήφιο αριθμό

αυτόν (αναδιάταξη των αριθμών προς τα αριστερά)

γυρίστε τον αριθμό

Επαναλάβετε το ίδιο μέχρι να πάρετε

Ως αποτέλεσμα αυτών που έχω κάνει, κατέληξα στο συμπέρασμα ότι, συγκεντρωμένο, από οποιοδήποτε διψήφιο μπορεί να ληφθεί.

Μπορούμε να εξετάσουμε όχι πρόσθεση, αλλά και πράξεις σε παλίνδρομα. (2)

Ακολουθούν δύο παραδείγματα για το πώς επιτυγχάνεται:

α) 212² - 121² = - 14641 = 30303;

β) \u003d 2 11² 101² \u003d \u003d 1111 \u003d 2468642.

Τώρα στους πρώτους αριθμούς. Στο σετ τους υπάρχουν οικογένειες. Μόνο μεταξύ εκατό εκατομμυρίων φυσικών αριθμών, υπάρχουν 781 απλοί και εμπίπτει στον πρώτο, εκ των οποίων τέσσερις αριθμοί είναι 2. 3; 5; 7 και μόνο ένα - 11. Πολλά ενδιαφέροντα πράγματα συνδέονται με αυτά:

Υπάρχει μόνο ένα παλίνδρομο με ζυγά ψηφία - 11.

και το τελευταίο ψηφίο ενός απλού παλίνδρομου πρέπει να είναι μόνο 1. 3; 7 ή 9. Αυτό είναι από τη γνωστή διαιρετότητα με το 2 και με το 5. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί που γράφτηκαν από τα ψηφία (19) μπορούν να ζευγαρωθούν.

Για παράδειγμα: 13 και 31. 17 και 71; 37 και 73; 79 και 97.

Βρίσκονται απλά τριψήφια ζεύγη στα οποία το ψηφίο διαφέρει κατά 1.

Για παράδειγμα: 181 και 191. 373 και 383; 787 και 797; 919 και 929.

Το ίδιο ισχύει και για μεγάλους αριθμούς.

: 94849 και 94949; και 1178711.

Όλα τα μονοψήφια είναι παλίνδρομα.

26 - αριθμός, όχι παλίνδρομο, τετράγωνο παλίνδρομο

Για παράδειγμα: 26² = 676

Αλλά οι αριθμοί - "shifters" 13 - 31 και 113 - 311 με ένα ζεύγος "" στο τετράγωνο: 169 - 961 και 12769 - 96721. Είναι ενδιαφέρον ότι ακόμη και οι αριθμοί τους συνδέονται με έναν περίπλοκο τρόπο:

(1+3) 2 =1+6+9,(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Από απλές - παλίνδρομες, τακτοποιώντας τις με τρόπο, γραμμή προς γραμμή, μπορείτε να φτιάξετε συμμετρικές φιγούρες, με πρωτότυπο μοτίβο αριθμών.

1- Παραδείγματα παλίνδρομων

2 Repunits

Φυσικοί αριθμοί, που αποτελούνται από μονάδες. Στο σύστημα αριθμών, συμβολίζονται μικρότερα R n: R 1 = 1, R 2 = 11, R 3 = 111, κ.λπ., και η προβολή για αυτούς:

Η γενική άποψη του repunit θα έχει διαφορετική μορφή:

: έντεκα; 111; 1111; 11111; 1111111 κ.λπ.

Βρέθηκαν ενδιαφέρουσες επαναλήψεις:

Τα Repunites - η περίπτωση των αριθμών παλίνδρομου, παραμένουν αμετάβλητα για και το αντίστροφο.

Τα Repunites αναφέρονται σε παλίνδρομα που είναι προϊόν δικά τους.

Γνωστές απλές επαναλήψεις: R 2 , R 19 , R 23 , R 317 και R, και, το πιο σημαντικό, οι δείκτες αυτών είναι επίσης αριθμοί. Ο ίδιος ο αριθμός των repunits - 1. μεγάλος - δεν έχει βρεθεί ακόμη.

Αναλύοντας μερικές επαναλήψεις σε απλές:

11111 = 41∙ 271

3∙7∙11∙13∙37

11111111 = 11∙73∙101∙137

3∙37∙333667 κ.λπ. είναι αριθμοί.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των repunits, πήραμε παλίνδρομα:

11111∙111 = 1233321

11111∙11111 = κ.λπ.

Πολλαπλασιάζοντας τα repunits, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κάθε φορά ο αριθμός είναι ένα παλίνδρομο. (3).

Αριθμός 7 - επειδή ο συμβολισμός του είναι στη βάση 2:111 και στη βάση 6:11 (δηλ. 7 10 = 11 6 = 111 2).

Με άλλα λόγια, το 7 είναι ένα μέτρο τιμωρίας στις βάσεις b > 1.

Ας ορίσουμε έναν ακέραιο με την ιδιότητα ισχυρή. Είναι πιθανό να υπάρχουν 8 ισχυροί λιγότεροι από 50: (1,7,13,15,21,31,40,43). , το άθροισμα όλων των μικρότερων είναι ίσο με 15864.

2- Παράδειγμα επανεκτίμησης

Δεν βρέθηκαν ανακριτές στους τομείς της επιστήμης.

μέρος

δύο ενδιαφέροντα προβλήματα από το "Kvant" Νο. 5 για το 1997.

Ποιοι αριθμοί πρέπει να αντικατασταθούν ώστε το άθροισμα των όρων να γίνει ανταπόδοση;

Λύση: +12345679+12345679=111111111 -

Απάντηση: 111111111

Το προϊόν ποιων repunit είναι 123455554321;

Πολλαπλασιάζοντας δύο repunits, εμείς

11111111 11111 =

Απάντηση: 11111111

Μπορεί να εντοπιστεί: οι αριθμοί στην εγγραφή είναι πρώτα σε αύξουσα σειρά και σε φθίνουσα σειρά, και το μήκος του αριθμού είναι μικρότερο και ο αριθμός των επαναλήψεων του αριθμού στη μέση είναι ίσος με το μήκος των επανατιμήσεων, ανά μονάδα. Έχοντας πολλαπλασιάσει τα repunit, φροντίζουμε κάθε φορά ο αριθμός να είναι παλίνδρομος. (3)

Είναι επίσης πειραματικό ότι κατά τον πολλαπλασιασμό των repunits σύμφωνα με τον κανόνα, ο αριθμός των μονάδων είναι μικρότερος από 10. Τότε το μέγιστο γινόμενο: 1(19) * 1(9 φορές) = 1 234 567 899 999 999 999 987 654 321. palindrome δεν δουλεύει.

ψυχαγωγική και ολυμπιάδα

Υπολογιστική.

Απάντηση: 12 345 654 321

: 12 345 554 321

αριθμός αριθμών - διαιρούμενος με 2:

β) τριψήφιο

γ) τετραψήφιο

Διαιρείται με το 2 Ζυγός αριθμός. ,

α) μεταξύ των αριθμών - παλίνδρομων - 22, 44, 66 και 88. Δηλαδή 4 αριθμοί.

β) για αριθμούς - παλίνδρομα και ο τελευταίος είναι ίδιοι και πρέπει να είναι άρτιοι. Ακόμη και 4 (2, 4, 6 και 8). Οποιοδήποτε από τα 10 από το 0 έως το 9 μπορεί να βρίσκεται στη μέση. Επομένως, το σύνολο των τριψήφιων αριθμών είναι .

