Αριθμητική τιμή(σαφής "πι") είναι μια μαθηματική σταθερά ίση με την αναλογία

Συμβολίζεται με το γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου «πι». παλιό όνομα - Αριθμός Λούντολφ.

Με τι ισούται το pi;Σε απλές περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζετε τους 3 πρώτους χαρακτήρες (3.14). Αλλά για περισσότερα

περίπλοκες περιπτώσεις και όπου απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, είναι απαραίτητο να γνωρίζετε περισσότερα από 3 ψηφία.

Τι είναι το pi; Τα πρώτα 1000 δεκαδικά ψηφία του pi είναι:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

Υπό κανονικές συνθήκες, η κατά προσέγγιση τιμή του pi μπορεί να υπολογιστεί ακολουθώντας τα σημεία:

παρακάτω:

1. Πάρτε έναν κύκλο, τυλίξτε το νήμα γύρω από την άκρη του μία φορά.
2. Μετράμε το μήκος του νήματος.
3. Μετράμε τη διάμετρο του κύκλου.
4. Διαιρέστε το μήκος του νήματος με το μήκος της διαμέτρου. Πήραμε τον αριθμό pi.

Ιδιότητες Pi.

• πι- παράλογος αριθμός, δηλ. η τιμή του pi δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς στη μορφή

κλάσματα m/n, όπου Μκαι nείναι ακέραιοι. Αυτό δείχνει ότι η δεκαδική παράσταση

Το pi δεν τελειώνει ποτέ και δεν είναι περιοδικό.

• πιείναι ένας υπερβατικός αριθμός, δηλ. δεν μπορεί να είναι ρίζα οποιουδήποτε πολυωνύμου με ακέραιους αριθμούς

συντελεστές. Το 1882, ο καθηγητής Königsberg απέδειξε την υπέρβαση πι, ένα

αργότερα, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου Lindemann. Η απόδειξη απλοποιημένη

Felix Klein το 1894.

• αφού στην Ευκλείδεια γεωμετρία το εμβαδόν ενός κύκλου και η περιφέρεια ενός κύκλου είναι συναρτήσεις του pi,

τότε η απόδειξη της υπέρβασης του π έβαλε τέλος στη διαμάχη για τον τετραγωνισμό του κύκλου, η οποία διήρκεσε περισσότερο από

2,5 χιλιάδες χρόνια.

• πιείναι ένα στοιχείο του δακτυλίου τελείας (δηλαδή ένας υπολογίσιμος και αριθμητικός αριθμός).

Κανείς όμως δεν ξέρει αν ανήκει στο ρινγκ των περιόδων.

τύπος Pi.

• Φρανσουά Βιέτ:

• Φόρμουλα Wallis:

• Σειρά Leibniz:

• Άλλες σειρές:

Ποιος είναι ο αριθμός piξέρουμε και θυμόμαστε από το σχολείο. Είναι ίσο με 3,1415926 και ούτω καθεξής... Σε έναν απλό άνθρωποαρκεί να γνωρίζουμε ότι ο αριθμός αυτός προκύπτει διαιρώντας την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του. Αλλά πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν ότι ο αριθμός Pi εμφανίζεται σε απροσδόκητες περιοχές όχι μόνο στα μαθηματικά και τη γεωμετρία, αλλά και στη φυσική. Λοιπόν, αν εμβαθύνετε στις λεπτομέρειες της φύσης αυτού του αριθμού, μπορείτε να δείτε πολλές εκπλήξεις ανάμεσα στις ατελείωτες σειρές αριθμών. Είναι δυνατόν ο Πι να κρύβει τα πιο βαθιά μυστικά του σύμπαντος;

Άπειρος αριθμός

Ο ίδιος ο αριθμός Pi προκύπτει στον κόσμο μας ως το μήκος ενός κύκλου, η διάμετρος του οποίου είναι ίση με ένα. Όμως, παρά το γεγονός ότι το τμήμα ίσο με το Pi είναι αρκετά πεπερασμένο, ο αριθμός Pi ξεκινάει όπως το 3,1415926 και πηγαίνει στο άπειρο σε σειρές αριθμών που δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Ο πρώτος καταπληκτικό γεγονόςείναι ότι αυτός ο αριθμός, που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία, δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα ακέραιων αριθμών. Με άλλα λόγια, δεν μπορείτε να το γράψετε ως λόγο δύο αριθμών a/b. Επιπλέον, ο αριθμός Pi είναι υπερβατικός. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει τέτοια εξίσωση (πολυώνυμο) με ακέραιους συντελεστές, η λύση της οποίας θα ήταν το Pi.

Το γεγονός ότι ο αριθμός Πι είναι υπερβατικό απέδειξε το 1882 ο Γερμανός μαθηματικός von Lindemann. Ήταν αυτή η απόδειξη που έγινε η απάντηση στο ερώτημα αν είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο με πυξίδα και χάρακα, του οποίου η περιοχή είναι ίση με την περιοχή ενός δεδομένου κύκλου. Αυτό το πρόβλημα είναι γνωστό ως αναζήτηση του τετραγωνισμού ενός κύκλου, που προβληματίζει την ανθρωπότητα από την αρχαιότητα. Φαινόταν ότι αυτό το πρόβλημα είχε μια απλή λύση και επρόκειτο να αποκαλυφθεί. Ήταν όμως μια ακατανόητη ιδιότητα του pi που έδειχνε ότι το πρόβλημα του τετραγωνισμού ενός κύκλου δεν έχει λύση.

Για τουλάχιστον τεσσεράμισι χιλιετίες, η ανθρωπότητα προσπαθεί να πάρει μια ολοένα και πιο ακριβή τιμή του pi. Για παράδειγμα, στη Βίβλο στο 1ο Βιβλίο των Βασιλέων (7:23), ο αριθμός pi λαμβάνεται ίσος με 3.

Αξιοσημείωτη σε ακρίβεια, η τιμή του Pi μπορεί να βρεθεί στις πυραμίδες της Γκίζας: ο λόγος της περιμέτρου και του ύψους των πυραμίδων είναι 22/7. Αυτό το κλάσμα δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή του Pi, ίση με 3,142 ... Εκτός, φυσικά, αν οι Αιγύπτιοι ορίσουν μια τέτοια αναλογία τυχαία. Την ίδια τιμή ήδη σε σχέση με τον υπολογισμό του αριθμού Πι έλαβε τον ΙΙΙ αιώνα π.Χ. ο μεγάλος Αρχιμήδης.

Στον πάπυρο Ahmes, ένα αρχαίο αιγυπτιακό εγχειρίδιο μαθηματικών που χρονολογείται από το 1650 π.Χ., το Pi υπολογίζεται ως 3,160493827.

Στα αρχαία ινδικά κείμενα γύρω στον 9ο αιώνα π.Χ., η πιο ακριβής τιμή εκφραζόταν με τον αριθμό 339/108, ο οποίος ισοδυναμούσε με 3,1388 ...

Για σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Αρχιμήδη, οι άνθρωποι προσπαθούσαν να βρουν τρόπους να υπολογίσουν το pi. Ανάμεσά τους ήταν και διάσημοι και άγνωστοι μαθηματικοί. Για παράδειγμα, ο Ρωμαίος αρχιτέκτονας Mark Vitruvius Pollio, ο Αιγύπτιος αστρονόμος Claudius Ptolemy, ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hui, ο Ινδός σοφός Ariabhata, ο μεσαιωνικός μαθηματικός Leonardo της Πίζας, γνωστός ως Fibonacci, ο Άραβας επιστήμονας Al-Khwarizmi, από το όνομα του οποίου η λέξη εμφανίστηκε ο "αλγόριθμος". Όλοι αυτοί και πολλοί άλλοι άνθρωποι αναζητούσαν τις πιο ακριβείς μεθόδους για τον υπολογισμό του Pi, αλλά μέχρι τον 15ο αιώνα δεν έλαβαν ποτέ περισσότερα από 10 ψηφία μετά την υποδιαστολή λόγω της πολυπλοκότητας των υπολογισμών.

Τελικά, το 1400, ο Ινδός μαθηματικός Madhava από το Sangamagram υπολόγισε το Pi με ακρίβεια έως και 13 ψηφίων (αν και έκανε ακόμα ένα λάθος στα δύο τελευταία).

Αριθμός πινακίδων

Τον 17ο αιώνα, ο Leibniz και ο Newton ανακάλυψαν την ανάλυση των απειροελάχιστων μεγεθών, η οποία κατέστησε δυνατό τον υπολογισμό του pi πιο προοδευτικά - μέσω σειρών ισχύος και ολοκληρωμάτων. Ο ίδιος ο Newton υπολόγισε 16 δεκαδικά ψηφία, αλλά δεν το ανέφερε στα βιβλία του - αυτό έγινε γνωστό μετά το θάνατό του. Ο Νεύτωνας ισχυρίστηκε ότι υπολόγισε το Pi μόνο από πλήξη.

Την ίδια περίπου εποχή, άλλοι λιγότερο γνωστοί μαθηματικοί σηκώθηκαν επίσης, προτείνοντας νέους τύπους για τον υπολογισμό του αριθμού Pi μέσω τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Για παράδειγμα, εδώ είναι ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του Pi από τον δάσκαλο αστρονομίας John Machin το 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Χρησιμοποιώντας μεθόδους ανάλυσης, ο Machin εξήγαγε από αυτόν τον τύπο τον αριθμό Pi με εκατό δεκαδικά ψηφία.

Παρεμπιπτόντως, το ίδιο 1706, ο αριθμός Pi έλαβε επίσημη ονομασία με τη μορφή ελληνικού γράμματος: χρησιμοποιήθηκε από τον William Jones στο έργο του για τα μαθηματικά, λαμβάνοντας το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης "περιφέρεια", που σημαίνει "κύκλος". Γεννημένος το 1707, ο μεγάλος Leonhard Euler έκανε δημοφιλή αυτόν τον προσδιορισμό, ο οποίος είναι πλέον γνωστός σε κάθε μαθητή.

Πριν από την εποχή των υπολογιστών, οι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον υπολογισμό όσο το δυνατόν περισσότερων σημείων. Από αυτή την άποψη, μερικές φορές υπήρχαν περιέργειες. Ο ερασιτέχνης μαθηματικός W. Shanks υπολόγισε 707 ψηφία του pi το 1875. Αυτά τα επτακόσια σημάδια απαθανατίστηκαν στον τοίχο του Palais des Discoveries στο Παρίσι το 1937. Ωστόσο, εννέα χρόνια αργότερα, παρατηρητικοί μαθηματικοί διαπίστωσαν ότι μόνο οι πρώτοι 527 χαρακτήρες υπολογίστηκαν σωστά. Το μουσείο χρειάστηκε να κάνει αξιοπρεπή έξοδα για να διορθώσει το λάθος - τώρα όλα τα νούμερα είναι σωστά.

Όταν εμφανίστηκαν οι υπολογιστές, ο αριθμός των ψηφίων του Πι άρχισε να υπολογίζεται με εντελώς ασύλληπτες παραγγελίες.

Ένας από τους πρώτους ηλεκτρονικούς υπολογιστές ENIAC, που δημιουργήθηκε το 1946, ο οποίος ήταν τεράστιος και παρήγαγε τόση θερμότητα που το δωμάτιο θερμάνθηκε έως και 50 βαθμούς Κελσίου, υπολόγισε τα πρώτα 2037 ψηφία του Pi. Αυτός ο υπολογισμός πήρε το αυτοκίνητο 70 ώρες.