γ) η τετραψήφια αναζήτηση πρέπει να έχει το ίδιο και τα τελευταία ψηφία να είναι ζυγά - υπάρχουν 4. Εάν το δεύτερο και τα ψηφία είναι ίδια, να είναι οποιοδήποτε από αυτά. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν και 40 τετραψήφια παλίνδρομα.

δ) για αριθμούς - ο πρώτος και ο τελευταίος είναι ίδιοι και ζυγοί, υπάρχουν 4. Ταυτόχρονα, το 2 και το 4 μπορεί επίσης να είναι 10. Το ψηφίο μπορεί επίσης να είναι οποιοδήποτε από τα 10. , συνολικοί αριθμοί - παλίνδρομα -

Έτσι, όλοι πειστήκαμε ότι είναι σημαντικό όχι μόνο από μόνο του. Η προσέγγιση του περιβάλλοντος βοηθά στη βελτίωση του. Και όλοι χρειάζονται ένα μαθηματικό στυλ - ένας γλωσσολόγος, ένας χημικός, ένας φυσικός, ένας καλλιτέχνης, ένας ποιητής και.

Έχοντας ξοδέψει σε αυτό το θέμα, έχω τις ιδιότητες των παλίνδρομων και, αφού δημιούργησα μια σύνδεση μαζί τους, τι ρόλο παίζουν οι πρώτοι αριθμοί στις ιδιότητες δεδομένων.

Αποτελέσματα (ομοιότητες και διαφορές) στον πίνακα.

Πίνακας 3- ιδιότητες παλίνδρομο και.

	παλίνδρομες	Ανταποκρίνεται
αριστερά προς τα δεξιά και αριστερά το ίδιο
καταχωρήσεις (ψηφία)		Δεν είναι πάντα
τα σημάδια που χρησιμοποιούνται για τους αριθμούς μπορεί να είναι άρτια και
Μπορεί να ληφθεί ως πράξεις σε άλλους: πρόσθεση στύση σε εξαγωγή πολλαπλασιασμός
Μπορεί πολυγωνικά σχήματα
εκπρόσωποι της τάξης των αριθμών

έρευνα σχετικά με αυτό, μελέτησα τις ιδιότητες και τις επανατιμήσεις, που καθιερώθηκαν μεταξύ τους, ανακάλυψα ποιες είναι απλές στην αλλαγή των ιδιοτήτων των αριθμών.

μελέτες (ομοιότητα και) παρατίθενται στον πίνακα.

Πίνακας 4- "Γνωρίζετε για αυτούς τους αριθμούς;"

		Ανταποκρίνεται
Φοιτητές	Θέλετε περισσότερα για τους αριθμούς;
Φοιτητές

Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι όλοι οι μαθητές γνωρίζουν περισσότερα για τα παλίνδρομα και.

Διενεργήθηκε επίσης "Χρησιμοποιείτε αυτούς τους αριθμούς;". Τα δεδομένα εισήχθησαν

Πίνακας 5- "Είστε αυτοί οι αριθμοί στη ζωή;"

	Φοιτητές	τα εχεις αυτα τα νουμερα στη ζωη?
	Φοιτητές

σύμφωνα με την έρευνα: Όσο περισσότερο είναι ένας μαθητής, τόσο πιο συχνά έχει παλινδρομίες και ανατροπές στη ζωή.

συμπέρασμα

Ο κόσμος είναι τόσο συναρπαστικός που όταν κάνουμε δουλειά, διερευνάται ότι ο καθένας μας θα τον προσέξει, τότε θα υπήρχαν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα για τον εαυτό μας.

Εξοικείωση με τους φυσικούς αριθμούς: και τις ανατιμήσεις. Όλα έχουν τις ιδιότητες τους σε αριθμούς.

Ως εκ τούτου, η υπόθεση ότι ο πρώτος h είναι ένα μέρος από το οποίο αποτελούνται όλοι οι αριθμοί.

Εξερευνώντας τους πρώτους αριθμούς, αποκτήστε αριθμητικά σύνολα με τις ιδιότητές τους.

Στη μεγάλη της προσοχή στα έργα, συγκεκριμένο δημόσιο όφελος. Συχνά αυτά τα έργα είναι μακροπρόθεσμα, προσανατολισμένα στα συστήματα: - Εξωσχολικές δραστηριότητες.

Η μέθοδος των έργων είναι ένας συνδυασμός ατομικής εργασίας με σε συνεργασία, σε μικρή και ομαδική. Υλοποίηση έργων στην πράξη για την αλλαγή του εκπαιδευτικού. Από φορέας γνώσης μετατρέπεται σε δικό του γνωστικό ερευνητικό. Αλλάζει και το ψυχολογικό στην τάξη, καθώς ο δάσκαλος επαναπροσανατολίζει την εργασία του και τους μαθητές του σε ποικίλες ανεξάρτητες δραστηριότητες, σε ερευνητικές, δημιουργικές δραστηριότητες. Η παροχή και υποστήριξη των δραστηριοτήτων βασίζεται στη συνεργασία και περιλαμβάνει:

στον καθορισμό της ιδέας του σχεδιασμού·

στάδια συμβουλευτικής: ανάκτηση πληροφοριών, σχεδιασμός, ενθάρρυνση πρακτικής άμεσης εργασίας με

προσοχή στο άτομο και στους τρόπους ευφάνταστης σκέψης και ερμηνείας, έναρξη της σκέψης μέσω της δραστηριότητας και του προϊόντος της.

δραστηριότητες πρωτοβουλίας και δημιουργικού σχεδιασμού·

στην παροχή παρουσίασης και εμπειρογνωμοσύνης των δραστηριοτήτων του έργου.

Ως αποτέλεσμα της ενεργητικής μεθόδου των έργων σε και σε εξωσχολικές δραστηριότητες, οι μαθητές αναπτύσσουν μαθησιακές δεξιότητες και γενικευμένες μεθόδους. Οι μαθητές αφομοιώνουν σταθερά αυτό που έχουν λάβει στην πορεία επίλυσης των τεθέντων εργασιών. Οι μαθητές βιώνουν στοχαστικό με καλλιτεχνικό κείμενο, εμπειρία με όγκο από ποικίλες πηγές. να αποκτήσουν τις δεξιότητες συνεργασίας και επικοινωνίας: να εργαστούν, να προγραμματίσουν την εργασία και σε μια ομάδα, να μάθουν καταστάσεις και να αποδεχτούν.

Η εργασία με έργα στην τάξη και στις εξωσχολικές δραστηριότητες συμβάλλει στη διαμόρφωση της πνευματικότητας και της κουλτούρας, στην ανεξαρτησία, στην επιτυχή κοινωνικοποίηση και στην ενεργό προσαρμογή στην εργασία.

Μέθοδος δραστηριότητας σε σχέση με αλλαγές στην εκπαίδευση. Οι υπολογιστές έχουν γίνει επίσης αναπόσπαστο μέρος της εκπαίδευσης. Στη δουλειά μου το χρησιμοποιώ ως απαραίτητη προϋπόθεση για ένα σύγχρονο μάθημα. τεχνική παρουσίασης των αποτελεσμάτων δραστηριοτήτων με σαφήνεια, επιλογή συστήματος, εικονογραφήσεις για τα θέματα του θέματος.