Καθώς οι υπολογιστές βελτιώθηκαν, οι γνώσεις μας για το pi πήγαιναν όλο και περισσότερο στο άπειρο. Το 1958 υπολογίστηκαν 10 χιλιάδες ψηφία του αριθμού. Το 1987, οι Ιάπωνες υπολόγισαν 10.013.395 χαρακτήρες. Το 2011, ο Ιάπωνας ερευνητής Shigeru Hondo πέρασε το όριο των 10 τρισεκατομμυρίων.

Πού αλλού μπορείτε να βρείτε το Pi;

Έτσι, συχνά οι γνώσεις μας για τον αριθμό Pi παραμένουν σε σχολικό επίπεδο και γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι αυτός ο αριθμός είναι απαραίτητος στην πρώτη θέση στη γεωμετρία.

Εκτός από τους τύπους για το μήκος και το εμβαδόν ενός κύκλου, ο αριθμός Pi χρησιμοποιείται στους τύπους για ελλείψεις, σφαίρες, κώνους, κυλίνδρους, ελλειψοειδή κ.λπ.: κάπου οι τύποι είναι απλοί και εύκολο να θυμούνται, και κάπου περιέχουν πολύ σύνθετα ολοκληρώματα.

Τότε μπορούμε να συναντήσουμε τον αριθμό Pi σε μαθηματικούς τύπους, όπου, με την πρώτη ματιά, η γεωμετρία δεν είναι ορατή. Για παράδειγμα, το αόριστο ολοκλήρωμα του 1/(1-x^2) είναι το Pi.

Το Pi χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση σειρών. Για παράδειγμα, εδώ είναι μια απλή σειρά που συγκλίνει στο pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Μεταξύ των σειρών, το pi εμφανίζεται πιο απροσδόκητα στη γνωστή συνάρτηση ζήτα Riemann. Δεν θα μπορούμε να πούμε για αυτό με λίγα λόγια, θα πούμε μόνο ότι κάποια μέρα ο αριθμός Pi θα βοηθήσει να βρεθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό των πρώτων αριθμών.

Και είναι απολύτως εκπληκτικό: το Pi εμφανίζεται σε δύο από τους πιο όμορφους «βασιλικούς» τύπους των μαθηματικών - τον τύπο Stirling (που βοηθά να βρούμε την κατά προσέγγιση τιμή του παραγοντικού και της συνάρτησης γάμμα) και τον τύπο Euler (που σχετίζεται με τόσα πέντε μαθηματικές σταθερές).

Ωστόσο, η πιο απροσδόκητη ανακάλυψη περίμενε τους μαθηματικούς στη θεωρία πιθανοτήτων. Ο Πι είναι επίσης εκεί.

Για παράδειγμα, η πιθανότητα δύο αριθμοί να είναι σχετικά πρώτοι είναι 6/PI^2.

Ο Πι εμφανίζεται στο πρόβλημα της βελόνας του 18ου αιώνα του Μπουφόν: ποια είναι η πιθανότητα μια βελόνα που πετιέται σε ένα φύλλο χαρτιού με σχέδιο να διασχίσει μια από τις γραμμές. Εάν το μήκος της βελόνας είναι L και η απόσταση μεταξύ των γραμμών είναι L και r > L, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση την τιμή του Pi χρησιμοποιώντας τον τύπο πιθανότητας 2L/rPI. Απλά φανταστείτε - μπορούμε να πάρουμε το Pi από τυχαία συμβάντα. Και με τον τρόπο που το Pi είναι παρόν στην κανονική κατανομή πιθανοτήτων, εμφανίζεται στην εξίσωση της περίφημης καμπύλης Gauss. Σημαίνει αυτό ότι το pi είναι ακόμα πιο θεμελιώδες από τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του;

Μπορούμε να συναντήσουμε τον Pi και στη φυσική. Ο Πι εμφανίζεται στο νόμο του Κουλόμπ, ο οποίος περιγράφει τη δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο φορτίων, στον τρίτο νόμο του Κέπλερ, που δείχνει την περίοδο περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, και μάλιστα εμφανίζεται στη διάταξη των τροχιακών ηλεκτρονίων ενός ατόμου υδρογόνου. Και, πάλι, το πιο απίστευτο είναι ότι ο αριθμός Πι κρύβεται στον τύπο της αρχής της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ, του θεμελιώδους νόμου της κβαντικής φυσικής.

Τα μυστικά του Πι

Στο μυθιστόρημα του Carl Sagan «Contact», που βασίζεται στην ομώνυμη ταινία, οι εξωγήινοι ενημερώνουν την ηρωίδα ότι ανάμεσα στα ζώδια του Πι υπάρχει ένα μυστικό μήνυμα από τον Θεό. Από μια συγκεκριμένη θέση, οι αριθμοί στον αριθμό παύουν να είναι τυχαίοι και αντιπροσωπεύουν έναν κωδικό στον οποίο καταγράφονται όλα τα μυστικά του Σύμπαντος.

Αυτό το μυθιστόρημα αντικατοπτρίζει στην πραγματικότητα το αίνιγμα που απασχολεί το μυαλό των μαθηματικών σε όλο τον πλανήτη: είναι ο αριθμός Pi ένας κανονικός αριθμός στον οποίο τα ψηφία είναι διάσπαρτα με την ίδια συχνότητα ή υπάρχει κάτι λάθος με αυτόν τον αριθμό. Και παρόλο που οι επιστήμονες τείνουν στην πρώτη επιλογή (αλλά δεν μπορούν να το αποδείξουν), ο Πι φαίνεται πολύ μυστηριώδης. Κάποτε ένας Ιάπωνας υπολόγισε πόσες φορές οι αριθμοί από το 0 έως το 9 εμφανίζονται στα πρώτα τρισεκατομμύρια ψηφία του pi. Και είδα ότι οι αριθμοί 2, 4 και 8 είναι πιο συνηθισμένοι από τους υπόλοιπους. Αυτό μπορεί να είναι ένας από τους υπαινιγμούς ότι το Pi δεν είναι απολύτως φυσιολογικό και οι αριθμοί σε αυτό δεν είναι πραγματικά τυχαίοι.