Όταν εργάζεστε σε ένα έργο με εργαλεία ΤΠΕ, διαμορφώνεται ποιος είναι σε θέση όχι μόνο σύμφωνα με το μοντέλο, αλλά και, λαμβάνοντας τα απαραίτητα από τις μεγαλύτερες δυνατές πηγές, να το αναλύσει και να το κάνει. Η μέθοδος project του σχολείου, αφού είναι δαίμονας υψηλού, μαθησιακά κίνητρα, υπερφόρτωση, αυξάνουν τις δυνατότητες των μαθητών.

Τελείωσαν οι επιχειρήσεις

Δράση		Λήφθηκε αριθμός

		Παλίνδρομο
		Παλίνδρομο
	12345678987654321
		Παλίνδρομο Επανατιμωρήστε
		Επανατιμωρήστε
		Παλίνδρομο

Εκτελώντας ενέργειες σε παλίνδρομα, μπορείτε να λάβετε και ένα παλίνδρομο και ένα repunit ως αποτέλεσμα.

Παράρτημα 2

Το προϊόν των repunit δίνει ένα παλίνδρομο.

1 πολλαπλασιαστής	2 πολλαπλασιαστής	Δουλειά












		1234567887654321
		12345678887654321




		12333333333333321

Έχοντας πολλαπλασιάσει πολλά repunit, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι κάθε φορά παίρνουμε τον αριθμό των παλίνδρομων.

Παράρτημα 3

Παράρτημα 4

Εμπειρία φωτογραφίας

Κατάλογος πηγών πληροφοριών που χρησιμοποιούνται

Depman I.Ya. Πίσω από τις σελίδες ενός εγχειριδίου μαθηματικών // εγχειρίδιο για μαθητές στις τάξεις 5-6 του γυμνασίου. - Μ.: Διαφωτισμός, 1989.

Yeats S. Repunites και δεκαδικές περίοδοι // εκδοτικός οίκος Mir. - 1992.

Kordemsky B.A. Ο καταπληκτικός κόσμος των αριθμών // ένα βιβλίο για μαθητές. - Μ.: Διαφωτισμός, 1995.

Kordemsky, B.A., An hour to the repunite family, Kvant. -1997. - Αρ. 5. - Σελ. 28-29.

Perelman Ya.I. Διασκεδαστικά μαθηματικά // εκδοτικός οίκος "Thesis". - 1994

http://arbuz.uz/t_numbers.html.

Lopovok L.M. Χίλιες προβληματικές εργασίες στα μαθηματικά: Βιβλίο. για τους μαθητές. - Μ.: Διαφωτισμός, 1995. - 239σ.

Karpushina N.M. Repunites και palindromes // Τα μαθηματικά στο σχολείο. - 2009, Νο. 6. - Σελ.55 - 58.

Strogov I.S. Η θερμότητα των ψυχρών αριθμών. Δοκίμια. - Λ.: Παιδική λογοτεχνία, 1974.

Perelman Ya.I. Ζωντανά μαθηματικά. - Μ.: «Επιστήμη», 1978.

Γιακόβλεφ Ντανίλ

Σχεδόν όλες οι μαθηματικές έννοιες, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, βασίζονται στην έννοια του αριθμού και το τελικό αποτέλεσμα οποιασδήποτε μαθηματικής θεωρίας, κατά κανόνα, εκφράζεται στη γλώσσα των αριθμών. Πολλοί από αυτούς, ειδικά οι φυσικοί αριθμοί, ομαδοποιούνται σε ξεχωριστές δομές (συσσωματώματα) σύμφωνα με το ένα ή το άλλο χαρακτηριστικό και ιδιότητα και έχουν τα δικά τους ονόματα. Έτσι, σκοπός της μελέτης είναι η γνωριμία με τους παλινδρομικούς αριθμούς

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

ΡΩΣΙΚΗ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

"Γυμνάσιο Νο. 7"

πόλη Nizhnevartovsk

Ερευνητικό έργο
στο σχολικό επιστημονικό-πρακτικό συνέδριο νέων ερευνητών

παλίνδρομα στα μαθηματικά

2016

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4

ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ................................................ ................................................ . .................5

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ 9

ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ 11

Υπόθεση
Οι πρώτοι αριθμοί είναι μέρος των αριθμών που απαρτίζουν όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Εξετάζοντας το σύνολο των πρώτων, μπορεί κανείς να αποκτήσει εκπληκτικά αριθμητικά σύνολα με τις εξαιρετικές τους ιδιότητες.

Σκοπός έρευνας
Σχεδόν όλες οι μαθηματικές έννοιες, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, βασίζονται στην έννοια του αριθμού και το τελικό αποτέλεσμα οποιασδήποτε μαθηματικής θεωρίας, κατά κανόνα, εκφράζεται στη γλώσσα των αριθμών. Πολλοί από αυτούς, ειδικά οι φυσικοί αριθμοί, ομαδοποιούνται σε ξεχωριστές δομές (συσσωματώματα) σύμφωνα με το ένα ή το άλλο χαρακτηριστικό και ιδιότητα και έχουν τα δικά τους ονόματα. Με αυτόν τον τρόπο,ερευνητικός στόχοςείναι η εξοικείωση με τους παλινδρομικούς αριθμούς.

Στόχοι έρευνας

1. Μελετήστε τη βιβλιογραφία για το ερευνητικό θέμα.

2. Εξετάστε τις ιδιότητες των παλινδρομών.

3.. Μάθετε τι ρόλο παίζουν οι πρώτοι αριθμοί στην αλλαγή των ιδιοτήτων των αριθμών που μας ενδιαφέρουν.

Αντικείμενο μελέτηςείναι το σύνολο των πρώτων αριθμών.

Αντικείμενο μελέτης- παλίνδρομοι αριθμοί.

Ερευνητικές μέθοδοι:

θεωρητικός
προβληματισμός
ανάλυση

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Μια μέρα, ενώ έκανα μπόουλινγκ, παρατήρησα ασυνήθιστους αριθμούς: 44, 77, 99, 101 και αναρωτήθηκα ποιοι ήταν αυτοί οι αριθμοί; Ψάχνοντας στο Διαδίκτυο, ανακάλυψα ότι πρόκειται για παλίνδρομους αριθμούς.

Palindrome (από τα ελληνικά πάλιν - "πίσω, ξανά" και ελληνικά δρόμος - "τρέχω"), μερικές φορές και παλινδρομόνη, από γρ. παλινδρομος τρέχοντας πίσω).

Μιλώντας για το τι είναι το παλίνδρομο, πρέπει να ειπωθεί ότι οι «μετατοπιστές» ήταν γνωστοί από την αρχαιότητα. Συχνά τους έδιναν μαγικά ιερό νόημα. Εμφανίστηκαν παλίνδρομοι, παραδείγματα των οποίων μπορούν να βρεθούν στα περισσότερα διαφορετικές γλώσσεςπιθανώς στον Μεσαίωνα.

Ένα παλίνδρομο μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα πράξεων σε άλλους αριθμούς. Έτσι, στο βιβλίο "Υπάρχει μια ιδέα!" Ο γνωστός εκλαϊκευτής της επιστήμης Μάρτιν Γκάρντνερ αναφέρει την «υπόθεση του παλινδρόμου» σε σχέση με αυτό το πρόβλημα.Εάν πάρετε έναν φυσικό αριθμό (οποιοδήποτε) και προσθέσετε έναν ανεστραμμένο αριθμό σε αυτόν (που αποτελείται από τα ίδια ψηφία, αλλά με αντίστροφη σειρά), επαναλάβετε την ενέργεια, αλλά με το προκύπτον ποσό, τότε ένα από τα βήματα θα αποδειχθεί ότι είναι ένα παλίνδρομο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να πραγματοποιήσετε την προσθήκη μία φορά: 213 + 312 = 525. Συνήθως όμως απαιτούνται τουλάχιστον δύο λειτουργίες. Έτσι, για παράδειγμα, αν πάρουμε τον αριθμό 96, τότε, έχοντας πραγματοποιήσει διαδοχική πρόσθεση, ένα παλινδρομο μπορεί να ληφθεί μόνο στο τέταρτο επίπεδο: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 488 Εάν κάνετε οποιοδήποτε αριθμό, μετά από έναν ορισμένο αριθμό ενεργειών, θα ληφθεί ένα παλίνδρομο.

ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ

Οι αριθμοί είναι παλίνδρομοι

Η εύρεση αριθμών - παλίνδρομων στα μαθηματικά δεν ήταν δύσκολη. Προσπάθησα να γράψω έναν αριθμό για αυτούς τους αριθμούς - παλίνδρομα.

Στους διψήφιους αριθμούς - παλίνδρομα, ο αριθμός των μονάδων είναι ίδιος με τον αριθμό των δεκάδων.

- σε τριψήφιους αριθμούς - παλίνδρομα, ο αριθμός των εκατοντάδων συμπίπτει πάντα με τον αριθμό των μονάδων.

Στους τετραψήφιους αριθμούς - παλίνδρομα, ο αριθμός των χιλιάδων συμπίπτει με τον αριθμό των μονάδων και ο αριθμός των εκατοντάδων με τον αριθμό των δεκάδων κ.λπ.

Φόρμουλες - παλίνδρομες

Οι παλινδρομικές φόρμουλες μου προκάλεσαν περισσότερο ενδιαφέρον. Λέγοντας τύπους - παλίνδρομα, εννοώ μια παράσταση (αποτελούμενη από το άθροισμα ή τη διαφορά αριθμών) της οποίας το αποτέλεσμα δεν αλλάζει ως αποτέλεσμα της ανάγνωσης της παράστασης από δεξιά προς τα αριστερά.

Αν προσθέσετε αριθμούς - παλίνδρομους, τότε το άθροισμα δεν αλλάζει. Η προσθήκη διψήφιων αριθμών είναι αρκετά απλή, αποφάσισα να γράψω το άθροισμα για τριψήφιους αριθμούς.

Για παράδειγμα: 121+343=464

ΣΤΟ γενική εικόναμπορεί να γραφτεί ως εξής:

+ = +

(100x + 10x + x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x + x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x + 10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + y) = 111 (y + x)

x + y = y + x

Η αναδιάταξη των όρων δεν αλλάζει το άθροισμα(αντιθετική ιδιότητα πρόσθεσης).

Ομοίως, αποδεικνύεται για 4, 5 και ν-ψήφιους αριθμούς.

Θεωρήστε όλα τα ζεύγη τέτοιων διψήφιων αριθμών έτσι ώστε το αποτέλεσμα της αφαίρεσής τους να μην αλλάξει ως αποτέλεσμα της ανάγνωσης της διαφοράς από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Οποιοσδήποτε διψήφιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα όρων bit:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- \u003d (10x 1 + y 1) - (10x 2 + y 2)

- \u003d (10y 2 + x 2) - (10y 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) - (10x 2 + y 2) \u003d (10y 2 + x 2) - (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 - 10x 2 - y 2 \u003d 10y 2 + x 2 - 10y 1 - x 1

10x1 + x1 + y1 + 10y 1 = 10y2 + y2 + 10x2 + x2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11 (x 1 + y 1) \u003d 11 (x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Τέτοιοι αριθμοί έχουν το ίδιο άθροισμα ψηφίων.

Τώρα μπορείτε να κάνετε τις παρακάτω διαφορές:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 -16 \u003d 61 - 25, κ.λπ.

Ονομαστικά παλίνδρομα

Τα παλίνδρομα βρίσκονται σε ορισμένα σύνολα αριθμών που έχουν τα δικά τους ονόματα: αριθμός Fibonacci, αριθμός Smith, Repdigit, Repunit.

Αριθμοί Fibonacciονομάστε τα στοιχεία μιας ακολουθίας. Σε αυτό, κάθε επόμενος αριθμός της σειράς προκύπτει αθροίζοντας τους δύο προηγούμενους αριθμούς.

Παράδειγμα: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Αριθμός Smith Ένας σύνθετος αριθμός του οποίου το άθροισμα των ψηφίων είναι ίσο με το άθροισμα των ψηφίων των πρώτων διαιρετών του.

Παράδειγμα: 202=2+0+2=4

Repdigit είναι ένας φυσικός αριθμός στον οποίο όλα τα ψηφία είναι ίδια.

Επανατιμωρήστε - ένας φυσικός αριθμός γραμμένος μόνο με μονάδες

Αριθμητικός κατασκευαστής

Από απλούς παλίνδρομους αριθμούς, τοποθετώντας τους με συγκεκριμένο τρόπο, ας πούμε γραμμή προς γραμμή, μπορείτε να φτιάξετε συμμετρικά σχήματα που διαφέρουν στο αρχικό μοτίβο επαναλαμβανόμενων αριθμών.

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένας όμορφος συνδυασμός απλών παλίνδρομων γραμμένοι χρησιμοποιώντας το 1 και το 3 (Εικ. 1). Η ιδιαιτερότητα αυτού του αριθμητικού τριγώνου είναι ότι το ίδιο θραύσμα επαναλαμβάνεται τρεις φορές χωρίς να σπάσει τη συμμετρία του σχεδίου.

Ρύζι. ένας

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο συνολικός αριθμός σειρών και στηλών είναι πρώτος αριθμός (17). Επιπλέον, πρώτοι αριθμοί και αθροίσματα ψηφίων: θραύσματα που επισημαίνονται με κόκκινο (17). κάθε γραμμή εκτός από την πρώτη (5, 11, 17, 19, 23). την τρίτη, την πέμπτη, την έβδομη και την ένατη στήλη (7, 11) και τη «σκάλα» των μονάδων που σχηματίζουν τις πλευρές του τριγώνου (11). Τέλος, αν κινηθούμε παράλληλα στις υποδεικνυόμενες «πλευρές» και προσθέσουμε ξεχωριστά τους αριθμούς της τρίτης και της πέμπτης σειράς (Εικ. 2), θα έχουμε δύο ακόμη πρώτους αριθμούς (17, 5).