Ας θυμηθούμε όλα όσα διαβάσαμε παραπάνω και ας αναρωτηθούμε, ποιος άλλος παράλογος και υπερβατικός αριθμός είναι τόσο κοινός στον πραγματικό κόσμο;

Και υπάρχουν και άλλα παράξενα που επιφυλάσσουν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων είκοσι ψηφίων του Pi είναι 20 και το άθροισμα των πρώτων 144 ψηφίων είναι ίσο με τον "αριθμό του θηρίου" 666.

Κύριος χαρακτήραςΣτην αμερικανική τηλεοπτική σειρά The Suspect, ο καθηγητής Finch είπε στους μαθητές ότι, λόγω του άπειρου του pi, οποιοσδήποτε συνδυασμός αριθμών μπορεί να εμφανιστεί σε αυτό, από τους αριθμούς της ημερομηνίας γέννησής σας έως και πιο σύνθετους αριθμούς. Για παράδειγμα, στην 762η θέση υπάρχει μια ακολουθία έξι εννέα. Αυτή η θέση ονομάζεται σημείο Feynman, από τον διάσημο φυσικό που παρατήρησε αυτόν τον ενδιαφέροντα συνδυασμό.

Γνωρίζουμε επίσης ότι ο αριθμός Pi περιέχει την ακολουθία 0123456789, αλλά βρίσκεται στο 17.387.594.880ο ψηφίο.

Όλα αυτά σημαίνουν ότι στο άπειρο του αριθμού Pi μπορείτε να βρείτε όχι μόνο ενδιαφέροντες συνδυασμούς αριθμών, αλλά και το κωδικοποιημένο κείμενο του "Πόλεμος και Ειρήνη", η Βίβλος, ακόμη και το κύριο μυστικόΣύμπαν, αν υπάρχει.

Παρεμπιπτόντως, για τη Βίβλο. Ο γνωστός εκλαϊκευτής των μαθηματικών Μάρτιν Γκάρντνερ το 1966 δήλωσε ότι το εκατομμυριοστό πρόσημο του αριθμού Pi (άγνωστο ακόμα εκείνη την εποχή) θα ήταν ο αριθμός 5. Εξήγησε τους υπολογισμούς του από το γεγονός ότι στην αγγλική έκδοση της Βίβλου, στο το 3ο βιβλίο, 14ο κεφάλαιο, 16 -μ στίχος (3-14-16) η έβδομη λέξη περιέχει πέντε γράμματα. Το ποσό του εκατομμυρίου λήφθηκε οκτώ χρόνια αργότερα. Ήταν το νούμερο πέντε.

Αξίζει τον κόπο μετά από αυτό να υποστηρίξουμε ότι ο αριθμός pi είναι τυχαίος;

Οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο τρώνε ένα κομμάτι κέικ κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου - άλλωστε αυτή είναι η μέρα του Πι, του πιο διάσημου παράλογου αριθμού. Αυτή η ημερομηνία σχετίζεται άμεσα με τον αριθμό του οποίου τα πρώτα ψηφία είναι 3,14. Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Εφόσον είναι παράλογο, είναι αδύνατο να το γράψουμε ως κλάσμα. Αυτός είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός. Ανακαλύφθηκε πριν από χιλιάδες χρόνια και από τότε μελετάται συνεχώς, αλλά έχει απομείνει στον Πι κανένα μυστικό; Από την αρχαία προέλευση έως ένα αβέβαιο μέλλον, εδώ είναι μερικά από τα πιο ενδιαφέροντα γεγονότα για το pi.

Απομνημόνευση Pi

Το ρεκόρ απομνημόνευσης αριθμών μετά την υποδιαστολή ανήκει στον Rajveer Meena από την Ινδία, ο οποίος κατάφερε να θυμηθεί 70.000 ψηφία - έκανε το ρεκόρ στις 21 Μαρτίου 2015. Πριν από αυτό, ο κάτοχος του ρεκόρ ήταν ο Chao Lu από την Κίνα, ο οποίος κατάφερε να απομνημονεύσει 67.890 ψηφία - αυτό το ρεκόρ σημειώθηκε το 2005. Ο ανεπίσημος κάτοχος του ρεκόρ είναι ο Akira Haraguchi, ο οποίος βιντεοσκόπησε την επανάληψη των 100.000 ψηφίων το 2005 και πρόσφατα δημοσίευσε ένα βίντεο όπου καταφέρνει να θυμάται 117.000 ψηφία. Επίσημο ρεκόρ θα γινόταν μόνο αν αυτό το βίντεο ηχογραφήθηκε παρουσία εκπροσώπου του Βιβλίου Ρεκόρ Γκίνες και χωρίς επιβεβαίωση παραμένει μόνο ένα εντυπωσιακό γεγονός, αλλά δεν θεωρείται επίτευγμα. Οι λάτρεις των μαθηματικών λατρεύουν να απομνημονεύουν τον αριθμό Pi. Πολλοί άνθρωποι χρησιμοποιούν διάφορες μνημονικές τεχνικές, όπως η ποίηση, όπου ο αριθμός των γραμμάτων σε κάθε λέξη είναι ο ίδιος με το π. Κάθε γλώσσα έχει τις δικές της παραλλαγές τέτοιων φράσεων, οι οποίες βοηθούν να θυμάστε τόσο τα πρώτα λίγα ψηφία όσο και μια ολόκληρη εκατοντάδα.

Υπάρχει μια γλώσσα Pi

Γοητευμένοι από τη λογοτεχνία, οι μαθηματικοί επινόησαν μια διάλεκτο στην οποία ο αριθμός των γραμμάτων σε όλες τις λέξεις αντιστοιχεί στα ψηφία του Πι με ακριβή σειρά. Ο συγγραφέας Mike Keith έγραψε ακόμη και ένα βιβλίο, Not a Wake, το οποίο είναι εντελώς γραμμένο στη γλώσσα Pi. Οι λάτρεις μιας τέτοιας δημιουργικότητας γράφουν τα έργα τους σε πλήρη συμφωνία με τον αριθμό των γραμμάτων και τη σημασία των αριθμών. Αυτό δεν έχει πρακτική εφαρμογή, αλλά είναι ένα αρκετά κοινό και γνωστό φαινόμενο στους κύκλους των ενθουσιωδών επιστημόνων.

Εκθετική αύξηση

Το Pi είναι ένας άπειρος αριθμός, επομένως οι άνθρωποι, εξ ορισμού, δεν θα μπορέσουν ποτέ να καταλάβουν τους ακριβείς αριθμούς αυτού του αριθμού. Ωστόσο, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή έχει αυξηθεί πολύ από την πρώτη χρήση του Pi. Ακόμη και οι Βαβυλώνιοι το χρησιμοποιούσαν, αλλά ένα κλάσμα από τρία και ένα όγδοο ήταν αρκετό για αυτούς. Κινέζοι και δημιουργοί Παλαιά Διαθήκηκαι περιορίστηκε εντελώς σε τρεις. Μέχρι το 1665, ο Sir Isaac Newton είχε υπολογίσει 16 ψηφία του pi. Μέχρι το 1719, ο Γάλλος μαθηματικός Tom Fante de Lagny είχε υπολογίσει 127 ψηφία. Η έλευση των υπολογιστών έχει βελτιώσει ριζικά τις γνώσεις του ανθρώπου για το Pi. Από το 1949 έως το 1967 ο αριθμός γνωστό στον άνθρωποοι αριθμοί εκτοξεύτηκαν από το 2037 στις 500.000. Όχι πολύ καιρό πριν, ο Peter Trueb, ένας επιστήμονας από την Ελβετία, μπόρεσε να υπολογίσει 2,24 τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi! Αυτό κράτησε 105 ημέρες. Φυσικά, αυτό δεν είναι το όριο. Είναι πιθανό ότι με την ανάπτυξη της τεχνολογίας θα είναι δυνατό να καθοριστεί ένας ακόμη πιο ακριβής αριθμός - καθώς το Pi είναι άπειρο, απλά δεν υπάρχει όριο στην ακρίβεια και μόνο τα τεχνικά χαρακτηριστικά της τεχνολογίας υπολογιστών μπορούν να το περιορίσουν.

Υπολογισμός Pi με το χέρι

Εάν θέλετε να βρείτε μόνοι σας τον αριθμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τεχνική της παλιάς κοπής - θα χρειαστείτε χάρακα, βάζο και κορδόνι, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο και ένα μολύβι. Το μειονέκτημα της χρήσης ενός βάζου είναι ότι πρέπει να είναι στρογγυλό και η ακρίβεια θα καθοριστεί από το πόσο καλά μπορεί το άτομο να τυλίξει το σχοινί γύρω του. Είναι δυνατό να σχεδιάσετε έναν κύκλο με ένα μοιρογνωμόνιο, αλλά αυτό απαιτεί επίσης επιδεξιότητα και ακρίβεια, καθώς ένας ανομοιόμορφος κύκλος μπορεί να παραμορφώσει σοβαρά τις μετρήσεις σας. Μια πιο ακριβής μέθοδος περιλαμβάνει τη χρήση της γεωμετρίας. Διαχωρίστε τον κύκλο σε πολλά τμήματα, όπως φέτες πίτσας, και στη συνέχεια υπολογίστε το μήκος μιας ευθείας γραμμής που θα μετατρέψει κάθε τμήμα σε ένα ισοσκελές τρίγωνο. Το άθροισμα των πλευρών θα δώσει έναν κατά προσέγγιση αριθμό pi. Όσο περισσότερα τμήματα χρησιμοποιείτε, τόσο πιο ακριβής θα είναι ο αριθμός. Φυσικά, στους υπολογισμούς σας δεν θα μπορείτε να πλησιάσετε τα αποτελέσματα ενός υπολογιστή, ωστόσο, αυτά τα απλά πειράματα σας επιτρέπουν να κατανοήσετε με περισσότερες λεπτομέρειες τι είναι γενικά το Pi και πώς χρησιμοποιείται στα μαθηματικά.

Ανακάλυψη του Πι

Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι γνώριζαν για την ύπαρξη του αριθμού Πι ήδη τέσσερις χιλιάδες χρόνια πριν. Οι βαβυλωνιακές πινακίδες υπολογίζουν το Pi ως 3,125 και ο αιγυπτιακός μαθηματικός πάπυρος περιέχει τον αριθμό 3,1605. Στη Βίβλο, ο αριθμός Pi δίνεται σε ένα απαρχαιωμένο μήκος - σε πήχεις, και ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να περιγράψει το Πι, τη γεωμετρική αναλογία του μήκους των πλευρών ενός τριγώνου και του εμβαδού του \u200τις φιγούρες εντός και εκτός των κύκλων. Έτσι, είναι ασφαλές να πούμε ότι το Pi είναι μια από τις αρχαιότερες μαθηματικές έννοιες, αν και το ακριβές όνομα αυτού του αριθμού εμφανίστηκε σχετικά πρόσφατα.