Ρύζι. 2

Συνεχίζοντας την κατασκευή, είναι δυνατή η κατασκευή πιο σύνθετων σχημάτων με βάση αυτό το τρίγωνο. Έτσι, ένα ακόμη τρίγωνο με παρόμοιες ιδιότητες μπορεί εύκολα να ληφθεί μετακινώντας από το τέλος, δηλαδή ξεκινώντας από τον τελευταίο αριθμό, διαγράφοντας δύο πανομοιότυπους συμμετρικά τοποθετημένους αριθμούς σε κάθε βήμα και αναδιατάσσοντας ή αντικαθιστώντας άλλους - 3 επί 1 και αντίστροφα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ίδιοι οι αριθμοί θα πρέπει να επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε ο αριθμός που προκύπτει να αποδειχθεί πρώτος. Συνδυάζοντας και τα δύο σχήματα, παίρνουμε έναν ρόμβο με ένα χαρακτηριστικό σχέδιο αριθμών, που κρύβει πολλούς πρώτους αριθμούς (Εικ. 3). Συγκεκριμένα, το άθροισμα των ψηφίων που επισημαίνονται με κόκκινο είναι 37.

Ρύζι. 3

Μπορείτε επίσης να φτιάξετε πολυγωνικά σχήματα από αριθμούς που έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες. Έστω ότι απαιτείται η κατασκευή ενός σχήματος από απλά παλίνδρομα γραμμένα με 1 και 3, καθένα από τα οποία έχει ακραία ψηφία - ένα, και το άθροισμα όλων των ψηφίων και ο συνολικός αριθμός των μονάδων στη γραμμή είναι πρώτοι αριθμοί (η εξαίρεση είναι ένας -ψηφίο παλίνδρομο). Επιπλέον, ένας πρώτος αριθμός πρέπει να είναι ο συνολικός αριθμός των γραμμών, καθώς και τα ψηφία 1 ή 3, που εμφανίζονται στην εγγραφή.

Στο σχ. Το 4 δείχνει μια από τις λύσεις στο πρόβλημα - ένα "σπίτι" κατασκευασμένο από 11 διαφορετικά παλίνδρομα.

Ρύζι. τέσσερις

Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να περιοριστείτε σε δύο ψηφία και να απαιτήσετε την παρουσία όλων των υποδεικνυόμενων ψηφίων στην εγγραφή κάθε χρησιμοποιούμενου αριθμού. Μάλλον, αντίθετα: άλλωστε, είναι οι ασυνήθιστοι συνδυασμοί τους που δίνουν πρωτοτυπία στο μοτίβο της φιγούρας. Προς υποστήριξη αυτού, δίνουμε αρκετά παραδείγματα όμορφων παλινδρομικών εξαρτήσεων (Εικ. 5−7).

Ρύζι. 5

Ρύζι. 6

Ρύζι. 7

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Στη δουλειά μου θεωρούσα αριθμούς - παλίνδρομα, τύπους - παλίνδρομα για το άθροισμα των τριψήφιων αριθμών και τη διαφορά των διψήφιων αριθμών και μπόρεσα να τους αποδείξω. Γνώρισα καταπληκτικούς φυσικούς αριθμούς: παλίνδρομους και αναπήδηση. Όλοι τους οφείλουν τις ιδιότητές τους στους πρώτους αριθμούς..
Διαισθητικά, έφτιαξα τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ν-ψήφιων αριθμών, το γινόμενο και το πηλίκο των διψήφιων αριθμών.

Στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού έχουμε:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 κ.λπ.

Το γινόμενο των πρώτων ψηφίων είναι ίσο με το γινόμενο των δεύτερων ψηφίων τους x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Για τη διαίρεση, έχουμε τα ακόλουθα παραδείγματα:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23 κ.λπ.

Δεν μπόρεσα ακόμη να αποδείξω αυτές τις δηλώσεις, αλλά πιστεύω ότι θα μπορέσω να το κάνω στο μέλλον.

Στη βιβλιογραφία, μπόρεσα να βρω τύπους - παλίνδρομα πολλαπλασιασμού πολυτιμών αριθμών

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Έχω πετύχει τους στόχους μου. Εξέτασε τους αριθμούς - παλίνδρομα και τους κατέγραψε με γενικό τρόπο. Έδωσε παραδείγματα και απέδειξε τύπους – παλινδρομικά για πρόσθεση και αφαίρεση διψήφιων αριθμών. Εντόπισα μια σειρά από ζητήματα στα οποία πρέπει ακόμα να δουλέψω και να εξερευνήσω τύπους - παλίνδρομους. Έτσι, επιβεβαίωσα την υπόθεση ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι μέρος των αριθμών που απαρτίζουν όλους τους φυσικούς αριθμούς. Εξετάζοντας το σύνολο των πρώτων, μπορεί κανείς να αποκτήσει εκπληκτικά αριθμητικά σύνολα με τις εξαιρετικές τους ιδιότητες.

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε:

Διατύπωση.Δίνεται τετραψήφιος αριθμός. Ελέγξτε αν πρόκειται για παλίνδρομο. Σημείωση: Το παλίνδρομο είναι ένας αριθμός, λέξη ή κείμενο που διαβάζει το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Για παράδειγμα, στην περίπτωσή μας, αυτοί είναι οι αριθμοί 1441, 5555, 7117 κ.λπ.

Παραδείγματα άλλων παλίνδρομων αριθμών αυθαίρετης δεκαδικής χωρητικότητας, που δεν σχετίζονται με το πρόβλημα που επιλύεται: 3, 787, 11, 91519, κ.λπ.

Λύση.Για να εισάγουμε έναν αριθμό από το πληκτρολόγιο, θα χρησιμοποιήσουμε μια μεταβλητή n. Ο αριθμός εισόδου ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών και έχει τέσσερα ψηφία, άρα σίγουρα είναι μεγαλύτερος από 255, άρα ο τύπος ψηφιόλεξηδεν είναι κατάλληλο για την περιγραφή μας. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο λέξη.

Ποιες είναι οι ιδιότητες των παλινδρομικών αριθμών; Από αυτά τα παραδείγματα, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι, λόγω της πανομοιότυπης «αναγνωσιμότητας» τους και στις δύο πλευρές, το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο, το δεύτερο και το προτελευταίο και ούτω καθεξής μέχρι τη μέση είναι ίσα. Επιπλέον, εάν ο αριθμός έχει περιττό αριθμό ψηφίων, τότε το μεσαίο ψηφίο μπορεί να αγνοηθεί κατά τον έλεγχο, αφού όταν ακολουθείται ο παραπάνω κανόνας, ο αριθμός είναι παλίνδρομο, ανεξάρτητα από την τιμή του.

Στο πρόβλημά μας, όλα είναι ακόμη κάπως πιο απλά, αφού ένας τετραψήφιος αριθμός τροφοδοτείται στην είσοδο. Και αυτό σημαίνει ότι για να λύσουμε το πρόβλημα, χρειάζεται μόνο να συγκρίνουμε το 1ο ψηφίο του αριθμού με το 4ο και το 2ο ψηφίο με το 3ο. Εάν και οι δύο αυτές ισότητες ισχύουν, τότε ο αριθμός είναι παλίνδρομος. Απομένει μόνο να λάβουμε τα αντίστοιχα ψηφία του αριθμού σε ξεχωριστές μεταβλητές και, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας έναν τελεστή υπό όρους, ελέγξτε την εκπλήρωση και των δύο ισοτήτων χρησιμοποιώντας μια Boolean (λογική) έκφραση.