Μια νέα άποψη για το Pi

Ακόμη και πριν το pi συσχετιστεί με κύκλους, οι μαθηματικοί είχαν ήδη πολλούς τρόπους να ονομάσουν ακόμη και αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, στα παλιά εγχειρίδια μαθηματικών μπορεί κανείς να βρει μια φράση στα λατινικά, η οποία μπορεί να μεταφραστεί χονδρικά ως «η ποσότητα που δείχνει το μήκος όταν η διάμετρος πολλαπλασιάζεται με αυτήν». Ο παράλογος αριθμός έγινε διάσημος όταν ο Ελβετός επιστήμονας Leonhard Euler τον χρησιμοποίησε στην εργασία του για την τριγωνομετρία το 1737. Ωστόσο, το ελληνικό σύμβολο για το πι δεν χρησιμοποιήθηκε ακόμα - συνέβη μόνο σε ένα βιβλίο του λιγότερο γνωστού μαθηματικού William Jones. Το χρησιμοποίησε ήδη από το 1706, αλλά είχε παραμεληθεί για πολύ. Με την πάροδο του χρόνου, οι επιστήμονες υιοθέτησαν αυτό το όνομα και τώρα αυτή είναι η πιο διάσημη εκδοχή του ονόματος, αν και πριν ονομαζόταν επίσης ο αριθμός Λούντολφ.

Το pi είναι φυσιολογικό;

Ο αριθμός pi είναι σίγουρα περίεργος, αλλά πώς υπακούει στους κανονικούς μαθηματικούς νόμους; Οι επιστήμονες έχουν ήδη επιλύσει πολλά ερωτήματα που σχετίζονται με αυτόν τον παράλογο αριθμό, αλλά ορισμένα μυστήρια παραμένουν. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστό πόσο συχνά χρησιμοποιούνται όλα τα ψηφία - οι αριθμοί από το 0 έως το 9 πρέπει να χρησιμοποιούνται σε ίση αναλογία. Ωστόσο, τα στατιστικά στοιχεία μπορούν να εντοπιστούν για τα πρώτα τρισεκατομμύρια ψηφία, αλλά λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμός είναι άπειρος, είναι αδύνατο να αποδειχθεί κάτι με βεβαιότητα. Υπάρχουν άλλα προβλήματα που εξακολουθούν να διαφεύγουν οι επιστήμονες. Είναι πολύ πιθανό αυτό περαιτέρω ανάπτυξηΗ επιστήμη θα βοηθήσει να ρίξει φως σε αυτά, αλλά προς το παρόν αυτό παραμένει πέρα ​​από το πεδίο της ανθρώπινης νοημοσύνης.

Το Pi ακούγεται θεϊκό

Οι επιστήμονες δεν μπορούν να απαντήσουν σε ορισμένες ερωτήσεις σχετικά με τον αριθμό Pi, ωστόσο, κάθε χρόνο κατανοούν καλύτερα την ουσία του. Ήδη τον δέκατο όγδοο αιώνα, ο παραλογισμός αυτού του αριθμού αποδείχθηκε. Επιπλέον, έχει αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι υπερβατικό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει σαφής τύπος που θα σας επέτρεπε να υπολογίσετε το pi χρησιμοποιώντας ρητούς αριθμούς.

Δυσαρέσκεια για τον Πι

Πολλοί μαθηματικοί είναι απλά ερωτευμένοι με τον Πι, αλλά υπάρχουν και εκείνοι που πιστεύουν ότι αυτοί οι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία. Επιπλέον, ισχυρίζονται ότι ο αριθμός Tau, ο οποίος είναι διπλάσιος από το Pi, είναι πιο βολικός να χρησιμοποιηθεί ως παράλογος. Το Tau δείχνει τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας και της ακτίνας, η οποία, σύμφωνα με ορισμένους, αντιπροσωπεύει μια πιο λογική μέθοδο υπολογισμού. Ωστόσο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί με σαφήνεια οτιδήποτε σε αυτό το θέμα, και ο ένας και ο άλλος αριθμός θα έχουν πάντα υποστηρικτές, και οι δύο μέθοδοι έχουν δικαίωμα στη ζωή, οπότε είναι απλά ενδιαφέρον γεγονός, και δεν είναι λόγος να πιστεύετε ότι δεν πρέπει να χρησιμοποιείτε τον αριθμό Pi.

π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Δεν το βρήκατε; Τότε κοίτα.

Γενικά, μπορεί να είναι όχι μόνο ένας αριθμός τηλεφώνου, αλλά και οποιαδήποτε πληροφορία κωδικοποιημένη με χρήση αριθμών. Για παράδειγμα, αν αναπαραστήσουμε όλα τα έργα του Alexander Sergeevich Pushkin σε ψηφιακή μορφή, τότε αυτά ήταν αποθηκευμένα στον αριθμό Pi ακόμη και πριν τα γράψει, ακόμη και πριν γεννηθεί. Κατ 'αρχήν, εξακολουθούν να αποθηκεύονται εκεί. Παρεμπιπτόντως, κατάρες των μαθηματικών μέσα π είναι επίσης παρόντες, και όχι μόνο μαθηματικοί. Με μια λέξη, ο Πι έχει τα πάντα, ακόμα και σκέψεις που θα επισκεφτούν το λαμπερό σου κεφάλι αύριο, μεθαύριο, σε ένα χρόνο ή ίσως σε δύο. Αυτό είναι πολύ δύσκολο να το πιστέψουμε, αλλά ακόμα κι αν προσποιηθούμε ότι το πιστεύουμε, θα είναι ακόμα πιο δύσκολο να πάρουμε πληροφορίες από εκεί και να τις αποκρυπτογραφήσουμε. Αντί λοιπόν να εμβαθύνετε σε αυτούς τους αριθμούς, ίσως είναι πιο εύκολο να πλησιάσετε την κοπέλα που σας αρέσει και να της ζητήσετε έναν αριθμό; .. Αλλά για όσους δεν αναζητούν εύκολους τρόπους, ή απλώς ενδιαφέρονται για το ποιος είναι ο αριθμός Pi, Προσφέρω αρκετούς τρόπους για υπολογισμούς. Βασιστείτε στην υγεία.