Ωστόσο, μην βιαστείτε να πάρετε μια απόφαση. Ίσως μπορούμε να απλοποιήσουμε το συμπερασματικό κύκλωμα; Πάρτε, για παράδειγμα, τον αριθμό 1441 που ήδη αναφέρθηκε παραπάνω. Τι θα συμβεί αν τον χωρίσουμε σε δύο αριθμούς διψήφιων αριθμών, ο πρώτος από τους οποίους θα περιέχει τις χιλιάδες και τις εκατοντάδες του πρωτοτύπου και ο δεύτερος θα περιέχει τις δεκάδες και αυτά του πρωτότυπου. Θα πάρουμε τους αριθμούς 14 και 41. Τώρα, αν ο δεύτερος αριθμός αντικατασταθεί από την αντίστροφη σημείωση (το κάναμε στο εργασία 5), τότε παίρνουμε δύο ίσους αριθμούς 14 και 14! Αυτός ο μετασχηματισμός είναι αρκετά προφανής, επειδή λόγω του γεγονότος ότι το παλίνδρομο διαβάζεται το ίδιο και στις δύο κατευθύνσεις, αποτελείται από έναν διπλά επαναλαμβανόμενο συνδυασμό αριθμών και ένα από τα αντίγραφα απλώς γυρίζει εμπρός και πίσω.

Εξ ου και το συμπέρασμα: πρέπει να χωρίσετε τον αρχικό αριθμό σε δύο διψήφιους, να αντιστρέψετε έναν από αυτούς και στη συνέχεια να συγκρίνετε τους αριθμούς που προκύπτουν χρησιμοποιώντας έναν τελεστή υπό όρους αν. Παρεμπιπτόντως, για να λάβουμε την αντίστροφη εγγραφή του δεύτερου μισού του αριθμού, πρέπει να δημιουργήσουμε δύο ακόμη μεταβλητές για να αποθηκεύσουμε τα bit που χρησιμοποιήθηκαν. Ας τους χαρακτηρίσουμε ως ένακαι σι, και θα είναι σαν ψηφιόλεξη.

Τώρα ας περιγράψουμε τον ίδιο τον αλγόριθμο:

1) Εισαγάγετε έναν αριθμό n;

2) Εκχωρήστε το ψηφίο των μονάδων του αριθμού nμεταβλητός ένα, μετά πετάξτε το. Αφού αντιστοιχίσετε το ψηφίο των δεκάδων nμεταβλητός σικαι επίσης πετάξτε το:

3) Εκχώρηση σε μια μεταβλητή έναένας αριθμός που είναι το αντίστροφο της τιμής που είναι αποθηκευμένη στις μεταβλητές ένακαι σιδεύτερο μέρος του αρχικού αριθμού nσύμφωνα με τον ήδη γνωστό τύπο:

4) Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το τεστ δυαδικής έκφρασης για την ισότητα των ληφθέντων αριθμών nκαι έναβοήθεια χειριστή ανκαι οργανώστε την έξοδο της απάντησης χρησιμοποιώντας κλάδους:

if n = a τότε writeln('Ναι') else writeln('Όχι');

Δεδομένου ότι η συνθήκη του προβλήματος δεν λέει ρητά σε ποια μορφή θα πρέπει να εμφανίζεται η απάντηση, θα θεωρήσουμε λογικό να την εμφανίσουμε σε ένα επίπεδο που είναι διαισθητικά κατανοητό από τον χρήστη, διαθέσιμο στα μέσα της ίδιας της γλώσσας. Πασκάλ. Θυμηθείτε ότι χρησιμοποιώντας τον χειριστή γράφω (εγγραφη) μπορείτε να εμφανίσετε το αποτέλεσμα μιας έκφρασης τύπου Boole, και εάν αυτή η έκφραση είναι αληθής, θα εμφανιστεί η λέξη "TRUE" ("true" στα αγγλικά σημαίνει "true"), εάν είναι λάθος - η λέξη " FALSE' ("ψευδές" στα αγγλικά σημαίνει "ψεύτικο"). Στη συνέχεια η προηγούμενη κατασκευή με ανμπορεί να αντικατασταθεί από

πρόγραμμα PalindromeNum;
n:word;
α, β: bytes;
να αρχίσει
readln(n);
a:= n mod 10;
n:= n div 10;
b:= n mod 10;
n:= n div 10;
a:= 10 * a + b;
writeln(n = a)

Νατάλια Καρπουσίνα.

ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ

Ένα αριθμητικό παλίνδρομο είναι ένας φυσικός αριθμός που διαβάζει το ίδιο από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά. Διαφέρει δηλαδή ως προς τη συμμετρία της εγγραφής (τη διάταξη των αριθμών) και ο αριθμός των χαρακτήρων μπορεί να είναι είτε ζυγός είτε μονός. Τα παλίνδρομα βρίσκονται σε ορισμένα σύνολα αριθμών, με τα δικά τους ονόματα: μεταξύ των αριθμών Fibonacci - 8, 55 (6ο και 10ο μέλος της ακολουθίας με το ίδιο όνομα). σγουροί αριθμοί - 676, 1001 (τετράγωνο και πενταγωνικό, αντίστοιχα). Αριθμοί Smith - 45454, 983389. Κάθε repψηφίο έχει επίσης αυτήν την ιδιότητα, για παράδειγμα 2222222 και, ειδικότερα, repunit.

Ένα παλίνδρομο μπορεί να ληφθεί ως αποτέλεσμα πράξεων σε άλλους αριθμούς. Έτσι, στο βιβλίο "Υπάρχει μια ιδέα!" Ο γνωστός εκλαϊκευτής της επιστήμης Μάρτιν Γκάρντνερ αναφέρει την «υπόθεση του παλινδρόμου» σε σχέση με αυτό το πρόβλημα. Πάρτε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό και προσθέστε τον στον αντίστροφο αριθμό, δηλαδή γραμμένο με τα ίδια ψηφία, αλλά με αντίστροφη σειρά. Ας κάνουμε την ίδια ενέργεια με το άθροισμα που προκύπτει και ας το επαναλάβουμε μέχρι να σχηματιστεί ένα παλινδρομο. Μερικές φορές αρκεί μόνο ένα βήμα (για παράδειγμα, 312 + 213 = 525), αλλά συνήθως απαιτούνται τουλάχιστον δύο. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός 96 δημιουργεί το παλίνδρομο 4884 μόνο στο τέταρτο βήμα. Πράγματι:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Και η ουσία της υπόθεσης είναι ότι, λαμβάνοντας οποιονδήποτε αριθμό, μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό ενεργειών, θα έχουμε σίγουρα ένα παλινδρομο.

Είναι δυνατόν να εξεταστούν όχι μόνο η προσθήκη, αλλά και άλλες λειτουργίες, συμπεριλαμβανομένης της εκθέσεως και της εξαγωγής ριζών. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα για το πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία άλλων παλίνδρομων:

ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει κυρίως σύνθετους αριθμούς. Τώρα ας δούμε τους πρώτους αριθμούς. Στο άπειρο σύνολο τους, υπάρχουν πολλά περίεργα δείγματα, ακόμη και ολόκληρες οικογένειες παλίνδρομων. Μόνο μεταξύ των πρώτων εκατό εκατομμυρίων φυσικών αριθμών υπάρχουν 781 απλοί παλίνδρομοι και είκοσι πέφτουν στην πρώτη χίλια, εκ των οποίων οι τέσσερις είναι μονοψήφιοι - 2, 3, 5, 7 και μόνο ένας διψήφιος - 11. Πολλά συνδέονται με τέτοιους αριθμούς. ενδιαφέροντα γεγονότακαι όμορφα σχέδια.