Ποια είναι η αξία του Pi; Μέθοδοι υπολογισμού του:

1. Πειραματική μέθοδος.Εάν το pi είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, τότε ίσως ο πρώτος και πιο προφανής τρόπος για να βρούμε τη μυστηριώδη σταθερά μας θα ήταν να λάβουμε χειροκίνητα όλες τις μετρήσεις και να υπολογίσουμε το pi χρησιμοποιώντας τον τύπο π=l/d. Όπου l είναι η περιφέρεια του κύκλου και d η διάμετρός του. Όλα είναι πολύ απλά, απλά πρέπει να οπλιστείτε με ένα νήμα για να καθορίσετε την περιφέρεια, έναν χάρακα για να βρείτε τη διάμετρο και, στην πραγματικότητα, το μήκος του ίδιου του νήματος και, καλά, μια αριθμομηχανή εάν έχετε προβλήματα με τη διαίρεση σε μια στήλη. Μια κατσαρόλα ή ένα βάζο με αγγούρια μπορεί να λειτουργήσει ως μετρημένο δείγμα, δεν πειράζει, το κύριο πράγμα; ώστε η βάση να είναι κύκλος.

Η εξεταζόμενη μέθοδος υπολογισμού είναι η απλούστερη, αλλά, δυστυχώς, έχει δύο σημαντικά μειονεκτήματα που επηρεάζουν την ακρίβεια του προκύπτοντος αριθμού Pi. Πρώτον, το σφάλμα των οργάνων μέτρησης (στην περίπτωσή μας, πρόκειται για χάρακα με νήμα) και δεύτερον, δεν υπάρχει εγγύηση ότι ο κύκλος που μετράμε θα έχει σωστή φόρμα. Επομένως, δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι τα μαθηματικά μας έχουν δώσει πολλές άλλες μεθόδους για τον υπολογισμό του π, όπου δεν χρειάζεται να κάνουμε ακριβείς μετρήσεις.

2. Σειρά Leibniz.Υπάρχουν αρκετές άπειρες σειρές που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε με ακρίβεια τον αριθμό των pi σε μεγάλο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Μία από τις απλούστερες σειρές είναι η σειρά Leibniz. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Είναι απλό: παίρνουμε κλάσματα με το 4 στον αριθμητή (αυτός είναι ο επάνω) και ένας αριθμός από την ακολουθία περιττών αριθμών στον παρονομαστή (αυτός είναι αυτός στο κάτω μέρος), τα προσθέτουμε και τα αφαιρούμε διαδοχικά μεταξύ τους και πάρτε τον αριθμό Pi. Όσο περισσότερες επαναλήψεις ή επαναλήψεις των απλών μας ενεργειών, τόσο ακριβέστερα το αποτέλεσμα. Απλό, αλλά όχι αποτελεσματικό, παρεμπιπτόντως, χρειάζονται 500.000 επαναλήψεις για να φτάσει η ακριβής τιμή του Pi σε δέκα δεκαδικά ψηφία. Δηλαδή, θα πρέπει να διαιρέσουμε τα ατυχή τέσσερα έως και 500.000 φορές, και επιπλέον θα πρέπει να αφαιρέσουμε και να προσθέσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν 500.000 φορές. Θέλω να προσπαθήσω?

3. Η σειρά Nilakanta.Δεν έχετε χρόνο να ασχοληθείτε με τον Leibniz στη συνέχεια; Υπάρχει εναλλακτική. Η σειρά Nilakanta, αν και είναι λίγο πιο περίπλοκη, μας επιτρέπει να έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα πιο γρήγορα. π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ...Νομίζω ότι αν κοιτάξετε προσεκτικά το συγκεκριμένο αρχικό κομμάτι της σειράς, όλα γίνονται ξεκάθαρα και τα σχόλια είναι περιττά. Σε αυτό πάμε παρακάτω.

4. Μέθοδος Μόντε ΚάρλοΜια αρκετά ενδιαφέρουσα μέθοδος για τον υπολογισμό του pi είναι η μέθοδος Monte Carlo. Ένα τόσο εξωφρενικό όνομα πήρε προς τιμήν της ομώνυμης πόλης στο βασίλειο του Μονακό. Και ο λόγος για αυτό είναι τυχαίος. Όχι, δεν ονομάστηκε τυχαία, απλώς η μέθοδος βασίζεται σε τυχαίους αριθμούς και τι θα μπορούσε να είναι πιο τυχαίο από τους αριθμούς που πέφτουν στις ρουλέτες του καζίνο του Μόντε Κάρλο; Ο υπολογισμός του π δεν είναι η μόνη εφαρμογή αυτής της μεθόδου, καθώς τη δεκαετία του '50 χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς της βόμβας υδρογόνου. Αλλά ας μην παρεκκλίνουμε.

Ας πάρουμε ένα τετράγωνο με πλευρά ίση με 2r, και εγγράψτε σε αυτό έναν κύκλο με ακτίνα r. Τώρα αν βάλετε τυχαία τελείες σε ένα τετράγωνο, τότε η πιθανότητα Πότι ένα σημείο χωράει σε κύκλο είναι ο λόγος των εμβαδών του κύκλου και του τετραγώνου. P \u003d S cr / S q \u003d πr 2 / (2r) 2 \u003d π / 4.

Τώρα από εδώ εκφράζουμε τον αριθμό Pi π=4Ρ. Απομένει μόνο να ληφθούν πειραματικά δεδομένα και να βρεθεί η πιθανότητα P ως ο λόγος των επιτυχιών στον κύκλο N crνα χτυπήσει στην πλατεία Ν τετρ.. ΣΤΟ γενική εικόναο τύπος υπολογισμού θα μοιάζει με αυτό: π=4N cr / N τετρ.