Πρώτον, υπάρχει ένα απλό παλίνδρομο με Ζυγός αριθμόςψηφία - 11. Με άλλα λόγια, ένα αυθαίρετο παλίνδρομο με ζυγό αριθμό ψηφίων μεγαλύτερο από δύο είναι ένας σύνθετος αριθμός, ο οποίος είναι εύκολο να αποδειχθεί με βάση το κριτήριο της διαιρετότητας με το 11.

Δεύτερον, το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο οποιουδήποτε απλού παλίνδρομου μπορεί να είναι μόνο 1, 3, 7 ή 9. Αυτό προκύπτει από τα γνωστά κριτήρια διαιρετότητας με το 2 και το 5. Είναι περίεργο ότι όλοι οι απλοί διψήφιοι αριθμοί γράφονται χρησιμοποιώντας τα αναγραφόμενα ψηφία (με εξαίρεση το 19), μπορούν να χωριστούν σε ζεύγη αριθμών-«μεταβλητοί» (αμοιβαία ανεστραμμένοι αριθμοί) της μορφής και , όπου οι αριθμοί a και b είναι διαφορετικοί. Κάθε ένα από αυτά, ανεξάρτητα από το ποιος αριθμός έρχεται πρώτος, διαβάζεται με τον ίδιο τρόπο από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά:

13 και 31, 17 και 71,

37 και 73, 79 και 97.

Κοιτάζοντας τον πίνακα των πρώτων αριθμών, θα βρούμε παρόμοια ζεύγη, στην εγγραφή των οποίων υπάρχουν άλλοι αριθμοί, συγκεκριμένα, μεταξύ των τριψήφιων αριθμών τέτοιων ζευγών, θα υπάρχουν δεκατέσσερα τέτοια ζεύγη.

Επιπλέον, μεταξύ των απλών τριψήφιων παλίνδρομων, υπάρχουν ζεύγη αριθμών στα οποία το μεσαίο ψηφίο διαφέρει μόνο κατά 1:

18 1 και 1 9 1, 37 3 και 3 8 3,

78 7 και 7 9 7, 91 9 και 9 2 9.

Μια παρόμοια εικόνα παρατηρείται για μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς, για παράδειγμα:

948 49 και 94 9 49,

1177 711 και 117 8 711.

Οι απλοί παλίνδρομοι αριθμοί μπορούν να «προσδιοριστούν» με διάφορους συμμετρικούς τύπους που αντικατοπτρίζουν τα χαρακτηριστικά της σημειογραφίας τους. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο παράδειγμα των πενταψήφιων αριθμών:

Παρεμπιπτόντως, απλοί πολυψήφιοι αριθμοί της φόρμας βρίσκονται προφανώς μόνο μεταξύ των repunits. Υπάρχουν πέντε τέτοιοι αριθμοί. Είναι αξιοσημείωτο ότι για καθένα από αυτά ο αριθμός των ψηφίων εκφράζεται σε πρώτο αριθμό: 2, 19, 23, 317, 1031. Αλλά μεταξύ των πρώτων αριθμών, στους οποίους όλα τα ψηφία εκτός από το κεντρικό, ένα παλινδρομο ενός πολύ βρέθηκε εντυπωσιακό μήκος - έχει 1749 ψηφία:

Γενικά, ανάμεσα στους πρώτους αριθμούς-παλίνδρομα, υπάρχουν καταπληκτικά δείγματα. Εδώ είναι μόνο ένα παράδειγμα - ο γίγαντας των αριθμών

Και είναι ενδιαφέρον γιατί περιέχει 11.811 ψηφία, τα οποία μπορούν να χωριστούν σε τρεις παλυδρομικές ομάδες, και σε κάθε ομάδα ο αριθμός των ψηφίων εκφράζεται ως πρώτος αριθμός (5903 ή 5).

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΖΕΥΓΑΡΙΑ

Περίεργα παλινδρομικά μοτίβα παρατηρούνται επίσης σε ομάδες πρώτων αριθμών, στην καταγραφή των οποίων υπάρχουν ορισμένοι αριθμοί. Ας πούμε, μόνο τους αριθμούς 1 και 3, και σε κάθε αριθμό. Έτσι, οι διψήφιοι πρώτοι αριθμοί αποτελούν τα διατεταγμένα ζεύγη 13 - 31 και 31 - 13, από έξι τριψήφιους πρώτους αριθμούς, πέντε αριθμούς ταυτόχρονα, μεταξύ των οποίων υπάρχουν δύο παλίνδρομα: 131 και 313, και δύο ακόμη αριθμοί σχηματίζουν ζεύγη των "μεταβολών" 311 - 113 και 113 - 311 Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, τα ζεύγη που αποτελούνται απεικονίζονται οπτικά με τη μορφή αριθμητικών τετραγώνων (Εικ. 1).

Ρύζι. ένας

Με τις ιδιότητές τους θυμίζουν μαγικά και λατινικά τετράγωνα. Για παράδειγμα, στο μεσαίο τετράγωνο, το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά και σε κάθε στήλη είναι 444, στις διαγώνιες - 262 και 626. Προσθέτοντας τους αριθμούς από όλα τα κελιά, παίρνουμε 888. Και, χαρακτηριστικά, κάθε άθροισμα είναι ένα παλίνδρομο. Ακόμη και όταν γράφουμε πολλούς αριθμούς από έναν πίνακα χωρίς κενό, παίρνουμε νέα παλίνδρομα: 3113, 131313131, κ.λπ. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να γίνει με αυτόν τον τρόπο; Θα είναι παλίνδρομο;

Εάν προστεθεί 131 ή 313 σε καθένα από τα ζεύγη 311 - 113 και 113 - 311, σχηματίζονται τέσσερις παλινδρομικές τρίδυμες. Ας γράψουμε ένα από αυτά σε μια στήλη:

Όπως μπορείτε να δείτε, τόσο οι ίδιοι οι αριθμοί όσο και ο επιθυμητός συνδυασμός τους γίνονται αισθητοί όταν διαβάζονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Επιπλέον, η διάταξη των αριθμών είναι συμμετρική και το άθροισμά τους σε κάθε σειρά, κάθε στήλη και μία από τις διαγώνιες εκφράζεται ως πρώτος αριθμός - 5.