Θα ήθελα να σημειώσω ότι για να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, δεν είναι απαραίτητο να πάτε στο καζίνο, αρκεί να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε περισσότερο ή λιγότερο αξιοπρεπή γλώσσα προγραμματισμού. Λοιπόν, η ακρίβεια των αποτελεσμάτων θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των σημείων που έχουν οριστεί, αντίστοιχα, όσο περισσότεροι, τόσο πιο ακριβείς. Σας εύχομαι καλή επιτυχία 😉

Αριθμός Tau (αντί για συμπέρασμα).

Οι άνθρωποι που απέχουν πολύ από τα μαθηματικά πιθανότατα δεν γνωρίζουν, αλλά συνέβη ότι ο αριθμός Pi έχει έναν αδελφό που είναι διπλάσιος από αυτόν. Αυτός είναι ο αριθμός Tau(τ), και αν Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο, τότε Tau είναι ο λόγος αυτού του μήκους προς την ακτίνα. Και σήμερα υπάρχουν προτάσεις από ορισμένους μαθηματικούς να εγκαταλείψουν τον αριθμό Pi και να τον αντικαταστήσουν με Tau, αφού αυτό είναι από πολλές απόψεις πιο βολικό. Αλλά μέχρι στιγμής αυτά είναι μόνο προτάσεις, και όπως είπε ο Lev Davidovich Landau: «Μια νέα θεωρία αρχίζει να κυριαρχεί όταν οι υποστηρικτές της παλιάς πεθαίνουν».

Η 14η Μαρτίου δηλώνεται ως ημέρα του αριθμού «Πι», αφού αυτή η ημερομηνία περιέχει τα τρία πρώτα ψηφία αυτής της σταθεράς.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σημείωση. Αυτός ο πίνακας τιμών για τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιεί το σύμβολο √ για να δηλώσει την τετραγωνική ρίζα. Για να δηλώσετε ένα κλάσμα - το σύμβολο "/".

δείτε επίσηςχρήσιμα υλικά:

Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, να το βρείτε στην τομή της ευθείας που δείχνει την τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ένα ημίτονο 30 μοιρών - ψάχνουμε για μια στήλη με την επικεφαλίδα sin (sine) και βρίσκουμε την τομή αυτής της στήλης του πίνακα με τη γραμμή "30 μοίρες", στη διασταύρωση τους διαβάζουμε το αποτέλεσμα - ένα δεύτερος. Ομοίως, βρίσκουμε συνημίτονο 60βαθμούς, ημιτονο 60μοίρες (για άλλη μια φορά, στη διασταύρωση της στήλης sin (sine) και της σειράς 60 μοιρών, βρίσκουμε την τιμή sin 60 = √3/2), κ.λπ. Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των εφαπτομένων άλλων «δημοφιλών» γωνιών.

Ημίτονο του π, συνημίτονο του π, εφαπτομένη του π και άλλες γωνίες σε ακτίνια

Ο παρακάτω πίνακας συνημίτονων, ημιτόνων και εφαπτομένων είναι επίσης κατάλληλος για την εύρεση της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι δίνεται σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη δεύτερη στήλη τιμών γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να μετατρέψετε την τιμή των δημοφιλών γωνιών από μοίρες σε ακτίνια. Για παράδειγμα, ας βρούμε τη γωνία των 60 μοιρών στην πρώτη γραμμή και ας διαβάσουμε την τιμή της σε ακτίνια κάτω από αυτήν. Οι 60 μοίρες είναι ίσες με π/3 ακτίνια.

Ο αριθμός pi εκφράζει μοναδικά την εξάρτηση της περιφέρειας ενός κύκλου από το μέτρο της μοίρας της γωνίας. Άρα pi ακτίνια ισούται με 180 μοίρες.

Οποιοσδήποτε αριθμός εκφράζεται σε pi (ακτίνιο) μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μοίρες αντικαθιστώντας τον αριθμό pi (π) με 180.

Παραδείγματα:
1. sine pi.
sin π = αμαρτία 180 = 0
Έτσι, το ημίτονο του π είναι ίδιο με το ημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

2. συνημίτονο π.
cos π = cos 180 = -1
Έτσι, το συνημίτονο του pi είναι ίδιο με το συνημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μείον ένα.

3. Εφαπτομένη π
tg π = tg 180 = 0
Έτσι, η εφαπτομένη του pi είναι ίδια με την εφαπτομένη των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

Πίνακας τιμών ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης για γωνίες 0 - 360 μοίρες (συχνές τιμές)

Εάν στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αντί για την τιμή της συνάρτησης, εμφανίζεται μια παύλα (εφαπτομένη (tg) 90 μοίρες, συνεφαπτομένη (ctg) 180 μοίρες), τότε για μια δεδομένη τιμή του μέτρου του βαθμού η γωνία, η συνάρτηση δεν έχει καθορισμένη τιμή. Εάν δεν υπάρχει παύλα, το κελί είναι κενό, επομένως δεν έχουμε εισαγάγει ακόμα την επιθυμητή τιμή. Μας ενδιαφέρει για ποια αιτήματα έρχονται οι χρήστες σε εμάς και συμπληρώνουν τον πίνακα με νέες τιμές, παρά το γεγονός ότι τα τρέχοντα δεδομένα για τις τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων και των εφαπτομένων των πιο κοινών τιμών γωνίας είναι αρκετά για να λύσουν τα περισσότερα προβλήματα.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tg για τις πιο δημοφιλείς γωνίες
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 μοίρες
(αριθμητικές τιμές "σύμφωνα με τους πίνακες Bradis")