Πρέπει να πω ότι οι εξεταζόμενοι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες από μόνοι τους. Για παράδειγμα, το παλίνδρομο 131 είναι ένας απλός κυκλικός αριθμός: με τυχόν διαδοχικές μεταθέσεις του πρώτου ψηφίου στην τελευταία θέση, δημιουργεί τους πρώτους αριθμούς 311 και 113. Μπορείτε να ονομάσετε άλλα απλά παλίνδρομα που έχουν την ίδια ιδιότητα;

Αλλά τα ζεύγη αριθμών-«μετατοπιστές» 13 - 31 και 113 - 311, όταν είναι τετράγωνα, δίνουν επίσης ζεύγη «μετατόπισης»: 169 - 961 και 12769 - 96721. Είναι περίεργο ότι ακόμη και τα αθροίσματα των αριθμών τους αποδείχτηκαν συνδέονται με δύσκολο τρόπο:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Προσθέτουμε ότι μεταξύ των φυσικών αριθμών υπάρχουν και άλλα ζεύγη «μετατοπιστών» με παρόμοια ιδιότητα: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 κ.λπ. Τι εξηγεί την παρατηρούμενη κανονικότητα; Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, πρέπει να καταλάβετε τι είναι ιδιαίτερο για την καταγραφή αυτών των αριθμών, ποιοι αριθμοί και σε ποια ποσότητα μπορεί να υπάρχουν σε αυτήν.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤ

Εδώ, για παράδειγμα, είναι ένας όμορφος συνδυασμός απλών παλίνδρομων γραμμένοι χρησιμοποιώντας το 1 και το 3 (εκτός από το πρώτο, Εικ. 2). Η ιδιαιτερότητα αυτού του αριθμητικού τριγώνου είναι ότι το ίδιο θραύσμα επαναλαμβάνεται τρεις φορές χωρίς να σπάσει τη συμμετρία του σχεδίου.

Ρύζι. 2

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο συνολικός αριθμός σειρών και στηλών είναι πρώτος αριθμός (17). Επιπλέον, πρώτοι αριθμοί και αθροίσματα ψηφίων: θραύσματα που επισημαίνονται με κόκκινο (17). κάθε γραμμή εκτός από την πρώτη (5, 11, 17, 19, 23). την τρίτη, την πέμπτη, την έβδομη και την ένατη στήλη (7, 11) και τη «σκάλα» των μονάδων που σχηματίζουν τις πλευρές του τριγώνου (11). Τέλος, αν κινηθούμε παράλληλα στις υποδεικνυόμενες «πλευρές» και προσθέσουμε ξεχωριστά τους αριθμούς της τρίτης και της πέμπτης σειράς (Εικ. 3), θα έχουμε δύο ακόμη πρώτους αριθμούς (17, 5).

Ρύζι. 3

Συνεχίζοντας την κατασκευή, είναι δυνατή η κατασκευή πιο σύνθετων σχημάτων με βάση αυτό το τρίγωνο. Έτσι, ένα ακόμη τρίγωνο με παρόμοιες ιδιότητες μπορεί εύκολα να ληφθεί μετακινώντας από το τέλος, δηλαδή ξεκινώντας από τον τελευταίο αριθμό, διαγράφοντας δύο πανομοιότυπους συμμετρικά τοποθετημένους αριθμούς σε κάθε βήμα και αναδιατάσσοντας ή αντικαθιστώντας άλλους - 3 επί 1 και αντίστροφα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ίδιοι οι αριθμοί θα πρέπει να επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε ο αριθμός που προκύπτει να αποδειχθεί πρώτος. Συνδυάζοντας και τα δύο σχήματα, παίρνουμε έναν ρόμβο με ένα χαρακτηριστικό σχέδιο αριθμών, που κρύβει πολλούς πρώτους αριθμούς (Εικ. 4). Συγκεκριμένα, το άθροισμα των ψηφίων που επισημαίνονται με κόκκινο είναι 37.

Ρύζι. τέσσερις

Ένα άλλο παράδειγμα είναι ένα τρίγωνο που λαμβάνεται από το αρχικό μετά την προσθήκη έξι απλών παλίνδρομων σε αυτό (Εικ. 5). Η φιγούρα προσελκύει αμέσως την προσοχή με το κομψό πλαίσιο των μονάδων της. Οριοθετείται από δύο απλές επαναλήψεις του ίδιου μήκους: 23 μονάδες αποτελούν τη «βάση» και τον ίδιο αριθμό - τις «πλευρές» του τριγώνου.

Ρύζι. 5

Λίγες φιγούρες ακόμα

Στο σχ. Το 6 δείχνει μια από τις λύσεις στο πρόβλημα - ένα "σπίτι" κατασκευασμένο από 11 διαφορετικά παλίνδρομα.

Ρύζι. 6

Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να περιοριστείτε σε δύο ψηφία και να απαιτήσετε την παρουσία όλων των υποδεικνυόμενων ψηφίων στην εγγραφή κάθε χρησιμοποιούμενου αριθμού. Μάλλον, αντίθετα: άλλωστε, είναι οι ασυνήθιστοι συνδυασμοί τους που δίνουν πρωτοτυπία στο μοτίβο της φιγούρας. Προς υποστήριξη αυτού, δίνουμε πολλά παραδείγματα όμορφων παλινδρομικών εξαρτήσεων (Εικ. 7−9).

Ρύζι. 7

Ρύζι. οκτώ

Ρύζι. 9

Τώρα, οπλισμένοι με έναν πίνακα πρώτων αριθμών, εσείς οι ίδιοι θα κατασκευάσετε σχήματα σαν αυτά που προτείνουμε εμείς.

Και τέλος, μια ακόμη περιέργεια - ένα τρίγωνο, κυριολεκτικά τρυπημένο κατά μήκος και κατά μήκος με παλίνδρομα (Εικ. 10). Έχει 11 σειρές πρώτων αριθμών και οι στήλες σχηματίζονται από επαναψηφία. Και το πιο σημαντικό: το παλίνδρομο 193111111323111111391 που οριοθετεί τη φιγούρα από τα πλάγια είναι πρώτος αριθμός!

Πηγή Quest: Απόφαση 4954. ΧΡΗΣΗ 2016 Μαθηματικά, Ι.Β. Γιασχένκο. 36 επιλογές. Απάντηση.

Εργασία 19.Ας ονομάσουμε έναν φυσικό αριθμό παλίνδρομο αν όλα τα ψηφία του δεκαδικού συμβολισμού του είναι συμμετρικά (το πρώτο και το τελευταίο ψηφίο, το δεύτερο και το προτελευταίο κ.λπ. ταιριάζουν). Για παράδειγμα, οι αριθμοί 121 και 953359 είναι παλίνδρομοι, αλλά οι αριθμοί 10 και 953953 δεν είναι παλίνδρομοι.

α) Δώστε ένα παράδειγμα παλίνδρομου αριθμού που διαιρείται με το 45.

β) Πόσα πενταψήφια παλίνδρομα υπάρχουν που διαιρούνται με το 45;

γ) Να βρείτε τον δέκατο μεγαλύτερο παλινδρομικό αριθμό που διαιρείται με το 45.

Λύση.

α) Η απλούστερη επιλογή θα ήταν ο αριθμός παλίνδρομου 5445, ο οποίος διαιρείται με το 45.

Απάντηση: 5445.

β) Αποσυνθέτουμε τον αριθμό 45 σε πρώτους παράγοντες, παίρνουμε

δηλαδή ο αριθμός πρέπει να διαιρείται και με το 5 και με το 9. Σημάδι του πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με το 5 είναι η παρουσία του αριθμού 5 στο τέλος του αριθμού (ο αριθμός 0 δεν λαμβάνεται υπόψη, γιατί δεν ταιριάζει). Παίρνουμε έναν παλινδρομικό αριθμό με τη μορφή 5aba5, όπου a,b είναι τα ψηφία του αριθμού. Ένα σημάδι ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 9 είναι ότι το άθροισμα των ψηφίων

πρέπει να διαιρείται με το 9. Από αυτή τη συνθήκη έχουμε:

Για b=0: ;